MF

ii'-i)' "'■-H'^'î)-

les parenthèses sont égales aux longueurs des perpendiculaires MH et MH' abaissées de M sur les directrices ; nous avons donc les relations

MF £ MF c

MH""a' MH'""tt'

De la même manière, les rayons vecteurs MiF, MiF' d'un point Ml de Tautre branche de la courbe ont des valeurs fournies par les équations (8) et on peut les écrire

les parenthèses sont égales aux longueurs des perpendiculaires MiHi, MiHi' abaissées de Mi sur les directrices ; nous avons donc encore les

relations

MiF c MiF^ c

M,H|~"a' M,Hi'"~a'

Dans Tun et Tautre cas, nous voyons que le rapport des distances d'un point quelconque de Thyperbole à Tun des foyers et à la directrice

correspondante a une valeur constante et égale à — ; cette valeur,

appelée excentricité et représentée par e^ est supérieure à Tunité.

L'équation de l'hyperbole en coordonnées polaires prend une forme simple lorsqu'on prend comme pôle le foyer F' et comme axe polaire la droite F'A' dirigée vers le sommet voisin. Considérons d'abord un point Ml de la branche voisine de F' et prenons comme angle polaire . de Ml l'angle 6 = (F'A', F'Mi); le rayon vecteur p est positif et a pour

ex valeur p = — a L'abscisse primitive x du point Mi étant

égale à — c + p cos 9, nous avons l'équation

p= — a ( — c-hp cos Cl) ;

en la résolvant par rapport à p, remplaçant — par e, et = —

par /}, nous trouvons l'équation

^"> P=i-^fcosô'

Considérons maintenant un point M de l'autre branche; pour VoGT. — Math. sup. iO

aboutir à un résultat comparable au précédent, nous sommes amenés à «prendre comme angle polaire du point M Tangle (F'A', F',u) formé •avec F'A' par la direction opposée à F'M ; le rayon vecteur p est

^alors négatif, et égal à — F'M, c'est-à-dire que Ton a p = — (a -h —Y

L'abscisse primitive x du point M étant toiyours égale à — c-i-pcos6, ^nous avons Téquation

P = — a ( — c H- p cos 0) ;

elle nous conduit à la même valeur de p que précédemment. L'équation (13) représente ainsi toute la courbe en faisant varier 6 de 0 à 27c; les valeurs positives du rayon vecteur correspondent aux points de la branche avoisinant le pôle, et les valeurs négatives correspondent aux points de l'autre branche.

97. Parabole. — La parabole est le lieu d'un point M équidistant d'un point fixe F appelé foyer et d'une droite fixe A appelée directrice.

Prenons comme origine 0 {/ig. 32) le milieu de la perpendiculaire abaissée du foyer sur la directrice, comme axe des x la droite dirigée du point 0 vers le foyer et comme axe des y la perpendiculaire menée par 0 à cette droite. En désignant par p le paramètre de la parabole, c'est-àdire la distance du foyer à la directrice, nous

voyons que l'abscisse du foyer est ^ > et celle de la directrice — ^; les distances MF et

MH d'un point M de coordonnées {Xy y) au foyer et à la directrice sont égales à

Fig. 32.

^P = y/(^~f)Vy«,

MH=xH-£;

en écrivant que les carrés de ces distances ont la même valeur, nous avons la relation

i'-iy^y-'M)'-'

après simplification, nous obtenons Téquation de la parabole sous la forme (14) y« — 2/)x = 0.

En la résolvant par rapport à y^ nous avons

y n'est réel que si x est positif; lorsque x augmente de 0 à +00 , la valeur absolue de y augmente aussi de 0 à +00 ; à chaque valeur <ie X correspondent deux valeurs de y égales et de signes contraires ; nous en concluons que la courbe admet comme axe Taxe des x. Elle passe par Torigine 0, qui est appelé sommet de la parabole, et Taxe 0^ est appelé la tangente au sommet de la courbe.

98. Équation de la parabole en coordonnées polaires. — Prenons comme pôle le foyer F et comme axe polaire la droite FO dirigée vers le sommet ; si p et 0 sont les coordonnées polaires d'un point M de

la courbe, l'abscisse primitive x est égale à ^ — p cos 0 ; en remplaçant

x par cette valeur dans la relation p = a? -f- ^ , et résolvant par rapport à p, nous obtenons Téquation cherchée qui est

^ 1 -h cos 6

Remarquons que les équations focales des trois coniques en coordonnées polaires ont la même forme

P ^ 1 -h e cos ô '

"elles ne diffèrent que par la valeur de e qui est plus petit que 1 pour Tellipse, plus grand que 1 pour Fhyperbole et égal à 1 pour la parabole.

La circonférence, Tellipse, Thypcrbole et la parabole que nous avons considérées dans ce chapitre sont désignées souvent sous le nom général de coniquesy parce qu'elles sont identiques aux sections planes d'un cdne de révolution. Nous démontrerons plus tard que toute courbe du second ordre ne diffère pas de Tune des précédentes ; c'est de là que vient le nom de conique donné ordinairement à toute courbe du second ordre.