MF' — MF
Les relations (2) et (3) donnent par addition et soustraction (4) MF=a + — . MF = a — — ;
en remplaçant dans Tune des équations (i), par exemple dans la première, MF par la valeur que nous venons de trouver, nous obtenons- Téquation de la courbe ; elle est
ou bien
en y remplaçant c- par a* — 6*, réunissant tous les termes dans u» même membre et divisant les deux membres par 6', nous obtenons. Téquation sous la forme
que nous considérerons désormais.
91. Construction de l'ellipse. — Cercle principal. — Pour construire la courbe représentée par Féquation précédente, nous résoudrons cette équation par rapport à y y ce qui nous donne
y n'est réel que si x est compris entre — a et -h a ; lorsque Tabscisse varie entre ces limites, la valeur absolue de l'ordonnée est d'abord nulle, puis croît jusqu'à 6 pour a; = 0, puis décroit pour redevenir nulle. A chaque valeur de x correspondent deux valeurs de y égales, et de signes contraires, c'est-à-dire deux points de la courbe symétriquespar rapport à Taxe des x\ la courbe se compose ainsi de deux partieségales A'BA, A'B'A, comme l'indique la figure 25.
Remarquons que deux valeurs de x égales et de signes contrairesdonnent lieu aux mêmes valeurs de y, de sorte que les points sont deux à deux symétriques par rapport à 0^ ; d'un point M on déduit trois autres points Mi , M2 , M3 par symétrie par rapport aux deux axes.
ÉQUAnOSS ISUELLES DES LIGNES DU SECOND ORDRE
Nous eo concluons que les points de la courbe sont deux à deux symétriques par rapport à Torigine 0, comme le sont M et M3 .
Les segments AA' et BB' compris entre les points de rencontre de Tellipse avec Ox et Oy sont appelés grand axe et petit axe de la courbe ; leurs longueurs sont 2a et 26 ; leurs extrémités sont les sommets, et leur point de rencontre 0 est le centre de Tellipse.
On appelle cercle principal de Tellipse le cercle décrit sur le grand axe comme diamètre ; il a pour équation
Désignons par y et par yi les ordonnées, supposées de même signe^ de deux points M et Mi de Tellipse et du cercle principal correspondant à une même abscisse x = (OP) {fig. 26) ; y est donné
par Téquation (6) et yt est égal à ±^a^ — X*; nous en déduisons
cette équation exprime que les ordon> nées des points de Tellipse s'obtiennent en réduisant les ordonnées^ correspondantes des points du cercle principal dans le rapport de 6 à a ; cette remarque permet de construire autant de points que Ton veut de la courbe.
Les coordonnées x et 1/1 du point Mi s*ex priment au moyen de Fangle 9 = (Ox, OM,) par les formules
Fig. ».
X = a cos 9 ,
y^ = a sin (p ;
par suite les coordonnées des points de Fellipse ont pour valeurs
x = a cos 9 , y = 6 sin 9 ;
ç est appelé paramètre angulaire.
92. Directrices de Telllpse. — Équation de la courbe en coordonnées polaires. — On appelle directrices de Tellipse deux droites A.
et A' [fig, 27) perpendiculaires à Taxe focal, et d'abscisses respec-
F JK
Fig. 27.
a* a' lives — et ; la première est dite directrice relative au foyer F,
la deuxième relative au foyer F'.
Les valeurs des rayons vecteurs MF et MF', fournies par les équations (4), peuvent s'écrire
MF
la première parenthèse est égale à la longueur MH 'de la perpendiculaire abaissée du point M sur A, et la deuxième est égale à la longueur MH' de la perpendiculaire abaissée du même point sur A' ; nous pouvons donc écrire les relations
MF MH
MF
MH'
Ces relations, qui ont lieu pour tout point M de la courbe, nous indiquent que le rapport des distances d'un point de VelUpse à Van
des foyers et à la directrice correspondante est constant et égal à — ;
la valeur de ce rapport est appelée excentricité et on la représente ordinairement par e ; elle est inférieure à Tunité.
