AB) - (CD

on bien

(oiO^M (AB)-(CD)'

en effet, les valeurs absolues de ces rapports sont égales d'après un

théorème connu de géométrie ; il suffît de montrer que les signes sont

les mêmes ; or si AB et CD ont le même sens, il en est de même

e ab et c(/, et les numérateurs ont le même signe, ainsi que les déno-

iÔ2 PRINCIPES DE GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE

nûnateurs ; si au contraire A6 et CD ont des sens opposés, il en est de même de leurs projections, de sorte que les numérateur^ ont des signes contraires, ainsi que les dénominateurs ; dans tous les cas les rapports ont le même signe, et la proposition est démontrée.

Supposons que CD soit un vecteur dont la longueur est égale à Tunité, et dirigé dans le sens positif; on Tappelle quelquefois vecteur directeur ; nous avons (CD) = -h | , et l'équation (2) nous donne

pr.AB = (AB).(pr. CD);

nous voyons qu'on obtient la projection d'un vecteur en multipliant sa valeur relative par un facteur qui dépend simplement des deux axes x'x et y^y et qui est la projection du vecteur directeur.

Dans le cas des projections orthogonales, on sait que la projection d'un vecteur égal à l'unité placé sur y^y est égal au cosinus de l'angle des deux axes x'x, y^y ; nous avons donc

(3) pr. AB = (AB) X cos {x'x, y'y),

ce que nous énoncerons de la façon suivante :

La projection orthogonale sur un axe d'un vecteur parallèle à un deuxième axe est égale au produit de la valeur relative du vecteur par le cosinus de V angle des deux axes.

70. Des vecteurs dans le plan. — Soient dans un plan deux axes de projection rectangulaires x'x, y'y, se coupant en un point 0{fig. 8);

Soient Ox et Oy les demi-droites prises sur ces axes à partir de 0 dans les sens positifs. Nous convenons une fois pour toutes que pour définir la valeur relative de l'angle d'une ^ ^ demi-droite OD avec Ox, c'est-àdire le nombre (Ox, OD), on prend comme sens positif de rotation celui ^*6- 8. ^^ mouvement qui amènerait Ox à

coïncider avec Oy en décrivant un angle égal à -^ •

Dans les cas, assez rares, où l'on doit définir l'angle (0.y, OD) de la demi-droite OD avec Oy , on convient de prendre cette fois comme sens positif celui de la rotation qui amènerait Oy à coïncider avec Ox

VECTEURS ET PROJECTIONS 103

en décrivant Tangle - ; le nouveau sens est donc inverse du premier.

Avec ces conventions, les angles (Ox, OD) et (Oi/, OD) sont toujours complémentaires, à un multiple près de 2it.

Tout point du plan tel que A est complètement déterminé par ses projections orthogonales a , a' sur les deux axes ; de la même manière, tout vecteur est déterminé par ses projections sur x'x et y'y, puisque Ton connaît les projections de son origine et de son extrémité. Nous nous proposons d'établir les relations qui existent entre la valeur relative d'un vecteur et celles de ses projections ; ces relations restant les mêmes lorsque Ton remplace le vecteur par d'autres équipollents, il nous suffîra de considérer le cas où le vecteur a son origine au point de rencontre 0 des deux axes.

Soit D une droite dirigée indéfinie passant par 0, sur laquelle est pris un vecteur 0 A ; désignons par p la valeur relative de ce vecteur, par a l'angle (Ox, D) et par p l'angle (Oy, D), enfin par X et Y les projections de OA sur les axes. OA est la résultante d'un contour OflA dont les composantes ont pour valeurs relatives X et Y.

En appliquant la formule (3) aux projections de OA sur x'x et y'j/i nous avons les relations

(f) X = p cos a, Y = p cos p ;

de plus, le triangle rectangle Oa\ nous fournit l'équation

nous en déduisons, en remplaçant X et Y par leurs valeurs, la relation (fi; cos* a -h cos*p = 1 .

Comme a et p sont complémentaires, cette relation n'est autre au fond que l'équation fondamentale cos'a -h sin*a = 1 ; nous la mentionnons cependant parce que nous en Verrons bientôt la généralisation.

A chaque vecteur OA issu du point 0 correspondent deux nombres X et Y, valeurs relatives de ses projections sur les axes ; réciproquement à chaque système de deux nombres X et Y correspond un seul vecteur OA issu de 0 ; ces nombres déterminent en effet d'une manière unique les vecteurs Oa, Oa' portés par les axes, et le vecteur OA dont ils sont les projections. Lorsqu'on veut déterminer par le calcul le vecteur OA au moyen de X et de Y, en utilisant les for-

mules (4) et (5), le résultat se présente sous deux formes différentes ; Téquation (5) fournit en effet pour p deux valeurs p = dby^X* X Y*, et à chacune d'elles correspondent les cosinus

cos a = — , cos B = — ,

qui fixent la direction de la droite D. Ces deux formes de la solution unique du problème s'expliquent en remarquant que la direction positive sur la droite indéfinie qui porte le vecteur OA peut être choisie de deux façons: soit de 0 vers A, alors p est positif; soit dans le sens opposé, alors p est négatif.

71. Projection d'an vecteur sur une droite dirigée. — Angle de deux directions. — Soient {fig. 9) OA un vecteur donné sur une droite dirigée D, et OA' sa projection sur une seconde droite dirigée

D'. Nous désignons par p la valeur relative de OA, par X et Y ses projections sur les axes Ox et Oy, par a et p les angles de D avec ces axes et par a' et p' les angles de D' avec les mêmes axes ; nous nous proposons d'évaluer la projection de OA sur D'.

Nous avons vu que OA est la résultante d'un contour OaA dont les composantes Oa et ak ont pour valeurs relatives X et Y; d'après le théorème des projections (n^ 67), la projection de OA sur D' est égale à la somme des projections de Oa et ak sur cette droite dirigée ; mais nous avons

pr. Oa = (Oa) cos {Ox, D') = X cos a', pr. aA = (aA) cos {Oy, W) = Y cos p' ;

nous aurons par suite, en additionnant, la formule fondamentale que

nous voulions établir,

(8) pr. OA sur D' = X cos a' -h Y cos p'.

Remarquons que cette formule est encore vraie pour un vecteur quelconque égal et parallèle à OA projeté sur une droite dirigée quelconque parallèle à D'.

Fig. 9.

VECTEURS ET PROJECTIONS

Nous allons déduire de là le cosinus de Tangle des deux directions D et ly ; si nous désigaons cet angle par Y, nous avons

pr. OA sur D' = p cos V ;

d'autre part X et Y sont respectivement égaux à p cos a et f cos § ; eu introduisant ces valeurs dans la formule (8) et divisant les deux membres par p, nous avons

(9) cos V = cos a cos a' H- cos p cos p'.

Remarquons que Y est égal à a' — a, et que p et p' sont égaux à

y— « et -^ a', à des multiples près de 2iï; la formule (9) nous

donne par suite la relation

cos (a' — a) = cos a COS a' -+- sin a sin a' ,

et le changement de a en — a nous fournit la formule fondamentale d'addition des arcs en trigonométrie. Les raisonnements que nous avons employés sont du reste identiques à ceux que Ton fait pour établir eette formule fondamentale.

