CHAPITRE VIII SYSTÈMES DE VECTEURS

117. Trièdres de même sens. — Considérons dans l'espace trois axes de coordonnées formant un trièdre trirectangle Oxyz, et supposons ces axes énoncés dans Tordre Ox , Oy , Oz .

Pour un observateur placé le long de Oz, les pieds en 0 et la tête en js , il existe un certain sens dans lequel il faut faire tourner une demi-droite d'abord confondue avec Ox pour Tamener sur Oy en décrivant un angle < t: ; avec la disposition habituelle des axes, c'est le sens de gauche à droite. Remarquons que le sens de Oy vers Oz pour un observateur placé sur Ox, et celui de Oz vers Ox pour un observateur placé sur Oy sont les mêmes que le premier ; ce sens caractérise complètement la disposition des axes de coordonnées.

Soit Ox'y'z' un autre trièdre, trirectangle ou non, ayant même origine que le premier, les axes étant énoncés dans Tordre Oa/, Oy', Os' ; il est dit de même sens que Oxyz si, pour un observateur placé du même côté que O2' par rapport au plan Ox'y\ le sens de Ox' > ers Oy' est le même que celui qui a été défini pour le premier trièdre ; dans le cas contraire, les deux trièdres sont dits de sens différents. Les conclusions seraient les mêmes si Ton considérait un des deux autres axes Ox^ y Oty', pour établir la comparaison.

Plaçons-nous d'abord dans le cas où le trièdre Ox'y'z' est trirectangle; désignons par «i, pi, yi les cosinus des angles de Ox' avec Oar, Oy, Oz, et par a2, p«, yj ceux des angles de Oy' avec les mêmes axes ; ces cosinus satisfont aux trois conditions

dont la dernière exprime que Ox' et Oy' sont rectangulaires.

Soient aj, Ps, Ta, les cosinus des angles de Os' avec Ox, Oy, Oz ; nous allons déterminer ces quantités au moyen des précédentes : elles doivent satisfaire aux équations suivantes :

ai», -4- Pi^ -h Yiïa = 0 , aja, -h Pi?s -f- Wa = 0 , «^^ -f- pj ^ ^2 ^ f ^

les premières exprimaDt que Oz' est perpendiculaire à Ox' et à Ojy'. Des deux premières relations précédentes, nous tirons

f{) Q^a - Pg Ta ,

^ ^ PiYâ — TiPï Yia2 — «iTs *iPi — Pi»»'

nous allons déterminer la valeur commune de ces rapports ; si nous la désignons par c et si nous remplaçons a, , p, , yj par leurs valeurs dans la troisième équation, nous avons

La parentlièse est égale à

W -^ Pi + rî) («1 -^ PI -^ Y^) - («i«» + PiP* ^ ïiït)^ ,

et se réduit à Tunité ; nous en concluons que e^ est égal à i , et que c est égal à -i- 1 ou à — i .

Nous allons voir que si les trièdres sont de même sens, c est égal à + i , sinon qu'il est égal à — i . Supposons en effet que l'on déplace (l'une manière continue le trièdre Ox'y'z' jusqu'à ce que Ox' vienne coïncider avec Ox et Oy' avec Oy ; alors Os' viendra s'appliquer sur Oj: ou sur la direction opposée suivant que les trièdres sont de même sens ou de sens différents; les rapports (f), dont les termes varient d'une manière continue, restent constamment égaux à -h i ou à — i . Lorsque Ox' et Oy' viennent coïncider avec Ox et Oy , oi et p^ deviennent égaux à -h i , pi et «^ égaux à zéro ; si Os' coïncide avec Os , yj est égal à H- i , et le dernier des rapports (1) a pour valeur + 1 ; si au contraire Oz' coïncide avec la direction opposée à Os, ys devient égal à — i et le dernier des rapports est égal à — i ; la proposition se trouve ainsi démontrée.

