AC) = (AB) + (BC

On examinerait de même les autres cas de figure, et Ton verrait que le théorème subsiste dans chacun d'eux.

Nous démontrerons que la proposition s'applique à un nombre quelconque de vecteurs en montrant que si elle a lieu dans le cas de n vecteurs AB, BC, CD, . . . , HK, elle est encore vraie lorsqu'on ajoute un [n-hiy vecteur KL. Nous avons en effet avec les deux composantes AK et KL , l'égalité

(AL) = (AK)-f-(KL);

mais nous supposons que l'on a déjà démontré la relation

(AK) = (AB) + (BC) H h (HK) ;

il suffit alors de remplacer AK par la somme précédente dans la première égalité pour avoir l'égalité

(AL) = (AB) -h (BC) H h (HK) -h (KL) ,

ce qui démontre le théorème pour n -h i vecteurs ; il est ainsi vrai dans tous les cas.

Comme application, si l'on donne sur une droite dirigée deux points A et B, et un point 0, la valeur relative du vecteur AB peut s'exprimer au moyen de celles des vecteurs OA et OB par la relation