72. Des vecteurs dans l'espace. — Nous allons généraliser dans Tespace les considérations précédentes; nous considérons trois axes

de projections x'x, y'y, z'z se coupant en un même point 0 et formant un trièdre threctangle {fig. 10) ; Ox, Oy, Oz seront les directions positives sur ces axes.

Un point A est complètement déterminé par ses projections orthogonales a, a', a" sur les axes, car il se trouve à Tintersection de trois plans menés par ces points parallèlement aux faces du trièdre Oxyz; il résulte de là qu'un vecteur quel- Fig 10. conque de Tespace est complète-

ment déterminé par les vecteurs qui sont ses projections orthogonales sur les trois axes, car on connaît

les projections de son origine et de son extrémité. Nous ne considérerons dans ce qui suit que des vecteurs ayant pour origine le point 0 de rencontre des axes.

Soient D une droite dirigée passant par ce point, a, ^ et y les angles de D avec Ox, Oy et Oz ; soit OA un vecteur dont la valeur relative et les projections sur les axes sont respectivement p, X, Y et Z ; nous avons d'après la formule (3)

(10) X = pcosa, Y = pcosp, Z = pcosy.

D'autre part, OA peut être considéré comme la résultante d'un contour OaajA dont les composantes, égales et parallèles à Oa, Oa'y Oa'y sont égales à X, Y, Z ; c'est de plus la diagonale d'un parallélépipède rectangle dont Oa, Oa', Oa" sont trois arêtes, et nous avons

c'est-à-dire

(11) p2 x2-HY2 + Z^

nous en déduisons, en remplaçant X, Y, Z par leurs valeurs, la relation suivante analogue à l'équation (C),

(12) cos* a -+- cos^ p -f- cos^ Y = 1 .

A chaque vecteur OA correspond un seul système de projections X, Y, Z ; inversement, à chaque système de trois nombres X, Y, Z correspond un seul vecteur OA issu de 0. Lorsqu'on veut résoudre la question par le calcul, la solution se présente sous deux formes, comme au n<* 70, parce que l'on peut choisir de deux manières le sens positif sur la droite indéfinie qui contient OA ; on a

= ±:V^X*-+-Y-^-f-ZS

cos a = — » cos B = — ï cos Y = — ;

à chaque signe pris devant le radical correspondent pour a, p, y des valeurs déterminant une seule droite dirigée ; aux deux signes correspondent des directions opposées.

Remarque. — Nous avons dit que pour qu'un vecteur soit nul il faut et il suffit que p soit nul; d'après la relation (11) nous pouvons remplacer cette condition par la suivante : pour qu'un vecteur soit nul,

VECTEURS ET PROJECTIONS

Fig. H.

il faut et il suffit que ses projections X, Y, Z sur les trois axes soient séparément nulles.

73. Projection d*an Tecteur sur une droite dirigée. — Produit géométrique de deux vecteurs. -:Angle de deux directions. — Soient

(fig* il) OA un vecteur donné sur une droite dirigée D, et OA' sa projection sur une autre droite dirigée D'; désignons par p la valeur relative de OA, par X, Y, Z ses projections sur les axes Ox, Oy, Oz, par a, p, Y les angles de D, et par a', p', y' ceux de D' avec ces axes ; nous nous proposons de déterminer la projection de OA sur D'.

Comme nous Pavons vu, OA est la résultante d'un contour OaaiA dont les composantes ont pour valeurs X, Y et Z ; d'après le théorème des projections, nous avons

pr. OA = pr. Oa -4- pr. aoi -f- pr. a,A ; mais nous savons que Ton a, en projetant sur D',

pr. OA = (Oa) cos (Ox, D') = X cos a', pr. aa, = {aa^) cos (Oy, D') = Y cos p', pr. fliA = (fliA) cos (Oz, D') = Z cos y' ;

nous en déduisons la formule fondamentale que nous voulions établir, (13) pr. OA sur D' = X cos a' -h Y cos p' -h Z cos y'.

Remarquons que cette formule e^t encore vraie pour un vecteur quelconque égal et parallèle à OA projeté sur une droite dirigée quelconque parallèle à D^

On appelle jDroc/aiï géométrique intérieur^ ou simplement /^rocfuK*/ géométrique de deux vecteurs le produit de la valeur relative d'un de ces vecteurs par la projection de l'autre sur la droite dirigée qui porte le premier. Comme ce produit reste le même lorsqu'on remplace les vecteurs par d'autres équipoUents, on peut supposer que les deux vecteurs donnés aient pour origine le point 0.

Soient OA et OA' les deux vecteurs, portés par les droites dirigées D et D'; conservons pour OA les notations précédentes et désignons par p\ X\ Y', T les valeurs relatives de OA' et de ses projections. Le produit de p' par la projection de OA sur IV est égal à

p'(X cos «' -f- Y cos p' H- Z cos y') ;

en remplaçant p' cos a ', p' cos p', p' cos / par X', Y', Z\ nous voyons que le produit cherché, produit que nous désignerons par (OA . OA'), a pour valeur

(14) (OA . OA') = XX' -f- YY' -f- ZZ' ;

la symétrie du résultat nous montre qu'il est le même quel que soit celui des vecteurs qu'on projette sur la droite portant Tautre.

Nous allons déterminer Tangle des deux directions D et D', angle que nous désignerons par Y ; nous savons que Ton a

pr. OA sur D' = p cos V ;

d'autre part X, Y, Z ont pour valeurs, d'après les formules (10), pcosa, pcosp, pcosy; en introduisant ces valeurs dans l'équation (13) et divisant les deux membres par p, nous avons la formule cherchée,

(15) cos V = cos a cos a' + cos p cos p' -h cos y cos y' ;

elle a, comme on le voit, la même forme que la formule (9).

Pour que les deux directions soient rectangulaires, il faut et il suffit que cos V soit nul, c'est-à-dire que l'on ait

(16) cos a cos a' -h cos p COS p' -h cos Y cos y' = 0.

74. Somme géométrique. — On appelle somme géométrique de plusieurs vecteurs la résultante d'un contour polygonal dont les composantes sont éqnîpoUentes aux vecteurs donnés. Sans nuire à la gênératité, on peut remplacer les vecteurs donnés par d'autres équipollents et supposer qu'ils aient tous pour origine le point 0 ; considérons par exemple trois vecteurs OA, OB, OC {fig, 12); pour déterminer leur somme, on prend à partir de l'extrémité d'un premier vecteur OA un vecteur AB' équipoUent à OB, puis à partir de B' un vecteur B'C équipollent à OC ; OC est la somme cherchée ; on peut la remplacer par tout autre vecteur équipollent à OC

VECTEURS ET PROJECTIONS

Nous allons déterminer cette somme en évaluant ses projections

sur trois axes rectangulaires Ox, Oy^ 0% passant par le point 0 ; chacune d'elles est égale à la somme des projections des composantes sur le même axe, mais les projections des composantes sont précisément égales à celles des vecteurs donnés OA, OB, OC. Si nous désignons les projections de OA sur les axes par X| , Y^ , Zi , celles de OB par X3, Ys, Z2, celles de OC par X3 , Y3 , Zs et celles de la somme par X, Y, Z, nous avons, en projetant successivement sur Ox^ 02^ et O2 les composantes du contour et sa résultante, kff trois éqoatioDS

Fig. 12.