Nous avons finalement pour déterminer «s , pi , yi les relations

(2) «a = 6(p,Y2 — Yi?i) » P3 = «(Ti«« — «iïî) , ÏJ = «(«ipi — Pi*i) 1

t étant égal à + i si les trièdres sont de même sens, et égal à — 1

SYSTÈMES DE VECTEURS

s'ils sont de sens différents ; nous aurions des relations analogues en effectuant sur les indices une permutation circulaire quelconque. Remarquons (juc le déterminant

«i Pi Yi

*3 Pa Ys

a pour valeur

«slPlYii — Vl?2) -h p3(YlX2 — «lYi) -<- Y3(«lP« "" Pi^s) ;

il est égal au produit de s par la quantité «s + Pî-l-YÎ Q^i «^ po^r valeur Tunité ; le déterminant précédent est donc égal à +1 ou à — 1 suivant que les trièdres sont de même sens ou de sens différents.

118. Volume d'un tétraèdre. — Nous nous proposons d'évaluer le volume d'un tétraèdre OABC ayant un sommet à l'origine des coordonnées (/îjr^ ^2), connaissant les coordonnées Xj, t/i, Si ; x^, 1/2, Zi\

ic$iy3,-3 des trois autres sommets.

Les trois faces du tétraèdre issues du point 0 n*étant pas parallèles à TaxeOx, supposons pour fixer les idées que le plan OBC ne soit pas parallèle à cet axe. Traçons par le sommet A un plan parallèle à celui de la face opposée et désignons par A' le point où il coupe Ox ; le tétraèdre OA'BG est équivalent au premier.

Projetons maintenant les sommets B et C en B' et C sur le plan Oyz ; le tétraèdre OA'B'C est équivalent à OA'BG, et par suite à OABC; nous sommes donc ramenés à calculer le volume du tétraèdre OA'B'C ; nous pouvons ajouter que les transformations précédentes n'ont pas altéré le sens des trièdres, et que le trièdre OA'B'C est de même sens que le trièdre OABC.

Evaluons Tabscisse du point A' ; l'équation du plan passant par le point A de coordonnées (xj, y,, Zj) et parallèle aux droites OB et OC est (nM 14)

Fig. 4i.

X — Xt y — yiZ—Zi Xi t/i Z2

xz yj 2j

si nous y faisons y et z nuls, nous avons pour déterminer l'abscisse X de A' une équation qui s'écrit sous la forme

x{ytZi--Ziyt) =

Xi yi zi xt yt Zi Xi yz zz

Le coefficient de x au premier membre est, au signe près, égal au •double de la surface du triangle OB'C (n^ 87) ; la valeur absolue de ce premier membre représente donc le produit de la hauteur du tétraèdre OA'B'C par le double de la surface de sa base, ou bien 6 fois le volume de ce tétraèdre ; les tétraèdres OABC, OA'B'C étant équivalents, nous avons finalement

volume OABC = 4o

xx yi Zi Xi yi Zi xz yz zz

t étant égal à H- i ou à — i. Nous allons montrer que e doit être -pris égal à -4-1 si le trièdre OABC est de même sens que le trièdre Oxyz, et égal à — 1 dans le cas contraire.

En effet, dans le premier cas, il résulte d'une remarque faite que le trièdre OA'B'C est de même sens que le trièdre des axes de coordonnées ; si OA' est positif, le sens de OB', OC es! le même que celui de Oi/,Os et la différence ytZz — z^yz est positive (n* 87); si OA' est négatif, les sens de OB', OC et de Oi/, Oz sont opposés, et cette différence est au contraire négative; dans les deux cas, le produit xijjiZz — z^yz) est positif, et le déterminant qui entre au second membre de l'équation (4) est positif ; il faut donc prendre e = -f- 1 •

Les conclusions sont opposées si les trièdres OABC et Oxyz sont de sens différents et il faut prendre e = — 1 pour avoir la valeur arithmétique du volume du tétraèdre. Dans certaines recherches, on considère le volume comme un nombre relatif positif ou négatif et Ton prend toujours c = -h 1 dans la formule (4).

Remarque. — Si pi , s^, ps désignent les longueurs des arêtes OA,

SYSTÈMES DE VECTEURS

OB, OC; si ai, Pi, Ti»«2y ^if Ta; «a* pa» Ys désignent les cosinus des angles formés par ces arêtes avec les axes, nous avons Xi = aipi,

iyi = pipi, 2, = YiPi c^ de même pour les autres sonimets; nous en

concluons que Ton a

X^ t/i Zi

= pi P2 P3

x% yz 53

et que le déterminant (3) a le même signe que le volume du tétraèdre OABC ; par suite ce déterminant est, dans tous les cas de figure, positif ou négatif suivant que le trièdre OABC est de même sens que le trièdre 00:3^2 ou est de sens différent.

