PROBLÈMES SUR LA DROITE ET LE PLAN

et d'autre part à la condition

cos^ a -h cos* p H- cos* y = * î

la valeur de chacun des rapports (3) est égale à la racine carrée du quotient de la somme des carrés des numérateurs par la somme des

carrés des dénominateurs, et elle est égale à — ; par

±:V/a«-f-6*4-c> suite oc, p, Y sont déterminés par les équations

cos a = » cos p =

,., , dbv/a*-f-6«H-c« db v^a* H- 6» -h c>

cosY =

dn/û

les radicaux étant pris chaque fois avec le même signe. Aux deux signes correspondent les deux directions opposées que Ton peut choisir sur la droite.

111. Cas particuliers. — Si c n'est pas nul, on peut sans inconvénient le supposer égal à Tunité ; si de plus Mq est dans le plan des œy et a pour coordonnées Xq =/>, i/o = y, -o = ^» '^s équations (2) peuvent s'écrire

(5) x = az-hp, y = bz-hq;

c'est une forme commode des équations d'une droite, parce qu'elles renferment seulement quatre coefficients, ce qui est le nombre le plus petit possible.

Lorsqu^on veut revenir de la forme (5) des équations à la forme habituelle, on écrit

Si la droite est parallèle à un plan de projection, un des cosinus ou des coefficients directeurs est nul, et le numérateur correspondant doit être égalé à zéro ; par exemple les équations d'une droite parallèle au plan des xy sont de la forme

Aa;-hBy-i-C = 0, z=:z^.

Si la droite est parallèle à l'un des axes de coordonnées, deux des cosinus ou des coefficients directeurs sont nuls, et les numérateurs

correspondants doivent être égalés à zéro ; par exemple les équations <i'une parallèle à Oz sont

^ = ^01 .V = yo-

L'axe des z a pour équations ar = 0, y = 0; Taxe des x a pour •équations y — 0, s = 0 et Taxe des y a pour équations x = Oy 5 = 0.

Si la droite est définie par deux points Mo et Mi de coordonnées (^0» 2/o> ^o) et (J^i^ .Vi» ^i)» ^^^^ formerons d'abord les équations (2) d'une droite passant par Mq, puis nous déterminerons les coefficients ^, by c par la condition que les équations soient satisfaites par [xi , yi , Zi) ; nous aurons ainsi les conditions

nous en déduirons les équations de la droite qui sont

En particulier, les équations de la droite joignant Torigine au point -de coordonnées (>, , ^/i , 5,) sont

Xi yi z,

112. Droites parallèles. — Anflle de deux droites. — Droiles rectangulaires. — Etant données deux droites, représentées respectivement par les équations

x — x^ ^ y — yo ^ zZZ^, abc ;8)

-r — a?i__y— yi 5 — 5t

la condition nécessaire et suffisante pour qu'elles soient parallèles est qu'elles fassent les mêmes angles avec les axes de coordonnées ; les •cosinus de ces angles, d'après les formules (4), sont respectivement .proportionnels à a, b, c et à a', &', c' ; nous en concluons qu'il faut «t il suffit que ces coefficients soient proportionnels, c'est-à-dire que Ton ait