AB) = -(BA

Un vecteur nul est celui dont Torigine et Textrémité sont confondues ; pour qu'un vecteur soit nul, il faut et il suffît que sa valeur relative soit nulle.

65. Contour polygonal. — On dit que des vecteurs placés d'une manière quelconque dans Fespace sont consécutifs si Textrémité de Tun est en même temps Forigine du suivant ; leur ensemble constitue un contour polygonal; on appelle origine et extrémité de ce contour Torigine du premier vecteur et Textrémité du dernier. Le vecteur qui a le premier de ces deux points comme origine et Tautre comme extrémité s'appelle la résultante du contour; les vecteurs donnés en sont les composantes.

Lorsque tous les vecteurs sont situés sur une même droite dirigée, on a le théorème suivant énoncé par Chasles :

La valeur relative de la résultante d'un contour est égale à la somme algébrique des valeurs relatives des composantes.

Pour le démontrer, considérons d'abord deux vecteurs composants

AB, BC dont la résultante est AC ; -^ — • •' *- différents cas peuvent se présenter suivant Tordre de succession des points sur Fig. 3. I'r^c <]ui les porte. Supposons d'abord

qu'ils soient placés dans Tordre A, B, C en suivant le sens positif (/7^. 3); dans ce cas les valeurs relatives des VocT. — Math. sup. 7

vecteurs sont toutes trois positives, et comme la longueur de AC est égale à la somme des longueurs de AB et de BC , nous avons entre les valeurs relatives la relation

(AC) = (AB)-f-(BC);

Prenons maintenant un autre cas, et supposons que Ton rencontre

les points dans Tordre A, C, B (/ijr. 4) ; , ^ d'après ce que nous venons de voir, nous

^ ^ ^ avons

^^«•*- (AB)=(AC)-h(CB);

mais (CB) peut être remplacé par — (BC) , nous avons alors

(AB) = (AC)-(BC), ou bien