X = X|-|-Xs + X, = 2Xt, Y=Y,+Ya + Y, = 2Y|, Z = Zi -+- Za 4- Zs = 2Z, .

Les valeurs de X, Y, Z ainsi trouvées permettent de déterminer la somme géométrique cherchée soit géométriquement soit analytiquement ; la grandeur de la somme est donnée par Téquation

(18) p = -+- A« + Y» -4- Z» = -4- V/(2X0* -f- {LYiY + (XZ.)* , et sa position est déterminée par les équations

cos a = — >

cosp = -

cos Y = -

Comme les seconds membres des équations (17) ont la même valeur quel que soit Tordre des termes dont on fait la somme, nous en concluons que la somme géométrique de plusieurs vecteurs est indépendante de Tordre de succession des composantes du contour polygonal dont elle est la résultante.

Pour que la somme de plusieurs vecteurs soit nulle, il faut et il suiBt que le contour polygonal dont elle est la résultante soit fermé ; d après la remarque du n** 72, il faut et il suffit que Ton ait

110 PRINClP^a DE GÉOSIÉTaiB ANALYTIQUE

75. Proiection d'une aire plane. — La projection orthogonale sur un plan P d'une aire polygonale contenue dans un plan P' est égale au produit de celte aire par le cosinus de' Vangle aigu formé par les deux plans.

Nous allons démontrer ce théorème dans le cas d'un triangle ABC [fig. 13) dont la base BC est parallèle au plan P de projection; sa

hauteur AH est une ligne de plus grande pente du plan P' du triangle, et se projette suivant la hauteur ah du triangle projection abc ; en écrivant que l'on a

^ CBxAH

pr. S ^= 5 :

bcXah = —2 —

et

et remarquant que Ton a

a/i-:AIIcos(P, P';,

hc = ne

on trouve bien la relation

pr.S-^Sxcos(P, F).

Le théorème que nous venons de démontrer pour un triangle s'étend immédiatement à une aire polygonale quelconque, puisqu'on peut toujours la décomposer en triangles ayant un côté parallèle au plan de projection, et qu'il s'applique à chacun de ces triangles.

Remarquons que l'angle aigu formé par les normales aux plans P et F est égal à l'angle de ces deux plans ; on peut donc encore écrire,' en désignant par (N, ÎS') l'angle aigu de ces normales,

pr. S = Sxcos(N, N').

76. Coordonnées dans le plan. — Nous nous proposons de représenter géométriquement les états d'une ou de plusieurs grandeurs; nous ne nous occuperons que des grandeurs mesurables susceptibles d^étre comptées dans un seul sens, comme une masse ou une pression barométrique, ou bien dans deux sens opposés, comme les longueurs parcourues par un mobile se déplaçant sur une droite à partir d'un point donné dans un sens ou dans l'autre, les intervalles de temps comptés à partir d'un instant initial, etc.

Chaque état d'une pareille grandeur est complètement caractérisé par un nombre relatif; les grandeurs les plus simples de cette espèce sont les vecteurs comptés sur une droite dirigée, à partir d'une même origine. En raison même de la simplicité de leur étude, où le calcul trouve une aide commode dans la représentation géométrique, on est amené à représenter géométriquement les divers états d'une ou de plusieurs grandeurs ou les nombres qui les caractérisent de la façon suivante :

Supposons d'abord qu'il s'agisse d'une seule grandeur; sur une droite dirigée 3^x {fig. 14), prenons une origine 0; à tout nombre

relatif a correspond, à une échelle

--: »- ' **;. déterminée, un seul vecteur OA, et

Pj II un seul point A de l'axe qui est

l'extrémité de ce vecteur; on dit

que A est le point représentatif du nombre a. Inversement, à tout

point A de x'x correspond un seul nombre relatif qui est la valeur du vecteur OA ; ce nombre est appelé Y abscisse du point A.

Considérons maintenant deui grandeurs dépendant Fune de l'autre,

de façon qu'au nombre a caractérisant la première corresponde le nombre 6 caractérisant la seconde:

prenons deux axes x'x, i/'i/ se coupant en un point 0 {fig, 15) ; choisissons sur chacun d'eux ce point comme origine et les sens Ox, Oy comme sens positifs. Aux nombres p. jg a et 6 correspondent sur x'x un

point A et sur y'y un point B tels que (OA) = a, (OB) = 6 ; si nous menons par ces points des parallèles aux axes, elles se coupent en un seul point M ; on dit que M est le point représentatif du système des deux nombres a, 6.

Inversement, étant donné un point M du plan, les parallèles aux axes, MA et MB, font correspondre à ce point M un seul point A sur x'x et un seul point B sur y'y , et par suite un seul système de deux nombres relatifs a, b qui sont les valeurs des vecteurs OA et OB. Ces deux nombres sont appelés les coordonnées du point M ; le premier est dit Vabscisse et est souvent représenté par x, le deuxième est dit Torc/onn^e et est souvent représenté par y ; les deux axes sont appelés axes de coordonnées, le premier, axe des x et le deuxième, axe des y.

Les coordonnées que nous venons de définir sont dites cartésiennes, du nom de Descartes qui en a fait usage le premier ; elles sont dites rectangulaires ou obliques suivant que les axes sont perpendiculaires ou non ; nous n'emploierons que des coordonnées rectangulaires, sauf dans des cas tout à fait particuliers. Nous ferons remarquer que les échelles de longueurs adoptées sur les deux axes peuvent être différentes Tune de l'autre dans la représentation graphique des grandeurs ; on les suppose cependant identiques en géométrie analytique.

77. Usage des coordonnées. — Représentation des lignes. — Nous examinerons les différents cas suivants :

1« Cas. — On donne une relation entre deux variables x et y.

qui sont par exemple les mesures correspondantes de deux grandeurs dépendant Tune de Tautre. Supposons que cette relation soit

nous donnerons à x une suite de valeurs particulières et nous calculerons les valeurs correspondantes de y ; nous en formerons un tableau tel que le suivant :

et nous construirons les points dont les coordonnées sont les couples de valeurs correspondantes ; une feuille de papier quadrillé dont Técar-

tement des traits représente Tunité de longueur peut être employée avantageusement pour cet usage.

