PROBLÈMES SUR LA DROITE ET LE PLAN
représente, quel que soit X, un plan passant par la droite d'intersection des deux plans donnés par les équations (14).
Les coordonnées d*un point commun à trois plans donnés sont un système de valeurs de x, y, z satisfaisant aux équations des trois plans ; la détermination et la discussion de Tintersection de trois plans se confond avec la résolution et la discussion de trois équations linéaires à trois inconnues ; elle a été faite aux n*" 10 et suivants.
Pour trouver le point de rencontre d'une droite et d'un plan, il suffit de trouver le point commun à trois plans : le plan donné et deux plans passant par la droite. 11 est plus simple, lorsque la droite est représentée par des équations de la forme (2), de suivre la même marche que celle qui a été employée à propos de Tordre d'une surface (n® 105). Deux droites n'ont en général aucun point commun ; pour qu'elles en aient un, il faut que deux plans passant par la première et deux plans passant par la seconde se coupent en un même point, ou bien que les quatre équations de ces plans soient satisfaites par un même système de valeurs des trois inconnues or, y, z. Il faut pour cela (n* 15) que le déterminant des coefficients des inconnues et des termes connus soit nul.
die. Distance d'an pointa un plan ou à une droite. — Pour
trouver la distance du point de coordonnées Xq, i/o, Zq au plan d'équation
Ax -f- Bî/ -4- Cs -h D = 0,
nous suivrons la même marche qu'au n^ 86 ; nous abaisserons
{fig, 40) la perpendiculaire Mq?
sur le plan, et nous chercherons la distance de Mq au point P de rencontre de cette droite et du plan.
Les équations de la perpendif"*?- W). culaire sont
si nous désignons par i la valeur commune de ces rapports, nous avons
et en transportant ces valeurs dans l'équation du plan, nous avons la relation
Ax, H- Bt/o -h C5o -f- D -4- (A« H- B* -4- C*) / = 0,
qui donne la valeur de / correspondant au point P,
Aa?n-hByo-4-Csn
A*-hB* + C*
La distance M^P est égale à \/(x — x^y -h (y — y^Y -f- (s — Sq)* î «" remplaçant x^ y, z par leurs valeurs en fonction de i, et / par la valeur précédente, on a pour valeur de la distance d = MqP,
Aaro + Byo-hCzo-4-D
d = Val. abs. de -
y^A^-\-B*-hÔ
Pour avoir la distance d'un point Mi (xj , i/i , zj) à une droite issue d'un point Mq et représentée par les équations (2), ou trace par le point
Ml un plan perpendiculaire à la droite {fiff. 41); son équation est
on peut déterminer le point P commun à ce plan et à la droite, et calculer la distance MiP; mais il est
plus simple de calculer d'abord la
^ distance du point Mo au plan précédent, puis la distance des deux points Mo , Ml ; on a alors la distance cherchée par la formule
Fig. 4i.
MiP^\/m;mî— «oT^'
La plus courte distance de deux droites est la distance d'un point de Tune à un plan mené par l'autre parallèlement à la première.