119. Moment d'an vecteur par rapport & un point. — La valeur arithmétique du moment d'un vecteur AB par rapport à un point 0 (/?</. 43) est

égale au produit de la mesure de la longueur de ce vecteur par celle de la perpendiculaire OP abaissée du point 0 sur sa direction.

On représente géométriquement ce moment par un vecteur OG ayant pour origine 0 et pour valeur absolue celle du produit AB X OP ; il est porté sur la perpendiculaire en 0 au plan OAB dans un sens tel que le trièdre dont les arêtes seraient parallèles à OP, AB et OG ait le même sens que le trièdre des axes de coordonnées. Pour un observateur dirigé suivant OG, les pieds en 0 et la tête en G, le vecteur AB semble entraîner son bras de levier OP dans le même sens que celui qui va de Taxe des x vers Taxe des y pour un observateur placé sur l'axe des z.

Plaçons-nous dans le cas où le point 0 par rapport auquel on prend les moments est Torigine des coordonnées, comme dans la figure 43 ; désignons par x, y, z les coordonnées du point A origine du vecteur AB, et par X, Y, Z les projections de ce vecteur ; nous allons évaluer les projections ou composantes du vecteur moment OG suivant les trois axes, composantes que nous désignerons par L, M, N. VocT. — Math. sup. i2

Fig. 43.

Nous appellerons «i, ^i, yi; «si ^t, ts ; «'> ^9 Ta les cosinus des angles formés avec les aies par les directions OP, AB, OG ; jd et p les mesures des longueurs OP et AB ; les projections de OG sont respectivement égales à

L = jopa, , M = /3pp, , N =/)prî ,

•ou bien, en remplaçant as, Ps, 73 par les valeurs (2), et remarquant que e est égal à + i d'après les hypothèses faites,

L=jop(pirï— TiPî)» M=/3p(Yia2 — aiT»), N =/)p(ai?2— Pia*).

Mais pas, p^, prs sont respectivement égaux aux projections X, Y, Z du vecteur ; d'autre part, si nous projetons sur les axes le irecteur OP et les vecteurs OA et AP, dont il est la somme géométrique, nous avons

pcL, = X-+- (AP) aj, p?i = y'f- (AP) p,, />ri = 2 -h (AP) Y* ;

-en remplaçant les produits pof, • - • , joaj, • • • par ces valeurs et réduisant, nous trouvons les expressions

(5) L = yZ — zY, M = zX — arZ, N = a;Y — yX.

La manière dont nous avons défini ces valeurs montre qu'elles :sont indépendantes de la position du point A sur la droite indéfinie qui porte le vecteur AB, et qu'elles ne changent pas lorsqu'on transporte ce vecteur en un point quelconque de sa ligne d'action ; il serait facile de le vérifier par le calcul.

Les six quantités X, Y, Z, L, M, N sont appelées les six coordonnées du vecteur AB ; il existe entre elles la relation identique

(6) LX-hMY-f-NZ = 0.

Lorqu'on donne six nombres X, Y, Z, L, M, N liés par la relation précédente, on peut trouver un vecteur et même une infinité de vecteurs dont ils sont les six coordonnées; en effet les projections du vecteur inconnu sont égales à X, Y, Z ; quant à son origine, elle a pour coordonnées la solution des équations (5) où a;, y, jz sont les inconnues ; lorsque la relation (6) est satisfaite, ces équations sont compatibles et ont une infinité de solutions. Tous les points qu'elles déterminent sont situés sur une même droite, les coefficients directeurs de cette droite

SYSTÈMES DE VECTEURS

^tant précisément égaux aux projections X, Y, Z du vecteur ; les six coordonnées déterminent donc une infinité de vecteurs non seulement équipollents, mais encore situés sur une même droite, de telle sorte que ces vecteurs ont même longueur, même sens et même droite d^action. Dans le cas où le point par rapport auquel on prend les moments n*est pas Torigine des coordonnées, mais un point C de coordonnées Xq, yo> ^of 1^ calcul des projections du moment sur les axes est analogue au précédent ; dans Tévaluation de p<Xi , p% , p^^ entrent les différences x — Xo » y — J/o » ^ — ^o ^^^ place de x, y , z, et les projections du moment ont pour valeurs

(L'=(y-y,)Z-(s-Zo)Y = L-(y,Z-=oY),

il) ]M' = {z-z,)X-(ar-Xo)Z = M-(s,X-x,Z),

(N' = (x-x,)Y-{y-yo)X=N-(xoY-yoX).