Nous construirons ainsi {fig. 16) les points A, B, C, D, E, F, G; nous pourrions en obtenir autant d'autres que nous voudrions en donnant à X des valeurs intermédiaires ou bien plus grandes que celles du tableau ; nous vérifierons sans peine qu'à des valeurs de x très rapprochées, par exemple <$roissant de* centième en centième, correspondent des valeurs de y très rapprochées, et nous concevons que si x varie d'une valeur à une autre en passant par toutes les valeurs intermédiaires, les points obtenus constitueront une ligne continue ; nous sommes ainsi amenés à faire passer un trait continu aussi régulier que possible par les points A, B, C, D, E, F et G. Cette ligne, dont on peut trouver exactement, 4M>mme nous l'avons dit, autant de points que l'on veut, représente graphiquement l'équation donnée ou la loi dont elle est la traduction.

2* Cas. — Pour rechercher inversement la formule qui régit un phénomène, par exemple la variation du coefficient de solubilité d'un VoGT. — Math. sup. 8

JL '

bTo

jr «

cS

ze :

m PRINCIPES DE GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE

sel avec la température, on fait un certain nombre d'expériences, on note chaque fois les mesures correspondantes des deux grandeurs dont on étudie la dépendance, puis on marque sur un papier quadrillé les points dont ces couples de valeurs sont les coordonnées.

Comme nous avons le sentiment que les phénomènes naturels sont régis par des lois simples, et que les effets doivent varier d'une manière continue si les causes varient elles-mêmes d'une manière continue, nous sommes amenés à représenter par un trait continu la relation que nous cherchons. Si les mesures des grandeurs sont faites rigoureusement, ce trait doit passer par tous les points déterminés ; mais nous ne sommes jamais certains de l'exactitude absolue des mesures, et nous supposons toigours qu'elles peuvent présenter de petites erreurs dont les limites dépendent des instruments employés ; nous sommes ainsi conduits à tracer une ligne continue aussi régulière que possible passant par les points obtenus ou s'en écartant très peu, et nous disons qu'elle représente la loi cherchée de la façon la plus probable. Nous concevons même qu'elle la représente plus exactement que les expériences faites et que si un des points s'écarte trop du trait régulier, c'est que l'expérience qui l'a fourni est entachée d'une erreur trop considérable.

La ligne représentative de la loi d'un phénomène est quelquefois tracée automatiquement par un appareil enregistreur, et c'est ce qui arcive en particulier lorsque l'une des grandeurs variables est une longueur ou le temps.

Lorsque l'on a ainsi construit la ligne représentative d'une loi, on peut s'en servir pour rechercher l'expression analytique de cette loi ; c'est réquation qui relie les abscisses et les ordonnées des points de la courbe. On écrit pour cela une équation entre x et y, de la forme la plus probable, et dont les termes renferment des coefficients encore indéterminés ; on écrit que cette équation est satisfaite par les valeurs numériques des coordonnées d'un certain nombre de points de la courbe et l'on a de cette façon des relations qui permettent de calculer les coefficients laissés indéterminés.

Lorsqu'ils sont tous connus, et qu'on a trouvé entre x et y une équation dont tous les coefficients sont déterminés numériquement, on construit inversement, pour toutes les valeurs possibles des coordonnées, la courbe représentée par cette relation, et l'on vérifie si elle est sensiblement identique à la courbe donnée ; si elle s'en écarte trop

dans certaines de ses parties, on change la fonne de Téquation choisie e&tre x et y, ou bien l'on igoute des termes correctifs à Féquation déjà formée. C'est ainsi que Ton opère dans les sciences expérimentales, par exemple dans Tétude des dilatations, de la conductibilité, etc. Lorsque les phénomènes que Ton étudie ne sont régis par aucune loi simple, on se contente de déterminer comme précédemment des points particuliers et de joindre chacun d'eux au suivant par une ligne droite; on obtient de cette façon une ligne brisée. C'est ainsi qu'on représente la variation journalière de la mortalité, ou la variation annuelle des importations et des exportations, etc.

3« Cas. — Nous venons de voir que toute équation entre x et y donne lien à une ligne dont tous les points ont des coordonnées satisfaisant à cette équation. Inversement, si l'on considère une ligne, telle que la circonférence, la parabole, etc., définie cette fois par une propriété géométrique commune à tous ses points, cette propriété sert à former une équation entre x et y, et l'on dit que cette équation représente la ligne considérée.

Pour donner un exemple, considérons une circonférence de rayon R ayant pour centre l'origine 0 des coordonnées rectangulaires {fig- 17); soient (OP) = a; et (OQ)==y les coordonnées d'un point

quelconque M de cette courbe ; la relation OF*+ÛQ* = OH* nous donne immédiatement la suivante :

(1) x^-+-y^ = Ii^:

c'est l'équation qui représente la circonférence.

Quelquefois on exprime les deux coordonnées de chaque point de la ligne au moyen d'une quantité variable que l'on appelle un paramètre ; en appelant par exemple 9 l'angle (Ox, OM) dan^ la figure précédente, on a

{ X = (0P) = RC0SQ,

^■'^ ( i/ = (OQ) = Rsincp.

Lorsque l'on a deux équations telles que les précédentes, et qu'on

Fig. 17.

en forme une combinaison qui ne renferme plus le paramètre, on dit qu*on élimine ce paramètre ; la nouvelle équation, qui ne renferme plus comme variables que x et y, est l'équation de la ligne. Dans Texemple précédent, si Ton élève au carré les deux membres des équations (2) et si Ton ajoute, on retrouve Féquation (1).

Les propriétés des lignes définies géométriquement peuvent être mises en évidence par des calculs algébriques effectués sur les équations qui les représentent ; ces calculs sont soumis à des règles simples dont Tensemble constitue la géométrie analytique proprement dite ; c est ainsi que cette géométrie est Tétude des figures par les procédés de Tanalyse.

78. Coordonnées des points d*une droite. — Équation d'une droite. — Distance de deux points. — Il résulte de la définition des coordonnées X et 2/ d'un point M {fig. 18) qu'elles sont identiques aux projections (OP) et (OQ) sur les deux axes du vecteur OM ; remarquons encore, comme nous l'avons fait au n** 70, que OM est la résultante d'un contour OPM dont les composantes sont égales à X et y ; ce contour OPM est appelé contour des coordonnées du point M.

Soit D une droite du plan ; nous supposons qu'on connaisse les coordonnées (xq, yo) à*un point particulier Mo de cette droite, ainsi que l'angle a que fait avec Ox une direction positive choisie sur elle ; nous nous proposons de déterminer les coordonnées (x, y) d'un point quelconque M de la droite au moyen de la valeur relative p = (MoM) du vecteur MoM.

Le vecteur OM est la résultante du contour OMoM ; écrivons que sa projection sur un quelconque des axes est égale à la somme des projections des composantes ; les projections de OM sont x et y , celles de OMo sont Xo et yo ; enfin celles de MoM sont p cos a et p sin «; nous avons par suite les équations :

Sf

Fig. 18.

= Xo -h p cos «, yo + p sin a.

Telles sont les expressions des coordonnées du point M en fonction de p qui est le paramètre variable lorsque M varie sur la droite D ; nous obtiendrons Téquation de cette droite en éliminant p entre les deux équations (3) ; si nous les écrivons sous la forme

(4) pcosa = x-"Xo, psina = y — yo, nous en déduisons Téquation cherchée, qui est

(5) (x — Xo) sin a — {y — y©) cos o = 0.

