CHAPITRE VI COORDONNÉES DANS L'ESPACE

99. Ck>ordonii6e8 cartésiennes. — Considérons trois grandeurs variant simultanément et dépendant les unes des autres, par exemple la pression d'un gaz, son volume et sa température, et supposons que les états correspondants de ces grandeurs soient caractérisés par des nombres relatifs que nous désignerons par x, y, z; Tenscmble de

ces trois nombres peut être représenté géométriquement de la façon suivante.

Prenons fjiff, 33) trois axes de coordonnées x^x, y'y, z'z se coupant en un même point 0 et non situés dans un même plan ; sur chacun d'eux choisissons le point 0 comme origine et comme sens positifs les sens Ox, Oy, Oz; les plans qu'ils, forment deux à deux sont dits plans de coordonnées et désignés sous le nom de plans des xy, des yz et des zx. Portons sur chacun des axes à une échelle convenue, qui peut ne pas être la même pour les trois, des vecteurs OP, OPi, OPj ayant pour valeurs relatives les nombres x, y, z et traçons par Teitrémité de chacun d'eux un plan parallèle aux deux autres ; les plans ainsi obtenus forment avec les plans de coordonnées un parallélipipède, et le point M où ils se coupent est le point représentatif du système de nombres x, y, z.

Fig. 33,

COORDONNÉES DANS l'esPACE 149

Inversement, étant donné un point M de Tespace, les plans tracés par ce point parallèlement aux plans de coordonnées coupent les axes en des points P, Pi, P2 ; au point M correspond un seul système de trois nombres Xy y, z qui sont les valeurs relatives des vecteurs OP, OPi, OP2 ; ces nombres sont appelés les coordonnées de M ; x est Tabscisse, y l'ordonnée et z la cote.

Les projections du vecteur OM faites sur chacun des axes parallèlement au plan des deux autres ont pour valeurs les coordonnées du point M ; de plus, si Q est le sommet du parallélogramme dont OP et OPi sont deux côtés, les vecteurs OP, PQ, QM dont la résultante est OM ont aussi pour valeurs les coordonnées de M ; le contour OPQM est appelé contour des coordonnées du point M.

Les coordonnées que nous venons de définir sont appelées cartésiennes; suivant que les axes forment ou non un triède trirectangle, on dit que les cordonnées sont rectangulaires ou obliques ; sauf dans des cas tout particuliers, nous n'emploierons que des coordonnées rectangulaires. Dans la géométrie analytique proprement dite, on suppose de plus que les échelles adoptées pour la construction des vecteurs sont les mêmes pour les trois axes.

100. Représentation des surfaces. — Considérons une équation entre les trois coordonnées x, y, z; soit par exemple

supposons qu'on la résolve par rapport à z, et qu'elle fournisse, pour fixer les idées, deux valeurs de cette variable ; nous les appellerons

à chaque système de valeurs des coordonnées x et y représentées par un point tel que Q du plan des xy correspondent deux points M et M' de l'espace {fîg, 34) dont les cotes ont les valeurs (2) ; lorsque Q se déplace dans tout le plan xOy, l'ensemble des points M et M' forme une surface.

Inversement, si l'on donne une surface, toute parallèle à l'un des axes, par exemple à l'axe des z, la coupe ordinairement en un ou plusieurs points M, M^ ... ; la cote de chacun d'eux dépend des

Fig. ai.

coordonnées x et y du point Q où la parallèle rencontre le plan des xy, de sorte qu'il existe une relation telle que

entre les coordonnées d'un point de la surface ; celle-ci est donc représentée par une équation entre les coordonnées de chacun de ses points.

Une surface est souvent définie par une propriété géométrique commune à tous ses points ; il suffît de traduire cette propriété par une relation entre les coordonnées pour avoir l'équation de la surface. Par exemple^ une sphère de rayon R ayant pour centre Torigine est telle que la distance OM de ce point à

un point M de la surface est égale à R; d'après ce que nous avons vu

n° 72, nous avons entre les coordonnées x, y, z de chacun des points

tels que M la relation

c'est l'équation delà sphère.

