Circonférence. — Nous avons déjà vu (n"" 77, 3^ cas) que

• Téquation d'une circonférence ayant pour centre Torigineet pour rayon R est

En général, si une circonférence a pour centre un point donné de •coordonnées (^o^ ^o) et pour rayon R, nous obtiendrons son équation

• en écrivant que le carré de la distance d'un point {x, y) de la courbe au point [xq, yo) est égal à R'; nous aurons de cette façon la relation

(a;-xo)« + (.y — .yo)* = R^

En faisant passer tous les termes dans le premier membre et ordonnant, nous récrirons

X» -H y» — 2xoa; — 2yoy H--a:î 4- y? — R=^ = 0 ;

•c'est Téquation de la circonférence.

Nous voyons que c'est une équation du second degré, mais elle n'est pas de la forme la plus générale, car il n'y a pas de terme en xy, et les coefficients de x* et de y^ sont égaux.

Nous allons montrer, réciproquement, que toute équation du second degré dans laquelle le coefficient de xy est nul, et les coefficients de X* et de y^ sont égaux, représente une circonférence. Si nous divisons en effet les deux membres par le coefficient de x^, nous pouvons toujours écrire une semblable équation sous la forme

(i) x2 -f- y« -{- 2ax -{-2by~hc = 0 ;

nous pouvons la remplacer par

{x-\- ay -h {y -h by = a^ -h b^ — c,

et sous cette forme elle exprime que la distance du point {x, y) au point (— a, — b) est constante et égale à v^a* -f- 6* — c ; elle représente bien une circonférence.

Pour construire la circonférence représentée par Téquation (i), on détermine son centre, dont les coordonnées sont — a et — 6, et son rayon, qui est égal à \/a' -h 6* — c .

90. É<iuatlon de l'ellipse. — L'ellipse est le lieu d'un point M dont la somme des distances à deux points fixes F et F' appelés foyers est constante. Nous désignerons par 2c la distance de ces deux points, et par 2a la somme constante MF H- MF' ; on a a>c\ nous poserons enfin b = y/ô*^^^^ .

Nous allons chercher Téquation de Tellipse rapportée à deux axes de coordonnées Ox et Oy [fîg, 25) dont l'un est confondu avec FF'

et dont l'autre est la perpendiculaire au premier menée par le milieu de FF' ; si a; et y sontles coordonnées d'un point M de la courbe, nous avons

MF* = (x-f-c)« + y«.

Nous allons calculer séparément MF et MF' en nous servant des expressions précédentes et de la relation fondamentale

Fig. 28,

(2) MF + MF' = 2o;

si nous formons la différence HP* — HF*, elle a pour valeur 4ca; d'après les équations (1); nous pouvons déduire de là la valeur de MF — MF:

ffF* — HF* 4ca; 2cx MF'-J-MF ~ 2a~ o *