Coordonnées polaires. — Ëtant donnés le système d'axes

rectangulaires Oxyz et un point M (fig, 39) j considérons la droite indéfinie passant par 0 et M et sur cette droite un sens positif OD; nous appellerons rayon vecteur de M le vecteur OM , et nous désignerons par p sa valeur relative sur la droite dirigée OD. Le plan indéfini déterminé parles deux droites Oz et OD est partagé par Taxe des 2 en deux demi-plans; considérons seulement celui de ces deux demi-plans qui contient la demi- 'droite OD et appelons Od sa trace sur le plan des xy .

VoGT- — Math. sup. i4

Fig. 39.

Dans ie plan xOy choisissons comme sens positif celui dans lequel on doit faire tourner Ox pour l'amener à coïncider avec Ojf par

une rotation de -^^ et désignons par ^ Tangle (Ox, Oc/); dans le

demi-plan zdz\ choisissons de même comme sens positif celui dans lequel on doit faire tourner 0;; pour Tamener à coïncider avec Od par

une rotation de -x- et désignons par ô Tangle {Oz^OD),

Nous voyons qu'à chaque système de valeurs de ^ , 0 et p correspond un seul point M de Tespace, car ^ détermine Od et le demiplan zdz\ 6 détermine dans ce demi-plan la droite dirigée OD, et p détermine sur cette droite le point M; les nombres ^, 0, p sont appelés coordonnées polaires du point M.

Mais inversement, à un point M correspondent une infinité de systèmes de valeurs de 0; , 6 et p ; si pi est la valeur absolue du vecteur OM, ôi Tangle unique compris entre 0 et ir formé par OM avec Oz, Orfi la trace sur le plan xOy du demi-plan sOM, et tJ;» l'angle unique compris entre 0 et 2tz formé par Odi avec Ox, tous les systèmes de coordonnées polaires du point M sont compris dans les deux formules

p = pi, 0 = 0i-f-2fr::, ^ = ^, -h 2À'7î,

p = p,, o = Ô,-4-(2/c-f-i)::, ^ = ^, + {2k -h i)iz ,

k étant un entier positif, négatif ou nul ; on se contente souvent de prendre le système unique de coordonnées dont les valeurs sont

pi» ôn+i-

Pour passer des coordonnées polaires aux coordonnées cartésiennes X, y, z, ou inversement, nous remarquerons que la projection 00 du vecteur OM sur le plan des xy a pour valeur relative

(OQ)=psine, et nous obtiendrons les relations

X = (OQ) cos ij; = p sin 0 cos i{/ , y = (OR) sin ^ = p sin 0 sin <j/ , z = (OM) cos 6 = p cosG ;

elles donnent inversement

= ±:v/xM-yM-sS

COS0 = — » COS'i'= — r— r ' Sm •]/

p ^ p sm 0 ^ p sin 0

Toute relation entre p, 0, ^ déûnit une surface ; en particulier, sii p est constant, cette surface est une sphère dont le centre est Torigine^ et dont le rayon est p ; les formules précédentes servent à représenter les coordonnées des points de cette sphère au moyen des paramètres 0 et •{/ qui sont la colatitude et la longitude.