Cette équation est du premier degré par rapport aux coordonnées x et y d'un point quelconque M de la droite ; nous exprimerons ce résultat en disant qu'âne droite est représentée par une équation du premier degré.

Remarquons que les premiers membres des équations (4) représentent les projections du vecteur MqM ; nous déduisons de ces équations le théorème suivant : Les projections d'an vecteur sur les axes sont respectivement égales à la différence des abscisses et à la différence des ordonnées de l'extrémité et de l'origine de ce vecteur.

Enfin si nous ajoutons membre à membre les carrés des équations [k) nous avons

p* = (x — Xo)* + (y — y«)«;

c'est la formule qui donne le carré de la distance des deux points Mo, M.

79. Ordre d*nne ligne algébrique. — On appelle ligne algébrique une ligne dont Féquation renferme les coordonnées sous un nombre fini de symboles d'opérations algébriques : addition, soustraction, multiplication, division, élévation aux puissances, extraction de racines. En faisant disparaître les radicaux, chassant les dénominateurs et faisant passer tous les termes dans un même membre, on peut toujours ramener l'équation de la ligne à la forme

où f est un polynôme entier par rapport à x et y ; le degré de ce poly- '

nome s'appelle ordre de la ligne algébrique. I

Lorsque les coordonnées des points d'une ligne sont des fonctions I

algébriques d'un paramètre, cette ligne est algébrique, car l'élimination du paramètre fournit une équation algébrique entre x et y .

Les lignes qui ne sont pas algébriques sont dîtes transcendantes. Il est essentiel de mettre Téquation d'une ligne algébrique sous forme entière pour trouver son ordre ; si Ton considère par exemple la ligne représentée par Téquation

il faut élever d'abord au carré les deux membres, ce qui donne

«-f-y-f-2v/^=l, puis faire disparaître le dernier radical, ce qui donne

pour rendre l'équation entière ; on voit alors que la ligne qu'elle représente est du second ordre.

Remarquons à ce propos que toutes les valeurs de j; et ^ satisfaisant à l'équation (8) ne satisfont pas à l'équation donnée (7), si l'on y considère les radicaux comme positifs ; l'équation (7) ne représente qu'une partie de la ligne totale représentée par (8). En géométrie analytique, on considère toujours la ligne totale représentée par l'équation mise sous forme entière.

L'ordre d'une ligne algébrique est égal au nombre de points de rencontre, réels ou imaginaires, de cette ligne avec une droite quelconque ; pour le démontrer, supposons que la ligne soit représentée par une équation telle que (6) entière et de degré m par rapport à x et j^, et qu'on la coupe par une droite D définie comme au n® précédent, les coordonnées d'un point M de cette droite étant exprimées par les équations (3). Pour que le point M appartienne à la fois à la droite et à la ligne, il faut et il suffît que l'équation (6) soit satisfaite par les valeurs (3), c'est-à-dire que Ton ait

(9) /"(xo -h p cos a , ^0 -H p sin a) = 0.

Cette équation est de degré m par rapport à p , et nous verrons plus tard qu'elle a m racines réelles ou imaginaires ; à chacune d'elles correspond un vecteur MqM dont l'extrémité est à la fois sur la droite et sur la ligne ; celle-ci est donc coupée par la droite en autant de points qu'il y a d'unités dans le degré de l'équation (6), c'est-à-dire dans l'ordre de la ligne.

Si l'équation (9) était satisfaite par plus de m valeurs de p , elle

le serait pour toutes les valeurs de cette inconnue, et par suite tous les points de la droite D feraient partie de la ligne donnée.

La ligne représentée par une équation du premier degré est du premier ordre, par suite elle n'est rencontrée par une droite quelconque qu'en un seul point ; si une droite D la rencontrait en deux points, l'équation analogue à (9) aurait deux racines, et d'après la remarque que nous avons faite, tous les points de la droite D feraient partie de la ligne. Ces propriétés indiquent que la ligne donnée est elle-même une droite ; nous pouvons donc énoncer le résultat suivant, qui est la réciproque de celui que nous avons donné dans le n^ précédent :

Toute équation du premier degré représente une droite.

80. Coordonnées polaires. — On peut utiliser d'autres systèmes de coordonnées que celui que nous avons indiqué pour déterminer la position d'un point dans le plan ; le plus employé après le système cartésien est celui des coordonnées polaires.

Par un point 0 appelé origine ou pôle {fiff. 19), on fait passer une droite dirigée Ox appelée axe polaire, et l'on choisit un sens positif pour les angles, ordinairement le sens trigonométrique ; pour déterminer un point M, on donne un angle 6 = (Oa:, D) fixant une droite dirigée D passant par M, et la valeur relative p du vecteur OM sur cette droite ; 6 est appelé angle polaire et p rayon vecteur.

A chaque système de valeurs de 6 et de p correspond un seul point M ; mais à un point M correspondent une infinité de valeurs des coordonnées polaires ; si pi est la valeur absolue du vecteur OM et a l'angle unique compris entre 0 et 27c formé par OM avec Ox, tous les systèmes de coordonnées polaires du point M sont compris dans les deux formules

Fig. 19.

A* étant un nombre entier quelconque positif ou négatif.

• = a-4-2Air,

Toute relation entre p et 6 représente une ligne, et réciproquement ; par exemple une circonférence ayant un diamètre OA = a dirigé suivant Taxe polaire [fig. 20) est représentée par Téquation

p = a cos 6 .

On passe des coordonnées polaires Fig. fo. aux coordonnées cartésiennes ou inver-

sement de la façon suivante : en choisissant Oy faisant avec Ox Tangle + ô ^ ^^^ coordonnées cartésiennes

de M sont

os = p cos 6 , y = p sin 6 ;

inversement, on a

p = d:V/a:*-hy*, cosô = — i sinô=^;

par exemple, Téquation donnée en coordonnées polaires pour la circonférence de diamètre OA se transforme en la suivante jA^yt — ax^=^ 0.

Suivant les cas, Téquation d'une ligne est plus simple dans un système de coordonnées que dans l'autre ; il est toutefois nécessaire de former Téquation en coordonnées cartésiennes d'une courbe algébrique lorsqu'on veut se rendre compte de son ordre.

8i« Génération des lignes planes. — On appelle lien géométrique Tensemble des points qui répimdent à une même définition ; cette définition consiste ordinairement soit dans Fénoncé d'une propriété qui est commune à tous les points du lieu, soit dans un mode de construction qui permet d'obtenir autant de ces points que Ton veut.

Un lieu peut être formé de points isolés, ou bien de tous les points d'une certaine aire, ou encore de lignes ou de portions de lignes; nous n'examinerons que ce dernier cas, qui est le plus habituel en géométrie analytique. La manière de représenter un lieu géométrique dépend de son mode de définition. Nous allons examiner les cas usuels.

f* Lorsqu'on donne la propriété conmiune à différents points, et qu'elle se traduit par une relation entre les coordonnées de l'un quel-

conque d'entre eux, cette relation constitue Téfuation du lieu ; c'est ainsi que nous avons obtenu Féquation d'une circonférence ayant son centre à Torigine (n^ 77).