101. Cas particuliers des cônes et des cylindres. — Pour donner un autre exemple, nous allons chercher l'équation d'une surface conique de révolution ayant pour sommet l'origine 0, pour demi-angle au sommet un angle donné Y et pour axe une droite faisant avec les axes de coordonnées des angles donnés égaux à a, p, y.

Soit M un point quelconque de la surface, soient x, y, z ses coordonnées et p le vecteur OM ; en évaluant, comme nous l'avons fait au numéro 73, la projection de OM sur l'axe du cône, nous obtenons la relation

p cos V = X cos a -f- y cos p -f- 5 cos Y ;

en élevant au carré les deux membres et remplaçant p^ par x^-hy^-h s*, nous avons Téquation cherchée qui est

[x- H- y* -H 5*) cos* V = (x cos a -h y cos p 4- s cos y)-.

COORDONNÉES DANS l'eSPâCE

Remarquons que cette équation est homogène par rapport kx,y,z ; nous pouvons montrer inversement que toute équation homogène représente une surface conique ayant pour sommet l'origine des coordonnées, cette surface n'étant pas forcément de révolution.

Supposons en effet qu'une surface soit représentée par une équation homogène, et soit M un point de coordonnées x, y, z situé sur elle; d'après la définition de l'homogénéité (n*" 62), son équation est satisfaite non seulement par x, y, s, mais encore par tous les nombres»

de la forme

x' = kxy y' = /ry, z' = kz.

Lorsque k varie, tous les points de coordonnées x', y', z' sont ceui de la droite OM, et cette droite est tout entière sur la surface ; celleci jouit ainsi de la propriété de contenir toutes les droites joignant l'origine à chacun de ses points ; c'est donc une surface conique ayant pour sommet l'origine.

Supposons maintenant que l'équation d'une surface ne renfermeque deux des variables, par exemple x et y, et soit de la forme

nous allons montrer qu'elle représente une surface cylindrique dont les-

génératrices sont parallèles à Oz. Soit en effet M [fig, 35) un.

point de coordonnées [x^ y, z) situé sur la surface, et G la parallèle à Oz passant par M ; tous ■ — - les points de cette droite ont les mêmes coordonnées x eiy que M, et la cote z seule diffère de l'un à l'autre; les coordohnéesde chacun d'eux satisfont donc constamment à l'équation (3)..

Nous concluons de là que la^ droite G est tout entière sur la surface ; celle-ci jouit ainsi de la propriété de contenir toutes les droites parallèles à O2 et passant par chacun de ses points ; c'est donc une surface cylindrique parallèle à Taxe desz.

Tous les points de la trace C du cylindre sur le plan des xy ont des-

PRINXIPES DE GÉOMÉrniE ANALYTIQUE

coordonnées x ety satisfaisant à Téquation (3); cette équation représente donc dans Tespace un cylindre parallèle à Oz, et en géométrie plane la trace de ce cylindre sur le plan des xy ; de même, une équalion ne renfermant pas x ou ty, représente un cylindre parallèle à Taxe des x ou à l'axe des y.

Par exemple, Téquation

xM^î/- — ll* = 0

représente un cylindre ayant ses génératrices parallèles à Oz, et ayant pour base dans le plan des xy un cercle de rayon R et de centre 0.

102. Représentation des lignes. — Considérons deux équations entre x, y, z ; soient

supposons qu'on les résolve par rapport h y et z et qu'elles fournissent un ou plusieurs systèmes de valeurs tels que

y=f{x), z = cp(x);

à chaque valeur de x représentée par un point P de Ox [fig. 36)

correspondent un ou plusieurs points de l'espace tels que M dont les coordonnées y et z ont les valeurs (5) ; lorsque P se déplace sur Ox, l'ensemble de ces points M constitue une ligne.