Remarque. — Si nous nous reportons au calcul fait n^ 74 pour •déterminer les projections sur les axes de la résultante de plusieurs vecteurs, nous voyons que le moment par rapport à un point de la résultante de plusieurs vecteurs concourants, est égal à la somme des moments par rapport à ce point des vecteurs composants. En particulier, le moment d'un vecteur est égal à la somme des moments de ses composantes prises parallèlement aux axes de coordonnées.

120. Moment d^un vecteur par rapport à un axe. — Moment relatif de deux vecteurs. — Ëtant donnés un axe D et un vecteur AB,

si Ton prend le moment de AB par rapport à un point C de D, et si Ton projette sur Taxe D le vecteur représentatif de ce moment, la projection est appelée moment du vecteur par rapport à cet axe.

Nous allons montrer que ce moment est indépendant du point C choisi sur D; nous ferons le calcul en supposant que D est Taxe Oz du trièdre des coordonnées (figAi).

Nous désignerons par x^ = 0, y^ = 0 et 5o ï^s coordonnées du point C; les projections L', M', N' du

moment CG' de AB par rapport à C sont données par les formules (7) ; en particulier la projection N' sur Oz se réduit dans le cas actuel à xY — yX, et elle est indépendante de z^, ce qui démontre la proposition.

Nous voyons, en spécialisant, que les moments d'un vecteur par rap^ port aux trois axes de coordonnées sont les projections L, M, N sur ces axes du moment de ce vecteur par rapport à Torigine.

Si Ton projette le vecteur AB suivant ab sur le plan xOy, >e moment de ab par rapport au point 0 est égal h xY — j^X et est identique au moment de AB par rapport à Oz. Nous pouvons ajouter que ce moment est encore égal à six fois le volume relatif du tétraèdre OABU, OU étant un vecteur égal à -h i pris sur Oz. En effet, les coordonnées des sommets A et B sont respectivement x, y, z et x-i-X, y -H Y, s-f-Z, et le volume du tétraèdre OABU a pour valeur relative

x-hX y-f-Y S-+-Z

= a:Y-yX;

c'est bien le moment N de AB par rapport à Oz.

On appelle moment relatif de deux vecteurs, ou encore produit géométrique extérieur de ces vecteurs, le produit de la mesure de Tun d'eux par le moment de l'autre par rapport à l'axe qui porte le premier.

Soient po la valeur relative du premier vecteur situé sur un axe 1^0' ^^ ^01 %t To les cosinus des angles formés par Do avec les axes de coordonnées ; soient x^, y^, Zq les coordonnées de l'origine du vecteur, Xq, Yq, Zq ses projections, et Lo, Mo, No ses trois autres coordonnées; soient x, y, z, X, Y, Z, L, M, N les coordonnées analogues du deuxième vecteur.

En désignant comme précédemment par L', M', N' les projections du moment de ce deuxième vecteur par rapport au point de coordonnées Xq , y 0 , Zo , nous aurons pour valeur du moment relatif des deux vecteurs l'expression

Po(L'xo -+- U% + N'to) = L'Xo -4- M'Yo -+- N'Z» ;

en remplaçant L', M', N' parles valeurs (7), nous trouverons l'exprès-

SYSTÈMES DE VECTEURS 181

sion suivante qui renferme symétriquement les coordonnées des deux vecteurs:

LXo -+- M Yo H- NZo -h XL» -h YMq -4- ZNo .

D'après ce que nous savons, il est facile de voir que le moment relatif de deux vecteurs AB, A'B' est égal à six fois le volume relatif du tétraèdre ABA'B' ayant pour sommets les origines et les extrémités de ces deux vecteurs.