.2^ Un autre cas qui se présente souvent est le suivant : supposons que la forme ou la situation d'une ligne L dépendent de la position d'un point M du plan ; comment doit être choisi ce dernier pour que la ligne L satisfasse à une condition donnée? Pour résoudre cette question, on écrit l'équation de la ligne L ; les coefficients de cette équation dépendent des coordonnées du point M ; on exprime ensuite que la ligne L satisfait à la condition donnée, ce qui se traduit par une relation entre les coefficients de son équation. Cette relation, qui renferme les coordonnées du point M , est l'équation du lieu de ce point.

Ce procédé s'applique aux coordonnées polaires aussi bien qu'aux coordonnées cartésiennes ; supposons par exemple que l'équation d'une droite en coordonnées cartésiennes soit

a:^ et j/o désignant les coordonnées d'un point M; lorsque cette droite est assujettie à passer par le point de coordonnées 2,2, le lieu du point M est représenté par l'équation

2a:J+2yî~8 = 0,

obtenue en remplaçant x et y par 2 dans l'équation de la droite.

3^ Plaçons-nous dans le cas où chacun des points du lieu résulte d'une construction donnée ; la traduction de cette construction par le calcul fournit souvent l'équation du lieu. Pour donner un exemple, étant donnés une ligne L, un point 0 appelé pôle d'inversion, un nombre constant p appelé puissance, si l'on porte sur la droite joignant le p^le à un point quelconque M de L un vecteur OM' tel que l'on ait

OM . OM' =p,

le Eeu du point M' est appelé V inverse de la ligne L.

En supposant la ligne donnée rapportée à des axes ayant pour origine le pôle 0 , et représentée en coordonnées polaires par l'équation p = f[^) , et en désignant par p' le rayon vecteur du point M', nous avons constamment o^' — p^ de sorte que l'équation de la ligne inverse

4* II arrive souvent que chaque point M d'un lieu géométrique est déterminé comme intersection de deux lignes L et L' ; ces lignes venant à varier simultanément, le point M se déplace en décrivant le lieu cherché. Par exemple, le lieu du sommet M d'un angle droit dont les cdtés passent par deux points iîxes A et B est Tensemble des points M tels que chacun d'eux soit l'intersection d'une droite passant par A et de la perpendiculaire à cette droite passant par B. Pour déterminer anaiytiquement un lieu ainsi défini, nous écrirons les équations des deux lignes L et L' rapportées à un même système d'axes ; nous supposerons pour fixer les idées que l'on emploie les coordonnées cartésiennes a; et y, mais les raisonnements que nous allons faire s'appliqueraient également à d'autres systèmes de coordonnées. Les équations de L et h' doivent contenir un paramètre variable, et être de la forme

(il) f{^,y,a) = 0, o[x,y,a) = 0,

a désignant le paramètre ; les coordonnées du point M commun aux lignes qui correspondent à une même valeur de a sont alors les solutions X et y communes aux équations (if).

Si nous résolvons ces équations par rapport à x et y, nous avons les expressions des coordonnées de M au moyen du paramètre a, et lorsque a varie, nous obtenons les différents points du lieu cherché. Si nous voulons obtenir l'équation de ce lieu, il faut, comme nous l'avons dit au n® 77, éliminer a entre les expressions trouvées pour x et y, ou bien, ce qui est plus simple, entre les équations (il) qui servent à définir ces coordonnées.

Il peut se faire que les équations des lignes L et L', dont l'intersection est un point M du lieu, dépendent de deux paramètres variables a et b, liés par une équation particulière ; les points du lieu sont alors définis par un système d'équations tel que

Ce cas ne diffère pas du précédent, car nous pouvons supposer que l'on tire b de la dernière relation en fonction de a et qu'on porte la valeur trouvée dans les deux premières ; nous sommes alors ramenés à un système de deux relations analogues à (il).

Nous aurons l'équation du lieu en éliminant a entre les deux rela-

iioûs

^insi formées ou, ce qui revient au même, en éliminant o et 6

^^*^ les trois relations (!2)

^omple, — Cherchons le lieu du point de rencontre de deux

droites OM et AM {fiff. 21), Tune passant par l'origine, Tautre par un point  de Taxe des x, d'abscisse Xo, de telle sorte que Tangle {kx, AM) soit le double de l'angle (Ox, OM).

Si nous désignons par a l'angle de OM avec Ox, nous avons comme équations des droites OM et AM , d'après la formule (5) du n*» 78,

Fig. 21.

C xsina — ycosa = 0, ^ { {x — Xo) sin 2a — y cos

cos2a = 0.

Nous aurons l'équation du lieu du point M en éliminant a entre ces deux équations, ou bien encore en les écrivant sous la forme

a:tg(x — y =0, (x — Xo) tg2a — y = 0,

et les eoDsidérant comme renfermant les paramètres tga et tg2«, ces paramètres étant reliés par la relation

2tga

tg2a

tg*a

En portant dans cette équation les valeurs de tg a et tg 2a tirées des précédentes, nous aurons l'équation du lieu ; rendue entière, elle s'écrit

y{x^^y^ — 2xox)^0,

et se décompose en deux autres :

!• y = 0, qui représente l'axe desx; cette solution correspond au cas où a est nul, car les droites AM et OM sont confondues avec l'axe Ox et ont en commun tous les points de cet axe ; 2" l'équation

aj2 -f. y 2 — 2xoX = 0 ;

d*après ce que nous avons dit dans le numéro précédent, celle-ci représente la circonférence tangente à l'origine à l'axe Oy, et de diamètre 2xo; elle a pour centre le point A.

82. Équation d'une droite donnée. — Coefficient angulaire. — Nous airons démontré aux numéros 78 et 79 qu'une droite est représentée par une équation du premier degré entre les coordonnées x et j/ d'un quelconque de ses points, et réciproquement ; nous allons résoudre les problèmes suivants: f^ former Téquation d'une droite définie géométriquement ; 2^ construire une droite d'équation donnée.

Occupons-nous du premier problème, et examinons différents cas.

1« Cas. — On donne un point Mo de là droite, et l'angle a que fait avec Ox une direction positive choisie sur elle.

C'est le cas que nous avons déjà examiné ; nous avons vu que les

Coordonnées d'un point quelconque M de la droite {fig. 22) s'expriment en fonction de la valeur relative p du vecteur MqM par les équations

(!) a: = Xo -h p cos a,. i/ = yo + psina,

et l'élimination de*p nous a conduits à l'équation

(2) [x — a?o) sin a — (y — y©) cos a = 0.

Fig. 22. Si cos a n'est pas nul, c'est-à-dire

si la droite n'est pas parallèle à Oy, nous pouvons résoudre cette équation par rapport à y, et l'écrire

(3) y=:xtga + (yo — arotga).

On a rhabltude de représenter par m le coefficient de x, et par h le terme constant dans le second membre, de sorte que Ton écrit Vécpiation (3) sous la forme.