Inversement, si l'on donne — j une ligne C, tout plan parallèle à l'un des plans de coordonnées, par exemple au plan des yzy la coupe ordinairement en un ou plusieurs points tels que M ; l'ordonnée (PQ) et la cote (QM) de l'un d'eux dépendent de l'abscisse (OP) du point où le plan coupe l'axe des X, et il existe deux relations telles que (5) entre les coordonnées d'un point de la ligne ; celle-ci est donc représentée par deux équations entre les coordonnées de ses points.

Fig. 36.

COORDONNÉES DANS l'eSPACE 153

Chacune des deux équations telles que (4) qui définissent une ligne représente elle-même une surface ; les points communs aux deux surfaces ainsi obtenues sont ceux dont les coordonnées satisfont à la fois aux deux équations, c'est-à-dire ceux qui appartiennent à la ligne considérée; on dit alors que cette ligne est l'intersection des deux surfaces représentées par ses deux équations.

Si Tune des deux équations, ou une combinaison que Ton en déduit, ne renferme que deux coordonnées, si elle a par exemple la forme

de la première des équations (5), elle représente un cylindre parallèle à Oz et passant par la ligne : on dit que c*est le cylindre projetant la ligne parallèlement à Taxe des z. La même équation représente aussi, dans le plan des xy, la trace de ce cylindre, c'est-à-dire la projection Ci de la courbe C sur le plan xOy. En formant de même une combinaison ne renfermant pas y, c'est-à-dire en éliminant y entre les deux équations de la ligne, on obtient l'équation du cylindre projetant parallèlement à Oy, et aussi celle de la projection de la ligne sur le plan xOz ; l'élimination de x conduirait de même à 1 équation du cylindre projetant parallèlement à Ox et à celle de la projection de la ligne sur le plan des yz, #

Il arrive souvent que les trois coordonnées d'un point sont exprimées au moyen d'un même paramètre variable ; l'ensemble des points correspondant à toutes les valeurs de ce paramètre constitue une ligne. Supposons en effet que l'on ait des relations de la forme

OÙ t est un paramètre variable ; à chaque valeur de x correspondent une ou plusieurs valeurs de /, et à chacune d'elles une valeur de y et une de z; ces deux dernières coordonnées sont donc liées à x par des relations de la forme (5), et ces équations représentent une ligne. En éliminant t entre les équations données, on obtient entre x, y, z deux équations telles que (4) ; ce sont les deux équations de la ligne.

Soient par exemple les équations

x^=Rcosîp, y = Rsincp, s = R cos qp -4- R sin 9,

OÙ ç> est un paramète variable ; réiimination de o conduit aux deux équations

la première représente lui plan, comme nous le verrons, et la seconde, un cylindre de révolution de rayon R ayant pour axe Oz ; la ligne représentée par les équations est l'intersection de ces deux surfaces, et Ton démontre en géométrie qu'elle est une ellipse.

Les deux premières équations (6) déterminent dans le plan des xy une ligne dont tous les points ont les mêmes coordonnées x et y que les points de la ligne de Pespace ; elles représentent par suite la projection de celle-ci sur le plan xOy ; les équations (6) prises deux à deux représentent donc les projections de la ligne sur les trois plans de coordonnées.

103. Coordonnées des points d'une droite. — Comme au n® 78, la manière la plus simple de déterminer analytiquement les points d'une droite consiste à donner les coordonnées Xo^yo^z^ d'un des points Mo de cette droite, et les angles a, p, y que fait avec les axes de coordonnées une direction positive choisie sur elle. Si nous prenons sur cette ligne, à partir de Mq, un vecteur MqM égal à p {/ig. 37), et si

X, y, z sont les coordonnées de l'extrémité M de ce vecteur, nous savons que les projections de OM sur Ox, Oy et Oz sont égales aux sommes des projections de OMq et MqM sur lesmêmes axes ; nous pouvons donc écrire

x = Xq-^P cos a , (7) .y--2/o-+-pcos?,

5 = 5o -+- p cos Y ; Fig. 37.

telles sont les expressions, en fonction

du paramètre variable p, des coordonnées des points de la droite.