121. Système de vecteurs. — Soient Vj, V2, ... des vecteurs répartis d'une manière quelconque dans Fespace ; nous désignerons par ^i} î/i} ^t les coordonnées du point d'application du vecteur Vi et par Xi, Yi, Zi les projections de ce vecteur.

On appelle résultante générale de ces vecteurs leur somme géométrique ; c'est un vecteur R dont l'origine est indéterminée, et dont les projections sur les axes sont

(8) X = SX„ Y = ri^, Z-IZ,.

On appelle moment résultant de ces vecteurs par rapport à un point C la somme géométrique des moments des vecteurs par rapport à ce point; si le point C est à l'origine 0 des coordonnées, les projections de ce moment résultant sont

(9) j M = 2(zA — x,Z0=2M/, ( N = 2(x,Y,-y,X,)==2N,.

Si le point C est un point quelconque, de coordonnées Xq^j/q^Zq, les projections du moment résultant par rapport à ce point sont

!L' = 2[(y,y,)Z,- {z, - zo) Yj = L - (y,Z ~ z.Y) , M' = 2[(z, ~ z,)\i - (x, ~ x,)Z-] = M - (5oX ~ XoZ) , N' = 2[(x, ~ x,)Y,- (y.— yo)X j = ^-{xj-yo^) ;

ces expressions montrent que le moment résultant par rapport au point C est égal à la somme géométrique : i"* du moment résultant par rapport à l'origine ; 2® du moment par rapport à C d'un vecteur ayant pour origine 0 et pour grandeur la résultante générale R.

Les six nombres X, Y, Z, L, M, N sont dits les coordonnées du système de vecteurs.

122. Systèmes équivalents. — Deux systèmes de vecteurs sont dits équivalents s'ils ont les mêmes coordonnées par rapport à un système d'axes Oxyz,

On peut remplacer cette définition par la suivante, qui est indépendante des axes de coordonnées :

Deux systèmes sont équivalents s'ils ont même moment résultant par rapport à tout point de l'espace.

Nous allons montrer par le calcul que ces définitions sont équivalentes; en effet: si deux systèmes ont les mêmes coordonnées, les formules (10) montrent qu'ils ont même moment résultant par rapport à un point quelconque de l'espace. Réciproquement, si les valeurs de L'y M', N' sont les mêmes pour les deux systèmes quels que soient ^oiVof^o^ on voit d'abord, pour a?0 = yo = jSo = O, que les coordonnées L, M, N sont les mêmes pour les deux systèmes; ensuite, pour x^ = 0, que les valeurs de X sont les mêmes, puis, pour y© = 0, que celles de Y sont les mêmes, et qu'il en est de même des valeurs de Z.

Les cas les plus remarquables qui se présentent dans l'étude des systèmes de vecteurs sont les suivants :

i"* Les vecteurs sont tous nuls ; les six coordonnées du système sont nulles. Inversement, si un système a ses six coordonnées nulles, on dit qu'il est équivalent à un système nul.

2'' Le système comprend un seul vecteur ; les trois coordonnées X, Y, Z ne sont pas nulles; les composantes L', M', N' du moment par rapport à un point de la ligne d'action du vecteur sont nulles ; par rapport à tout autre point, ces composantes ne sont pas nulles, mais elles satisfont à la relation

qui comprend en particulier la formule (6).

Inversement, si les coordonnées X, Y, Z d'un système ne sont pas nulles, et si ses coordonnées L, M, N sont nulles ou satisfont à la relation (6), ce système est équivalent à un vecteur unique; nous avons déterminé ce vecteur au n^ 119, et nous avons vu qu'il a son origine indéterminée sur sa ligne d'action.

SYSTÈMES DE VECTEURS

Fig. 45.

3** Le système se compose de deux vecteurs Vj et V» [fig. 45) égaux et de sens opposés, leurs lignes d'action étant parallèles sans.

être confondues; un tel système porte le nom de couple. Sa résultante générale est nulle, de sorte que ses coordonnées X, Y, Z sont nulles ; quant au moment résultant, il a les mêmes coordonnées pour le tous les points de respace^ car les formules (10) indi quent que L', M', N' sont toujours égaux à L, M, N.

