PROBLÈMES SLR LA DROITE ET LE PLAN

L'angle de deux droites est Tangle' formé par les parallèles à ces droites menées par un point quelconque, par exemple par Torigine. Si les équations des deux lignes données sont sous la forme que nous venons d'indiquer, les parallèles qu'on peut leur mener par l'origine font avec les axes les angles a, p, y, a', p', 7' déterminés par les équations (4) pour la première, et par des équations analogues pour la seconde.

Nous avons vu au n** 73 que l'angle V formé par deux droites issues de l'origine est donné par la formule

cos V = cos a cos a' H- cos p cos p' -f- cos y cos y ; nous avons donc, en remplaçant les cosinus par leurs valeurs,

/-nx ^r aa' -h bV -h ce'

(10) cosV = - ,-- •

Pour que les deux droites soient rectangulaires, il faut et il suffit que cos V soit nul, c'est-à-dire que l'on ait la condition

(11) aa'-h66' + cc' = 0.

113. Équation d*un plan. — Angles de droites et de plans. — Par un raisonnement analogue à celui du n^ 104, nous allons former l'équation d'un plan passant par un point Mo, de coordonnées (^o> 2^o^ ^0) ^^ perpendiculaire à une droite D de coefficients directeurs a, b, c. Si X, y, z sont les coordonnées d'un point M du plan, les coefficients directeurs de la droite MqM sont proportionnels à x — Xq , y — yo , z — z^y et en écrivant, d'après la formule (11), que cette droite est perpendiculaire à D, nous obtenons l'équation du plan, qui est

(12) a(x~Xo) + %-i/o)+c(s-Zo) = 0; elle est de la forme

(13) Aa;-f-B3/H-Cz-f-D = 0.

Si nous appelons coefficients directeurs d'un plan les coefficients A, B, C de ar, y, z dans son équation, nous déduisons de ce qui précède le théorème suivant :

Lorsqu^nn plan e8t perpendiculaire aune droite, les coefficients directeurs du plan sont proportionnels à ceux de la droite.

Ce théorème nous permet de former inversement les équations d'une droite passant par un point de coordonnées {x^^ , y^ , z^) et pejrpen-

i68 PRINCIPES DE GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE

diculaire à un plan représenté par Féquation générale (13); elles sont:

a^ — aro y — yps — gp A ~ B ~ C

En général, pour trouver Tangle de deux plans, on cherche

Tangle de deux droites menées respectivement perpendiculaires à ces.

plans; on écrit que deux plans sont parallèles ou sont rectangulaires

en écrivant que ces droites sont elles-mêmes parallèles ou rectangulaires.

Si Ton considère, par exemple, deux plans représentés par les

équations

.... Aa;-|-By + Cs-f-D=0,

^ ^ A'x + B'y-hC'5-hD' = 0,

Fangle de ces plans est donné par la formule analogue à (f 0)

^^^ V AA^-f-BB -hCC .

cos V = — »

v/A« H- B« + c» \/A'* -h B'* H- C* les conditions pour qu'ils soient parallèles sont

A' B' C ' et la condition pour qu'ils soient rectangulaires est AA'-hBB' + CC' = 0.

L'angle d'une droite et d'un plan est le complément de l'angle de la droite et d'une perpendiculaire au plan.

Pour qu'une droite et un plan soient parallèles, il faut et il sufQt que la droite soit perpendiculaire à une perpendiculaire au plan ; si la ligne et la surface ont respectivement pour coeffîcients directeurs a, b, c et A, B, G, il faut et il suffît que Ton ait

(15) Aa-hBb-{-Cc = 0,

114. Cas particuliers de la détermination d*un plan. — Supposons qu'un plan soit assujetti à passer par un point Mo de coordonnées (xq , y^ , Zq) et à être parallèle à deux droites de coefficients directeurs a, 6, c et a', b\ c' ; nous formerons l'équation générale d'un plan passant par le point Mq ; elle est

(16) A(x-Xo)-f-B(i/-yo)-f-C,z-^o) = 0,

PnOBLÈMES SUR LA DROITE ET LK PLAN 16^

pais nous déterminerons les coefficients A, B, C par les conditions que le plan soit parallèle aux deux droites ; ces conditions sont

. Aa -i-B6 +Cc=0,

' Aa'H-B6'-f-Cc' = 0.

Nous tirons de là

hc' — cb' ca! — ad ab' — ba'

et il nous suffit de porter ces valeurs dans Téquation (16). Nous pouvons, aussi remarquer que les équations (16) et (17) sont homogènes par rapport à A, B, C, et doivent être satisfaites par un système de valeursnon toutes nulles de ces trois quantités; d'après ce que nous avons vu au n* 12, le déterminant de leurs coefficients doit être nul, et celte condition nous fournit Tcquation cherchée sous la forme

abc

Si ua plan est assujetti à passer par deux points Mq (xq, j/q, Zq) et Ml [Xi , yi y Zi) et à être parallèle à une droite de coefficients a, 6, e, il suffit de remarq^uer que le plan est parallèle à la droite Mq Mi et que les coefficients directeurs de cette droite sont X| — Xq, ^1 — Yo et Zi — zo- Nous obtiendrons Téquation du plan en remplaçant dans Téquation précédente a\ V,d par Xi — xo, yi — j/o, -i — -o-

De n)éme, si un plan est assujetti à passer par trois points Mo (^0 » yo > -o) , Ml (xi , î/i , z,) et Mj (xj , î/2 , Z2) , il suffit d'exprimer qu'if passe par Mo et qu'il est parallèle aux droites MqMi et MoM^. Une autre manière consiste à écrire l'équation générale d'un plan sous la forme (13), et à exprimer que cette équation est satisfaite par les coordomiées de Mq, Mi et M^; les trois conditions ainsi formées, jointes à l'équation du plan, sont quatre relations linéaires et homogènes par rapport aux quatre quantités A, B, C, D, et comme elles doivent être satisfaites par des valeurs non toutes nulles, il faut que le déter> minant de leurs coefficients soit nul. Nous obtenons ainsi l'équation du plan sous la forme

yo ^0 i

Xs

En particulier, si les points donnés sont Tun d*abscisse a sur ox, Tautre d'ordonnée b sur oy et le troisième de cote c sur os, Tune ou l'autre des méthodes précédentes conduisent à l'équation

abc

Pour construire un plan donné par une équation donnée, on peut déterminer les traces de ce plan sur les plans de coordonnées, ou bien les points de rencontre avec les axes ; la trace sur le plan des xy par exemple s'obtient en faisant 2 = 0 dans Téquation donnée ; le point de rencontre avec ox s'obtient en faisant t/ = 0 et z = 0.

115. Intersection de plans et de droites. — L'intersection de deux plans qui ne sont pas parallèles ou confondus est une droite, qui est représentée par les équations des deux plans. Si l'on veut mettre les équations de la droite sous la forme fondamentale (2), il faut calculer les coordonnées d'un de ses points, et les coefficients qui déterminent sa direction.

Pour déterminer un des points de la droite, il sufHt de considérer

par exemple les traces des deux plans sur un des plans de coordonnées,

et de calculer les coordonnées de leur intersection. Pour déterminer

les coeflicients directeurs, que nous appellerons a, fr, c, il suffit d'écrire

que ce sont ceux d'une droite parallèle aux deux plans. Si ceux-ci sont

représentés par les équations générales (14), a, &, c satisfont aux

conditions

Aa H- B6 -4- Ce = 0,

A'a + B'6+C'c = 0; elles donnent