Les propriétés précédentes conduisent à une équation simple de rcllipsc en coordonnées polaires lorsque Ton prend comme pôle le foyer
P et comme axe polaire la droite FA dirigée vers le sommet le plus voisin ; Tangle polaire 6 relatif à un point M estTangle (FA, FM), et le rayon vecteur p est égal à la valeur de MF, c'est-à-dire
ex
o = a L'abscisse primitive x du point M étant égale à
r + p cos 6, nous avons Féquation
p = a (c -4- p cos 6) ;
en la résolvant par rapport à p, remplaçant -— par e, et désignant
= — par />, nous trouvons Téquation cherchée qui est
i-f-ecosô
98. Équation de l'hyperbole. — L'hyperbole est le lieu d'un point M dont la différence des distances à deux points fixes F et F' appelés foyers est constante. Nous désignerons par 2c la distance de ces deux points, et par 2a la différence constante, a étant <c; nous poserons enfin 6 = v/c* — a*.
Nous allons chercher l'équation de la courbe rapportée à deux axes
de coordonnées Ox, Oy [fig, 28), dont l'un est confondu avec FF' et dont l'autre est la perpendiculaire à FF' en son milieu, et nous opérerons comme dans le cas de l'ellipse.
Nous avons , . pour tout point M de coordonnées [x, y) ,
Fîg. «8.
Mr* = {x — c)«-i-yS
Mr'=(j;H-c)*-f-yS
mais nous devons distinguer les points plus rapprochés de F que de F', de ceux qui sont plus rapprochés de F' que de F.
Considérons d'abord les premiers ; ils ont tous une abscisse posi-
tive; pour chacun d*cux, nous avons
MF — MF = 2a,
et, par le même raisonnement que dans le cas de l^ellipse, en formant la différence MF* — MF* = 4ca:, nous trouvons
MF-hMF=— ; a
nous tirons de ces deux relations
(7) MF = — — a, MF' = — -ha.
Soit maintenant Mi un des autres points, plus rapprochés de F' que de F ; ils ont tous une abscisse négative ; nous avons cette fois
comme MiF* — MTF* est égal à — 4cx, la somme MiF-t-MiF' a la valeur
MiF4-M,F' = — — 1 a
et nous tirons de ces deux relations
(8) MiF-----hrt, MiF = -~— a;
ces valeurs sont bien positives parce que x est négatif.
En écrivant que MF' ou M^F* sont égaux à [x — 0)^-4- y*, od obtient une môme relation entre x et 1/ , elle est
ou bien
si Ton y remplace c* par a- -{- &^, si Ton réunit tous les termes dans le même membre et si Ton divise enfin par &', on obtient Téquation de rhyperbole sous la forme
on voit qu'elle diffère de Téquation de Tcllipse en ce que 6* est remplacé par — 6' .
94. Constmctton de Thypcrbolc. — Asymptotes. — Hyperboles confoguées. — Pour construire la courbe représentée par cette équation, nous la résoudrons par rapport à i/, ce qui nous donne
y n'est réel que si x est supérieur à a en valeur absolue ; si x varie de — a à — oo ou de H- a à -h oc , la valeur absolue de y augmente de zéro à + «> . La courbe se compose de deux brancbes infinies distinctes ; elle admet, comme Fellipse, les deux axes de coordonnées comme axes de symétrie etTorigine conune centre ; elle a deux sommets A et A' sur Ox [fig. 29).
Fig. 29.
Si nous supprimons dans Féquation (9) le terme constant, nous obtenons une équation homogène
f!iLV
qui représente deux droites ; leurs équations écrites séparément sont
et v = ^'
142 PRINXIPES DE GÉOMÉTUE ANALYTIQUE
Ces droites sont les diagonales d'un reelangle EFGH dont les colés sont parallèles aux axes et ont pour longueurs AA' = 2a et BB' == 26 ; elles sont appelées asymptotes de Thy^ierbole et elles jouissent de cette propriété que les branches de la courbe s'en rapprochent indéfiniment au fur et à mesure qu'on s'éloigne des sommets.