Nous déduisons de là les expressions des projections du vecteur MqM

P cos OL = X Xq ,

pcosp = y — yo»

p cos r = 5 — So ;

COORDONNÉES DANS l'eSPACB 15

enfin rélimination de p entre ces relations nous donne les équations de la droite :

cosa cosp cosT '

ce sont dewiL équations du premier degré satisfaites par les coordonnées de tous les points de la droite; nous voyons donc qu'une droite est représentée par deux équations du premier degré.

Si nous ajoutons membre à membre les carrés des équations (8), nous trouvons le carré de la distance des deux points M^ et M ; il est donné par la formule

9' =ÏM'= (-r - X,)' ^ (y -y, Y -^ (= ~ ^0)^

On peut choisir simplement le point Mq et supposer par exemple que c'est le point P de la droite situé dans le plan des xy ; on a alors z«) = 0. Les équations (0) peuvent s'écrire dans ce cas

cosa

cosB^ . „ .

cos Y " cos Y

on les met ordinairement sous la forme (10) x—az-hp, y = bz-i-q.

104. Équation d'an plan. — La manière la plus simple de déterminer analogiquement un plan consiste à donner les coordonnées [X^j yo« ^o) <l'un de ses points, Mq, et les angles a, p, y que fait avec les axes de coordonnées une perpendiculaire à ce plan.

Soit M un point quelconque du plan, de coordonnées (x, y, z]^ et soient a', ^', Y ^^^ angles que fait avec les axes le vecteur MqM ; entre les cosinus de ces angles et les coordonnées des points Mq et M existent les relations suivantes, analogues à (9)

' cosa' cosp' cos y '

la condition pour que les droites faisant avec les axes les angles a, p, y et a', f'j Y soient rectangulaires est, comme nous l'avons vu au n** 7.'{,

cos a cos a' -4- cos ,8 cos p' -+- cos y cos y' = 0 ;

156 PRINCIPES DE GÉOMÉTRlfc: ANALYTIQUE

<*n remplaçant cos a', cos p', cos y' par les valeurs proportionnelles tirées de (11), nous avons Téquation suivante :

(12) {x — Xq) cos a -f- (y — yo) cos p -f- (s — z^) cos y = 0,

<]ui est satisfaite par les coordonnées des points du plan ; c^est donc Téquation du plan ; comme elle est du premier degré entre x, y, z, nous voyons qu'un plan est représenté par une équation du premier degré.

105. Ordre d'une surface ou d*une courbe algébriques. — On appelle surface algébrique une surface dont Téquation est algébrique par rapport aux trois variables x, y y z\ si Ton rend celte équation rationnelle et entière et si Ton fait passer tous les termes dans le premier membre, elle prend la forme

OÙ f est un polynôme entier en x, y, z\ le degré de ce polynôme est appelé Tordre de la surface.

L'ordre d'une surface est égal au nombre de points réels ou imaginaires de rencontre de cette surface avec une droite quelconque ; pour le démontrer, nous suivrons le même mode de raisonnement qu'au n'' 79. Les coordonnées des points d'une droite D issue d'un point M„ étant données par les formules (7), les points de rencontre de cette droite avec la surface représentée par l'équation (13) seront fournis par l'équation

(14) /"(xo -f- p cos a, yo^-pcosp, z^ -]- ^ cos y) = 0 ;

les racines de cette équation, où p est Tinconnue, sont les valeurs relatives des vecteurs ayant pour origine M^ et pour extrémités les points de rencontre de la droite et de la surface ; le nombre de ces derniers est égal au degré de l'équation, et il est le même que le degré du polynôme f{x, y, z), c'est-à-dire l'ordre de la surface.

Si l'équation (14) a plus de racines qu'il n'y a d'unités dans son degré, elle est satisfaite par toute valeur de p, et la droite D est située tout entière sur la surface.

La surface du premier ordre est représentée par une équation du premier degré, dont la forme générale est

(15) Aa;-f-By-t-Cz-l-D = 0;

COORDONNÉES DANS l'eSPACE 15T

elle est rencontrée par une droite quelconque en un seul point, et si: une droite la rencontre en deux points, elle est tout entière sur la surface; ces propriétés caractérisent un pian, donc une équation dit premier degré représente un plan.