(4) y = mx-+-A;

m est appelé coefficient angulaire de la droite ; il est égal à tg a ; A est appelé ordonnée à Vorigine de la droite ; il est égal à Tordonnée de son point de rencontre B avec Taxe des y, car on obtient Tordonnée de ce point en remplaçant Tabscisse x par zéro dans Téquation (4), et celle-ei donne alors y = h,

Nous pouvons remarquer que le coefficient angulaire d'une droite ne dépend pas de la direction positive choisie sur cette droite, car à deux directions opposées correspondent pour oc des valeurs différant entre elles de ir, et m=:tg(z ne change pas de valeur; il est donc inutile dans Tétude d*une droite représentée par Téquation (4) de considérer cette droite comme dirigée. Toutes les droites parallèles entre elles ont même coefficient angulaire ; si Ton trace par Torigine une parallèle à uçe droite, et si cette parallèle passe dans Tangle xOy et dans Tangle opposé par le sommet, m est positif; si au contraire elle passe dans les deux autres angles, m est négatif.

Si nous introduisons dans Téquation (2) le coefficient angulaire m, elle s'écrit sous la forme

(5) y—yo — mix — xo);

telle est Téquation d'une droite passant par un point de coordonnées (^t }/•) ^t ayant un coefficient angulaire donné.

Cas partâcoliers. — Si la droite passe par Torigine, nous pouvons prendre pour Mo le point 0, de telle sorte que x^ et y^ soient nais ; l'équation prend alors la forme

y =zxigaL ou y = mx ;

elle est homogène en x et y.

Si la droite est parallèle à l'axe des x, sin a est nul et l'équation prend la forme

de même si la dnile est parallèle à Taxe des i/, cos a est nul et Téquation prend la forme

En particulier Taxe des x est représenté par Téquation y = 0 e% Taxe des y par Féquation a; = 0.

2* Cas. — On donne deux points Mo et M 1 4e la droite ; soient {x^ , yo) et {xi , yt) les coordonnées de ces deux points; pour former Téquation de la droite, nous écrirons d'abord Féquation d'ime droite passant par le point Mo et ayant un coefficient angulaire m ; c'est Féquation (5) ; puis nous déterminerons m par la condition que le point M« soit sur la droite, c'est-à-dire que Féquation précédente soit satisfoite par Xf^ yi , ce qui donne

d'où

Xi — «0

en remplaçant m par cette valeur dans Féquation (5), nous obtenons Féquation cherchée, que nous pouvons écrire

Nous pourrions vérifier que cette équation est identique à la suivante

Xq yo 1=0,

dont le premier membre est écrit sous forme de déterminant.

Cas particulier. — On donne l'abscisse a du point A où la droite coupe Faxe des x, et Fordonnée b du point B où elle coupe Faxe des y. Pour avoir Féquation de la droite, il suffit de faire dans Féquation précédente Xq = a, yo = 0, Xj = 0, yi = b ; nous trouvons ainsi une équation qu'on peut écrire sous la forme simple

8S. Constiniction d'une droite dont on donne Téquation. — OccupoD5-nous du deuxième problème. Toute équation du premier degré entre a? et y peut s'écrire sous la forme générale

(8) Kx-h-By-^C^O;

nous nous proposons de construire la droitequ'elle représente, et nous allons examiner différents cas suivant la nature des coefficients ; les deux premiers ne sont pas nuls en même temps.

1" Cas. — L'un des coefficients A ou B est nul ; par exemple si A est

nul, Féquation donne y = — g- , et elle représente une parallèle à

Taxe des x^ d'ordonnée égale à la valeur constante de y; de même

si B est nul, l'équation donne x = et elle représente une pa-

railèle à l'axe des y, d'abscisse égale à la valeur constante de x.

2* Cas. — Le terme constant C est nul ; l'équation est homogène et est satisfaite par les coordonnées de l'origine ; elle représente une droite passant par le point 0. Pour la construire, il suffit de déterminer un autre quelconque de ses points, par exemple celui dont l'abscisse est égale à l'unité ; l'équation (8) permet de calculer son ordonnée ; on peut par suite construire ce point et il suffît de le joindre à l'origine.

3* Cas. — Aucun des coefficients n'est nul. Pourconstruire la droite, nous déterminerons les points A et B où elle rencontre les deux axes ; le premier a une ordonnée nulle, et son abscisse, fournie par l'équation

r (8}, a pour valeur x = ; le deuxième a une abscisse nulle, et son

A C ordonnée a pour valeur y = — — •

Considérons par exemple la droite représentée par l'équation (9) 3x — 2y-h(i = 0;

les coordonnées du point A où elle coupe Ox sont y = 0, a: = — 2,

128 PRINCIPES DE GÉOMÉnUE ANALYTIQUE

et celles du point B où elle coupe Oj( sont x = 0, y = 3 ; la droite est complètement déterminée par ces deux points.

Remarque. — Dès que B n'est pas nul, quels que soient A et C, nous pouvons résoudre Téquation (8) par rapport à y y sous la forme

nous mettons ainsi en évidence le coefficient angulaire m = — -^ et

Tordonnée à Torigine — -^^^ 1a droite; le premier permet de déter-

miner Tangle a que fait avec Ox une direction quelconque prise sur la

droite, par l'équation tga = m ; Tordonnée à Torigine fournit un point

particulier de la droite. Dans tous les cas, le coefficient angulaire et

V ordonnée à V origine sont le coefficient de x et le terme connu dans

l'équation résolue par rapport à y.

Par exemple, en résolvant Téquation (9) par rapport à y, nous

avons

le coefficient angulaire est égal à -^ , et Tordonnée à l'origine égale à 3.

Il faut bien remarquer que la situation d'une droite dans le plan dépend uniquement des coefficients de son équation, et nullement de X et y ; ces deux variables sont des auxiliaires de calcul que l'on appelle souvent coordonnées courantes lorsque le point qu'elles déterminent reste variable.

L'équation d'une droite sert, d'une part, par ses coeflScients, à fixer la position de cette droite ; d'autre part elle sert à calculer les coordonnées de certains points choisis sur elle, ces coordonnées étant toujours liées par l'équation; si l'on donne par exemple l'abscisse X = 2 d'un point de la droite représentée par l'équation (9), l'ordonnée de ce point est égale à

84. Droites parallèles. — Intersection de deux droites. — Des

-droites parallèles ont même coefficient angulaire et réciproquement ; pour que deux droites représentées par les équations générales

^^"^ A'xH-B'i/+C' = 0

soient parallèles, il faut et il suffît que l'on ait

Les coordonnées du point commun à deux droites sont les valeurs <ie a; et de 2^ qui satisfont à la fois aux équations de ces deux droites ; il suffit donc, pour les trouver, de résoudre un système d'équations du premier degré à deux inconnues, comme nous Tavons fait au n"" i. Inversement, pour résoudre graphiquement deux équations du premier degré, on construira les deux droites représentées par ces équations, et on évaluera les coordonnées de leur point commun.

