Pro)ection d'un vecteur

Fig. 5.

Ëtant donnés une droite indéfinie x'x et lin plan P non p$irallèle à cette droite (Jig. 5), on appelle projection d*un point A sur la droite, parallèlement au plan, le point d'intersection a de x'x et d'un plan mené par A parallèlement au plan P ; suivant que le plan est perpendiculaire ou non à la droite, on dit que la projection est orthogonale ou oblique.

On appelle projection d'un vecteur AB le vecteur ab dont l'origine et l'extrémité sont les projections de l'origine et de l'extrémité du vecteur considéré. Ordinairement la droite x'x est une droite dirigée, et on l'appelle alors axe de projection ; la valeur relative de ab est appelée valeur relative de la projection de AB, ou simplement projection de AB , ce que l'on écrit

proj.AB = (a6).

67. Théorème des projections. — La projection sur un axe delà résultante d'un contour polygonal est égale à la somme des projections des composantes.

Considérons un contour

ABCDE {fig. 6) et sa résultante AE; soient (ai), (6c), (crf), {de), et (ae) les projections des composantes et de la résultante; d'après le théorème de Chasies, on a.

(oe)=(a6)4-(6c)-h{crf)-f-(rfej;

on en conclut immédiate* ment, d'après la définition des projections.

jr'

Fig. 6.

dv

(I) proj. AE = proj. AB H- proj. BC -h proj. CD -f- proj. DE,

ce qui démontre le théorème.

68. Des angles dans le plan. — De la même manière qu'on définit la valeur relative d'un vecteur parcouru sur une droite dans un certain sens, on définit la valeur relative d'un angle décrit autour d'un point O dans un certain sens de la façon suivante : on choisit autour de ce point un sens positif de rotation, ordinairement le sens inverse du mouvement des aiguilles d'une montre; si une demi-droite, c'est-à-dire une portion de droite limitée dans un sens au point 0 et indéfinie dans l'autre sens, passe d'une position OA à une position OB en tournant autour de 0, on appelle valeur relative de l'angle décrit un nombre dont la valeur arithmétique est la mesure de cet angle, et dont le signe est + ou — suivant que le mouvement a lieu dans le sens positif ou dans le sens contraire.

La valeur relative de l'angle ainsi décrit, que l'on appelle angle de OB avec OA, est désignée par la notation (OA, OB) ; tous les autres angles que l'on peut former en amenant une demi-droite d'abord confondue avec OA dans la position OB, soit dans un sens, soit dans l'autre, ont des valeurs relatives qui ne diffèrent de la première que par un multiple entier de 2ir, positif ou négatif.

Ëtant donnés plusieurs angles consécutifs autour du point 0, tels que le côté extrémité de l'un soit le côté origine du suivant, on appelle angle résultant celui qui a pour côté origine l'origine du pre^ mier et pour côté extrémité l'extrémité du dernier. Par un raisonnement analogue à celui du n® 65, on verrait que la valeur relative de l'angle résultant est, à un multiple entier près de 27c, égal à la somme algébrique des valeurs relatives des angles composants, ce qui s'exprime par la formule

(OA, OK) = (OA, OB) + (OB, OC) + • • • + (OH, OK) -f- 2kn.

Comme application, si Ton considère deux demi-droites OA, OB, et si l'on donne les angles de ces demi-droites avec un même axe de repère OX, l'angle de OB avec OA est donné, à un multiple près de 2ir, par la formule