Ce moment, que Ton appelle moment du couple, n'est pas nul, car on peut Tévaluer en choisissant le point C sur la ligne d'action d'un des vecteurs ; il est alors représenté par un vecteur G égal au produit de l'un des deux vecteurs par la distance de leurs lignes d'action, que l'on appelle bras de levier du couple, et il est porté par la perpendiculaire au plan du couple.

Inversement, étant donné un système dont les coordonnées X, Y,. Z sont nulles, tandis que les coordonnées L, M, N ne le sont pas, ïï est équivalent à un couple ; pour former un tel couple, on considère par un point quelconque C de l'espace le vecteur CG de projections. L, M, N ; dans le plan passant par C perpendiculaire à CG on prend un bras de levier CD et un vecteur Vi perpendiculaire à CD de telle sorte que Vi X CD = CG, dans un sens tel que CG soit le moment de Vi par rapport à C ; le vecteur Vi et le vecteur Vj égal à Vi mais de sens, opposé et passant par C forment un couple répondant à la question.

Nous voyons qu'il existe une infinité de couples équivalents au système donné et par suite équivalents l'un à l'autre ; le calcul des éléments de Tun de ces couples en partant des formules (9) ou (10) nous aurait conduit au même résultat que celui que nous venons d'énoncer. Remarquons qu'un système composé de plusieurs couples a toujours sa résultante générale nulle; il est donc équivalent à un système nul, ou à un couple unique dont le moment est la somme géométrique des moments des couples donnés.

184 PRIiNClPES DE GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE

Considérons le cas général, où la résultante générale et le moment résultant relatif au point 0 ne sont pas nuls, et où la relation (6) n'est pas satisfaite; le système donné est équivalent à un système réduit composé 1^ d'un vecteur ayant pour origine le poini 0, et égal à la résultante générale R; 2'' dun couple ayant pour moment le moment résultant G ; les six coordonnées sont en effet les mêmes pour les deux systèmes. Lorsqu'on détermine ce vecteur R et ce couple de moment G, on dit que Ton effectue la réduction du système donné par rapport au point 0.

Une réduction analogue peut être faite pour un point quelconque C de coordonnées Xq , y^, z^; le système réduit se compose alors d'un vecteur ayant pour origine C et égal à la résultante R, puis d'un couple dont le moment G' a pour composantes les nombres L\ M', N' donnés par les formules (iO). Si l'on choisit x^^ y^^^ z^ de telle sorte que l'on ait

le moment du couplé et la résultante générale dans la réduction ai\ point G sont parallèles ; les équations précédentes définissent comme lieu du point C une droite que l'on appelle axe central du système donné.

On appelle opérations élémentaires efTectuées sur un système de vecteurs les opérations suivantes: i** transport d'un vecteur le long de 8a ligne d'action ; 2"* remplacement d'un ou de plusieurs vecteurs concourants par un ou plusieurs autres de même origine et de même somme géométrique que les premiers. On démontre dans les cours de mécanique le théorème suivant que nous nous contentons d'énoncer:

Pour que deux systèmes de vecteurs soient équivalents, il faut et il suffit que Fon puisse passer de l'un à Vautre par un nombre fini d'opérations élémentaires.

123. Sphère. — Nous obtiendrons Téquation d une sphère de centre ^0 (^oi yoi ^o) ^^ ^^ rayon R en écrivant que la distance d'un point M (x, y, z) de la surface au centre est égale à R ; nous aurons de cette façon Féquation

En faisant passer tous les termes dans le premier membre et ordonnant, nous récrirons

x>-hy* + 52 — 2xoar — 2yoy — 2zoZH-ar*-f-yî-f-5j — R« = 0.

C'est une équation du second degré, mais elle n'est pas de la forme la plus générale, car il n'y a pas de termes en yz, zx, xy, et les coefficients de X*, y* et s* sont égaux.

Nous allons montrer, réciproquement, que toute équation du second degré en x, y, z dans laquelle les coefficients de yz, zx et xy sont nuls et les coefficients de x*, y* et 5* égaux, représente une sphère. Si nous divisons en effet les deux membres par le coefficient de x^, nous pouvons toujours écrire une semblable équation sous la forme

x« 4- y « -I- s« -+- 2ax 4- 2by H- 2cz 4- d = 0 ; nous pouvons la remplacer par

et sous cette forme elle exprime que la distance du point (x, y, z) au point {—a, — by — c) est constante et égale à y^a* -f- 6* -4- c* — d\ elle représente bien une sphère.