Nous allons démontrer en effet que si Ton considère un point M de rhyperbole, et le point M2 de Tune des asymptotes ayant même abscisse OP et une ordonnée de même signe que celle de M, la différence MM2 entre les deux ordonnées tend vers zéro lorsque OP augmente indéfiniment. En supposant les abscisses et les deux ordonnées positives pour fixer les idées, nous avons pour leurs valeurs
et pour leur différence
y,y = |(x-v/iîZra»);
en multipliant et divisant le seeo«A membre par la quantité conjuguée de la parenthèse, nous obtenons
ah
et le second membre tend bien, vers zéro lorsque x augmente IimMSInimcnt, ce qui démontre la proposition.
Une hyperbole est dite équilatère lorsque ses asymptotes sont rectangulaires; pour que cela ait lieu, il faut et il suffit que a soit égal à 6.
Si Ton change dans Téquation (9) j; en y et a en 6, on obtient Téquation d'une hyperbole dont Taxe focal est égal à 26, et est dirigé suivant Taxe des y\ cette équation peut s'écrire
(il) %-%^^=^^
et Ton voit sous cette forme qu'elle ne diffère de (9) que par le changement de signe du terme constant.
Cette hyperbole a les mêmes axes et les mêmes asymptotes que la première; elle a pour sommets les points B et B', et elle est représentée en pointillé dans la figure 20.
ÉQUATIONS USUEU.es DES LIGNES DU SECOND ORDRE 143
Les deux hyperboles représentées par les équations (9) et (11) sont dites conjuguées; AA' est dit l'axe transverse de la première, et BB' Taxe trans verse de la seconde.
93. Hyperbole rapportée à ses asymptotes. — Construisons la courbe représentée par Téquation
(12) xy = k,
où k est supposé positif. En résolvant par rapport à y, nous avons
lorsque x varie en croissant de — oo à 0 , y est négatif et décroît
de 0 à — 00 ; lorsque x varie de 0 à H- 00 , y est positif et décroît de -h oo à 0 ; la courbe représentée par Féquation a la forme indiquée dans la figure 30 ; elle a pour asymptotes les deux axes des rc et des y.
Nous allons montrer que cette courbe est une hyperbole équilatère dont on aurait pris les asymptotes comme axes de coordonnées, et dont les axes de symétrie sont les bissectrices Ox\ Oy' des angles formés par Ox et Oy.
Pour le démontrer, nous allons évaluer les coordonnées d'un point M de la courbe par rapport à Ox' et Oy' ; ces coordonnées, que nous désignerons par x' et y\ sont les projections du vecteur OM sur les droites dirigées Ox' et Oy' faisant avec Ox des angles respectivement égaux à -^ ®* X * ^'^P^'^s ce que nous avons dit au n* 71, nous avons
Fig. 30.
X = X cos -r -f- y COS -T- = ^
y =xcos-j- -f-y cos(— jj =
PRLNCIPES DE GÉOMÉTRIE ANAL\TIQGE
et écrivant que leur
■en tirant de ces équations les valeurs de x et y produit est égal à k, nous trouvons Téqualion
^'est bien Téquation d'une hyperbole équilatëre dont le demi-axe transverse est égal à ^2k.
Les raisonnements qui précèdent s'étendent sans modification au cas où les axes Ox, Oy ne sont pas rectangulaires ; par rapport à un système quelconque d'axes, l'équation (12) représente une hyperbole ayant pour asymptotes les axes de coordonnées.
96. Directrices de Thyperbole. — Équation de la courbe en coor- Hlonnées polaires. — On appelle directrices de Thyperbole deux droites A, A' [fig, 31) perpendiculaires à Taxe focal, et d'abscisses respectives
— et ; la première est relative au foyer F et la deuxième au
4*oyer F'.
Fig. 31.
Les rayons vecteurs MF, MF' d'un point M de la branche dirigée du côté des X positifs ont des valeurs fournies par les équations (7), -et on peut les écrire