On appelle ligne algébrique une ligne dont les deux équations sont algébriques ou, ce qui revient au même, dont les coordonnées des différents points sont des fonctions algébriques d'un paramètre. On appelle ordre d'une ligne algébrique le nombre des points de rencontre de ectte ligne avec un plan quelconque ; pour le déterminer, on cherche 1& nombre des solutions codimunes aux équations de la ligne et à Téqualion d'un plan quelconque, prise sous la forme (15).

Par exemple la ligne représentée par deux équations du premier degré est rencontrée par un plan en un seul point, car la résolution de trois équations du premier degré dans le cas général fournit une seule solution; cette ligne est donc du premier ordre, et c'est une droite; nous voyons que deux équations du premier degré représentent une droite.

Une section plane d'une surface algébrique est une courbe plane algébrique; elle est rencontrée par une droite de son plan en un même nombre de points que la surface, par conséquent elle a même ordre que la surface; ainsi toute section plane d'une surface du second ordre est une courbe du second ordre.

L'intersection de deux surfaces algébriques est une ligne algébrique ; on démontre en algèbre que l'ordre de cette ligne est égal au produit des ordres de ces deux surfaces ; par exemple la ligne d'intersection de deux surfaces du second ordre est une ligne du quatrième ordre. Cette ligne peut se décomposer en plusieurs autres, par exemple en deux lignes du second ordre, ou en une droite et une ligne du troisième ordre, ou en quatre droites.

106. Génération d*ane surface par une ligne variable. — Surfaces réglées. — Un procédé très général de génération d'une surface consiste à la définir comme le lieu des positions successives d'une ligne variable qui se déplace en changeant ou non de forme suivant une loi donnée. Par exemple, on considère une surface conique comme engendrée par une droite passant par un point fixe, le sommet de la surface,, et s'appuyant sur une ligne ou une surface fixes. De même, on consi-

dcre une surface cylindrique comme engendrée par une droite qui reste parallèle à une direction fixe et s'appuie sur une lign» ou une surface fixes. Dans tous les cas, la ligne mobile s'appelle généwairice et les lignes fixes qu'elle est assujettie à rencontrer s'appellent dit^cirices.

Une génératrice de la surface est ordinairement représeaiée par deux équations renfermant un paramètre variable, de la forme

a étant le paramètre ; à chaque valeur de a correspond une position de la ligne mobile. On obtient l'équation de la' surface engendrée parla ligne génératrice en formant une combinaison des deux équations de cette ligne ne renfermant plus le paramètre a, ou, comme on dit, en éliminant a entre les deux équations.

Exemple, — La droite représentée par deux équations y=ax, z = a

se déplace lorsque a varie, et engendre une surface dont on forme l'équation en éliminant a entre les deux relations précédentes , on obtient ainsi l'équation y =xz, qui représente une surface du second ordre. On définit quelquefois la ligne génératrice en donnant les expressions des coordonnées d'un point de cette ligne au moyen d'un premier paramètre ; désignons le par u ; lorsque u varie, on obtient les points successifs de la génératrice. Les expressions des coordonnées renferment en outre un deuxième paramètre que nous appellerons v ; à chaque valeur de v correspond alors une position de la génératrice ; de cette façon, on a, pour représenter les coordonnées des points successifs de la surface engendrée par la ligne, des expressions renfermant deux paramètres, de la forme

Toute relation entre u et v représente une ligne tracée sur la surface ; en particulier les lignes représentées par u = c'* ou v = c** sont appelées lignes coordonnées, parce qu'elles généralisent sur une surface quelconque les parallèles x = c*® y = c** aux axes de coordonnées de la géométrie plane.

On appelle surfaces réglées celles qui sont engendrées parle dépla-

COORDONNÉES DANS l'eSPACE 159

cernent d'une droite mobile. En général, on suppose que les équations de la génératrice sont mises sous la forme

x = az-^p, y=zbz + q,

et que les quatre coefQcients a^b^p^q^ sont des fonctions d'un même paramètre l ; lorsque t varie, on obtient les droites successives de la surface ; on forme Téquation de cette surface en éliminant / entre les équations de la génératrice.