Supposons que les droites soient représentées par les équations générales (10) ; si AB' — BA' n'est pas nul, il existe une solution et tme seule, et les droites ont un seul point commun. Si AB' — BA' est nul, le système est impossible ou indéterminé. Ce dernier résultat est

A B facile à interpréter, car la condition AB' — BA' == 0 entraîne y7 = -57

et elle exprime que les deux droites données sont parallèles ou confondues ; elles n'ont alors aucun point commun ou en ont une infinité. L'équation

(Aa;4~By-hC)4-A(A'x-+-B'i/-hC') = 0

représente, lorsque Ton donne à X différentes valeurs, des droites qui passent toutes par le point commun aux deux droites données.

85. Angle de deux droites. — Droites perpendiculaires. — Nous avons vu au n® 71 comment on détermine par son cosinus l'angle de deux droites dirigées ; si l'on donne deux droites indéfinies sans fixer sur elles de directions positives, elles forment entre elles deux angles supplémentaires ; nous nous proposons de trouver la tangente de l'un de ces angles au moyen des coefficients angulaires des deux droites.

Soient a et a' les angles formés avec Ox par des directions j}rises sur les droites données ; l'un des angles V formés par les droites VoGT. — Malh. sup. 9

est, à un multiple entier de iz près, égal à a' — a, de sorte que nous avons

tgV=te(oi'-«)==3Χ^-=l^; ^ ^^ ^ i-htgatga'*

mais tg a et tg a' sont égaux aux coefficients angulaires m et m' des deux droites ; nous avons donc

Pour que deux droites soient perpendiculaires, il faut et il suffit que tg V soit infini^ c'est-à-dire que m et m' satisfassent à la condition

(12) l-hmm' = 0;

nous en tirons

ce qui nous donne ce théorème : Le coefficient angulaire (Tune perpendiculaire à une droite est égal à l'inverse changé de signe du coefficient angulaire de cette droite.

Comme exemple, cherchons Inéquation de la perpendiculaire issue du point de coordonnées (i, 4) à la droite représentée par Téquation

(9) ; nous avons

réquation cherchée est alors, en appliquant Téquation (5), .V-4 = -|-(a:-l).

Comme autre exemple, la perpendiculaire abaissée d'un point M(^ de coordonnées (xq, t/o) sur la droite représentée par

Aa;-hBy-hC = 0,

a pour coefficient angulaire l'inverse changé de signe de — ^y c'cst-à-

B dire -j > et nous pouvons écrire son équation sous la forme

(13) ^^^o îr-yo.

86. Distance d*un point à une droite. — Pour trouver la distance d'un point Mo, de coordonnées (xo i yo)» aune droite D, représentée par Téquation générale

(14) Aa:-4-By-4-C = 0,

nous traçons par le point Mo une perpendiculaire sur cette droite

[fig. 23), nous déterminons le point P yi jj de rencontre de cette perpendiculaire \ avec la droite D, et nous calculons la distance des points Mo et P. L'équation de la perpendiculaire est Téquation (13), et les coordonnées a; et y du. point P sont les solutions communes à (13) et (14); pour les calculer facilement, jg- nous prendrons comme inconnue auxiliaire la valeur commune des deux mem- Fig. 23. bres de Téquation (13), que nous représenterons par /, et nous remplacerons, dans Téquation (14) a: et y parles valeurs a?o-+-A^ yo-HB< que nous déduisons de là ; nous aurons ainsi Téquation

Aa:o-f-Byo + C-h(A«-|-B«)( = 0, qui nous donne

Axq -h Byo -h C .

A»-hB»

nous pouvons en déduire les coordonnées x et y du point P. La distance MoP est égale à

(f=V^(x-aîo)«^-(t/~l/o)^

la quantité sous le radical, exprimée en fonction de iy est égale à (A* -\- B* )<* ; nous avons par suite, en remplaçant t par sa valeur,

ta) d = val. abs. de A^Q + B-Vo + C .

Par exemple la distance du point de coordonnées (l, 5) à la droite représentée par l'équation (9) est égale à la valeur absolue de 3^IO-j-6 ^ ^j,^ ^gj ,g ^ \ .

87. Suriace d'un triangle. — Nous nous proposons d'évaluer la surface d'un triangle OAB [fig, 24) ayant un de ses sommets à Toriginc, connaissant les coordonnées (xj, i/i) et (x^, y,) des deux autres sommets A et B.

Supposons ces sommets rangés dans un ordre tel qu'une demidroite d'origine 0 et confondue avec OA vienne coïncider avec OB en décrivant un angle positif inférieur à tu ; si nous désignons par pi et ps les longueurs OA et OB, par ai et aj les angles qu'elles forment avec Ox, la surface du triangle OAB est égale à

Fig. 24

surf. OAB = -^ pi p» sin (a.> — ai).

Le second membre est égal à -^ (pi cos ai. pî sin a^ — pi sin ai. pj cos aj) ;

les divers produits qui entrent dans la parenthèse sont égaux aux coordonnées de A et de B ; nous avons donc

Surf. OAB = -^[xiy^ — yxx^) = 2

^i 2/1 ^i yt

Si la disposition des sommets est contraire à la précédente, c'està-dire si le sens dans lequel il faut faire tourner une demi-droite confondue avec OA pour l'amener à coïncider avec OB en décrivant un angle inférieur à t: est le sens négatif, il faut changer le signe des derniers membres de la relation précédente.

88.ÉquaUonhomooèiie. — Considérons une équation homogène et du second degré en x et y, écrite sous la forme générale

Ax'^-+-2Bxv-f-Ci/« = 0;

nous allons montrer qu'elle représente deux droites. Si nous divisons en effet par x» les deux membres, nous avons une équation du second

degré en ^ i

'^{ihHi)**=<'

qui a deux racines ; si nous les désignons par mi et m» , nous voyons

que l'équation est satisfaite quand on pose ^ = mi ou -^ = mj. Nous

en concluons qu'elle représente deux droites passant par Torigine et de coefficients angulaires mi et m^.

Remarquons que ces coefficients angulaires sont les racines de Téquation

CmM-2Bm-|-A=0,

obtenue en remplaçant dans Téquation donnée x par i et y par m.

Ces résultats s'étendent à une équation homogène de degré quelconque ; elle représente des droites passant par Torigine et en nombre égal au degré de Téquation.

Lorsqu'on a les équations de deux lignes quelconques f[x^ 2/) = 0 et f^{x,y) = 0, et qu'on en déduit une combinaison renfermant x et y d'une manière homogène, cette dernière équation représente des droites passant par l'origine ; elle est satisfaite d'autre part par les valeurs de a; et j^ qui satisfont aux équations données, c'est-à-dire par les coordonnées des points communs aux deux lignes ; elle représente par suite l'ensemble des droites joignant l'origine aux points communs à ces deux lignes.

Par exemple, les droites joignant l'origine aux points communs aux deux courbes représentées par

ont pour équation la suivante :

on la forme en divisant par R^ les deux membres de la seconde et retranchant membre à membre les équations obtenues.