124. Ellipsoïde. — L'ellipsoïde est la surface représentée par Féqua-

tien

OÙ a y b, c sont les mesures de trois longueurs données ; on suppose

ordinairement que Ton a a ^ 6 ^ c.

Les sections de la surface par les plans des xy^ des xz et des

yz sont trois ellipses représentées respectivement par les équations

Nb'

S-hC-'=0.

Fig. 46.

elles ont pour axes les longueurs AA', BB' et ce égales à 2a, 26, 2c et dirigées suivant les axes de coordonnées; leur centre commun est Torigine 0 [fig. 46).

On se rend compte de la forme de la surface en déterminant sen sections par des plans horizontaux successifs ; le plan de cote h la coupe suivant une ellipse dont Téquation dans son plan est

elle a pour axes de symétrie les intersections de son plan par les plans des xz et des yz, et les demi-longueurs de ses axes sont

elles ne sont réelles que si h est compris entre — c et -hc

On voit que la surface admet Torigine comme centre, les plans et

les axes de coordonnées comme plans et axes de symétrie ; les extrémités A, A', B, 6', G, C des axes sont appelées les sommets de la surface.

Lorsque deux des quantités a, by c sont égales, rellipsoïde est de révolution; si Ton a par exemple a = b, la surface est de révolution autour de Taxe 0;: ; nous avons déjà examiné ce cas au n^ 107. Lorsque l'on a a = b=ic, la surface devient une sphère; du reste, les points de l'ellipsoïde peuvent se déduire des points d'une sphère concentrique de rayon a en réduisant l'ordonnée et la cote des points de cette sphère, la première dans le rapport de 6 à a et la seconde dans le rapport de c à «r.

125. Hyperboloïdes et cône asymptote. — On appelle hyperboloïde à une nappe la surface représentée par Féquation

sa section par le plan des ay est une ellipse dont les axes sont dirigés suivant les axes de coordonnées et ont pour longueurs 2a et 26; ses sections par les deux autres plans de coordonnées sont des hyperboles dont Taxe non transverse est dirigé suivant Os . La section par un plan parallèle au plan des xy est une ellipse dont les axes vont en augmentant avec la cote du plan.

On appelle hyperboloïde à deux nappes la surface représentée par Téquation

fi Ifi »r2

sa section par le plan des xy est une ellipse imaginaire ; ses sections parles autres plans de coordonnées sont des hyperboles ayant pour axe trans verse Taxe Oz, et conjuguées des sections de Thyperboloïde à une nappe parles mêmes plans.

Les asymptotes de ces hyperboles sont des génératrices du cône représenté par Féquation

PRINCIPES DE GÉOMÉTRIE ANALFllQUE

•on rappelle cône asymptote des deux hyperboloïdes précédents; la

figure 47 indique la position respective des trois surfaces, Thyperboloîde à une nappe entoure le cône et Thyperboloîde à deux nappes est formé de deux parties distinctes situées dans chacune des nappes du cône ; nous avons supposé ces surfaces limitées supérieurement par un même plan perpendiculaire à Oz .

Lorsque Ton a a = b, les surfaces sont de révolution autour de Oz, On peut vérifier qu'une droite qui tourne autour de 0:= engendre un cône de révolutioa . ^ ou un hyperboloïde de révolution

à une nappe suivant qu'eUe rencontre Taxe ou ne le rencontre pas.