Parmi les surfaces réglées, nous mentionnerons les surfaces coniques et les surfaces cylindriques dont nous avons vu au ii° 101 les équations dans des cas particuliers. Nous mentionnerons aussi les surfaces conoTdes ; on appelle ainsi les surfaces engendrées par une droite restant parallèle à un plan fixe appelé plan directeur, en s'appuyant sur une droite û\t appelée directrice reciiligne et sur une autre ligne, droite ou courbe.

107. Surfaces de réYolutlon. — Une surface de révolution est obtenue en faisant tourner une ligne plane ou gauche autour d'une droite fixe que Ton appelle axe de la surface ; dans ce mouvement, tout point de la ligne mobile décrit une circonférence dont le centre est sur Taxe et dont le plan est perpendiculaire à Taxe ; une telle circonférence s'appelle un parallèle de la surface ; les sections par des plans passant par l'axe sont des lignes égales entre elles et sont désignées sous le nom de méridiens.

Au lieu de considérer la surface comme le lieu des positions successives d'une ligne invariable de forme tournant autour de l'axe, on peut encore la regarder comme engendrée par une circonférence variable de grandeur et de position, dont le centre est sur Taxe, le plan perpendiculaire à l'axe, et assujettie de plus à s'appuyer sur une ligne donnée ; cette manière d'envisager la surface est souvent employée pour former son équation.

Nous supposerons que l'on prend comme axe des z l'axe de la surface de révolution, et que l'on donne l'équation d'un méridien de cette surface dans un plan que nous prendrons comme plan des xz ; soit, dans ce plan,

(16) /lx,=) = 0

réquation de la courbe méridienne, et soient (xo,Zo) ^^^ coordonnée» d'un point de cette courbe. Dans le plan de cote Zq existe un parallèle de la surface dont le rayon est x^ , et dont les équations sont

en écrivant que Xy et z^ satisfont à Téquation (16), nous avons Féquation delà surface, qui est

(17) fWx^-^y\z)=0;

on l'obtient simplement en remplaçant x parv/^M-y* dans Téquation de la ligne méridienne donnée dans le plan des xz.

Gomme exemples de surfaces de révolution, nous mentionnerons :

i"* L'ellipsoïde de révolution, engendré par une ellipse tournant autour de Tun de ses axes ; TeHipsoîde est allongé ou aplati suivant que Taxe de révolution est le grand ou le petit axe. Si nous supposoas que les axes dirigés suivant Ox et Oz soient égaux à 2a et 2c, et que Oz soit Taxe de révolution, l'équation de la surface est

2° L'hyperboloïde de révolution, engendré par une hyperbole tournant autour de l'un de ses axes ; en employant les mêmes notations que précédemment, l'équation de la surface est

si l'axe de révolution est Taxe non transverse ; Thyperboloîde est alors dit à une nappe. L'équation est

si Taxe de révolution est Taxe transverse ; l'hyperboloïde est alors dit à deux nappes ;

3° Le paraboloïde de révolution, engendré par une parabole tournant autour de son axe ; son équation est de la forme

4^ Le tore, engendré par une circonférence tournant autour d'un axe situé dans son plan et ne passant pas par son centre.

108. Coordonnées seml - polaires. — On peut déterminer la position d'un point M de l'espace par d'autres coordonnées que les coordonnées cartésiennes. On peut conserver la cote z du point et remplacer ses coordonnées x et j^; qui sont aussi celles de sa projection Q sur le plan des xy , par les coordonnées polaires dans ce plan {fig. 38); en choisissant comme pôle l'origine, comme axe polaire l'axe Ox et comme sens positif des angles le sens dans lequel il faut faire tourner Ox pour Tamener à coïncider

avec Oy par une rotation de ^ i nous avons toujours, comme au n* 80,

Fig. 38.

X = p cos 0 , t/ = p sin ô .

Les coordonnées p, 0, ;: sont appelées coordonnées semi-polaires <lu point M.