126. Génératrices rectilignes de Th^-perboloîde à une nappe. —

L'hyperboloïde à une nappe possède la propriété remarquable d'avoir une infinité de droites situées tout entières sur sa surface ; considérons en effet les équations

^- = coso -t-sina;

oc'

lorsqu'on attribue à (p une valeur déterminée, elles représentent une droite ; l'ensemble des droites ainsi obtenues, lorsque ç varie, constitue une surface, et Ton a Téquation de cette surface en éliminant c^ entre les deux équations (1); or, si Ton fait la somme des carrés des deux membres, on obtient la relation

qui n'est autre que Téquation de Thyperboloîde à une nappe ; les équations (I) représentent donc, lorsqu'on fait varier le paramètre (p, une infinité de génératrices rectil ignés situées sur cette surface. Nous pouvons ajouter que 9 est le paramètre angulaire (n" 9i) du point de rencontre de la droite (i) avec Tellipse du plan des xy , Un raisonnement analogue montre que les équations

— = — — sin 9' -f- cos 9' ,

^ = - cos 9' -h sm cp'

représentent, quelle que soit la valeur de 9', une droite également située sur le même hyperboloïde ; les droites ainsi obtenues, lorsque 9'

varie, ne se confondent pas avec les premières, mais avec leurs symétriques par rapport au plan des xy , car il suffit de changer z en — z pour passer du système (1) au système (2).

Il existe ainsi deux systèmes distincts de génératrices rectilignes de Thyperboloïde à une nappe ; nous énoncerons à ce propos les propriétés suivantes, faciles à démontrer: Par un point de la surface passent deux génératrices, une de chaque système ; une droite d'un système ne coupe jamais celles du même système, mais rencontre toutes celles de Tautre. La Pig 48, figure 48 rend compte de la position des

génératrices sur la surface et donne une idée de la représentation de Thyperboloîde à une nappe au moyen de fils ; Tun des systèmes est figuré en traits pleins, et Tautre en traits interrompus.

127. Paraboloîdes. — Nous appelons paraboloîde elliptique la surface représentée par Téquation

p et q étant deux lUKiibres positifs. Les sections de cette surface par les plans des xy et des xz ont pour équations

ce sont des paraboles ayant pour axe Taxe des x, pour sommet rorigiiie et dirigées dans le même sens ; la section par un plan perpendiculaire à Taxe des x, d'abscisse positive a, est une ellipse représentée dans son plan par Téquation

2ap 2aq

la surface n'a aucun point dont Tabscisse soit négative; elle s'étend

indéfiniment du côté des x positifs; elle a comme sommet Torigine, comme axe et plans de symétrie Taxe Ox et les plans des xy et des xz\ nous avons représenté dans la figure 49 une portion de la surface limitée à une section perpendiculaire à Ox.

Nous appelons paraboloîde hyperbolique la surface représentée par Téquation

on p et q sont positifs. Les sections de cette surface par les plans des xy et des xz ont pour équations

5 = 0, .y« — 2px=0, y = 0, z^~h2qx = 0.

Ce sont deux paraboles ayant pour sommet l'origine, pour axe l'axe des x, mais dirigées dans des sens opposés de part et d'autre du plan des yz .

Un plan parallèle à ce dernier, d'abscisse x = a, coupe la surface suivant une hyperbole dont l'équation dans son plan est

si a est positif, son axe transverse est situé dans le plan des xy ; si a est négatif, son axe transverse est dans le plan des xz ; enfin, si a est nul, c'est-à-dire si le plan se confond avec le plan des yz, la section se réduit à un système de deux droites, dont les équations séparées sont

Vp vq vp vq

Ces équations sont du reste les mêmes que celles des asymptotes des hyperboles déterminées par des plans dont l'abscisse a n'est pas nulle; dans l'espace, les équations (4) représentent deux plans passant par l'axe Ox et appelés jo/ans directeurs du paraboloïde. Les asymptotes de toute section par un plan perpendiculaire à Ox sont les droites d'intersection des plans directeurs et du plan sécant.

La figure 50 rend compte de la forme de la surface ; nous avons

supposé le paraboloïde limité par deux plans parallèles au plan des xy et symétriques par rapport à ce plan, et par un plan perpendiculaire à Ox. Lorsqu'on regarde cette figure en plaçant Ox verticalement, elle semble représenter une selle de cheval.

Si /> et y sont égaux, les plans directeurs sont rectangulaires, et sont les plans bissecteurs du dièdre formé par les plans de coordonnées qui se coupent suivant Taxe des x; toutes les hyperboles sections de la surface par les plans perpendiculaires à cet axe sont équilatères ; on dit dans ce cas que le paraboloïde est éqailaiêre.

Fig. 00.