Génératrices rectilignes du paraboloïde hyperbolique
Le paraboloîde hyperbolique partage avec Thyperboloîde à une nappe la propriété de posséder des génératrices rectilignes. Considérons en effet les équations
\^p slq
pour une valeur donnée du paramètre, elles représentent une droite, et le lieu de cette droite, lorsque X varie, est le paraboloîde hyperbolique représenté par Téquation (3), car cette dernière équation résulte de l'élimination de X entre les deux précédentes. Les équations
vp vq
>r? slq
représentent, lorsque V varie, des droites formant un deuxième système de génératrices du même paraboloîde.
La deuxième des équations (5) représente un plan parallèle à Tun
des plans directeurs de la surface ; toutes les génératrices du premier système sont donc parallèles à ce plan ; de la même manière, toutes celles du deuxième système sont parallèles à Tautre plan directeur.
On peut vérifier, comme dans le cas de Thyperboloîde, que par tout point de la surface passent deux génératrices, une de chaque système ; une droite d*un système ne coupe aucune droite du même système, mais rencontre toutes celles de Tautre.
On se rend compte de la position des génératrices et de la représentation de la surface par des fils de la façon suivante, que nous indiquons sans démonstration : soit ABCD un quadrilatère gauche [fig, 51) ;
Fig. 5â.
partageons deux côtés opposés tels que AB et DC chacun en un même
jQombre de parties égales et joignons les points de division successifs
correspondants ; faisons de même avec les deux autres côtés ; nous
obtiendrons de cette façon des génératrices de chacun des systèmes
d'un paraboloîde hyperbolique ; un seul système est représenté dans la
figure 5i .
129. Paraboloîde hyperbolique 6qullatère rapporté à ses plans directeurs. — L'équation
(7) yz = kx
représente une surface du second ordre dont les sections par des plans perpendiculaires à Taxe des x sont des hyperboles rapportées à leurs asymptotes ; nous allons montrer que cette surface est un paraboloîde hyperbolique équilatère ayant pour plans directeurs les plans xOy et aK)z.
Nous suivrons le même mode de raisonnement qu'au n"* 95 ; nous chercherons l'équation de la surface par rapport à un système d'axes formé de l'axe des x et des bissectrices de Tangle yOz ; les deux nouveaux axes, que nous appellerons Oy' et Oz', forment avec Oi/,
dans le plan i/Oz, des angles respectivement égaux à t ^^ "7* « ^^^^
le sens qui amène Oy sur Oz par une rotation de ^ •
Pour tout point M de coordonnées Xy y, z^ la coordonnée x reste la même, et les coordonnées y^ et z' s'expriment au moyen de ^ el z par des formules analogues à celles du n^ 05 ; elles sont dans le cas actuel
en remplaçant dans Téquation (7) y et z par leurs valeurs tirées des relations précédentes, nous obtenons Téquation
qui représente bien un paraboloîde équilatère.
Les raisonnements qui précèdent s'étendent sans modification au VoGT. — Math. sup. i3
cas OÙ les axes Oy et Oz ne sont pas rectangulaires, tout en étant perpendiculaires à Ox ; par rapport à un tel système d'axes, Féquation (7) représente un paraboloîde hyperbolique ayant pour axe Ox et pour plans directeurs les plans xOy et xOz.
L'équation (7) met en évidence d'une manière simple les génératrices rectilignes de la surface ; les deux systèmes sont représentés par les équations
x = V, Vy = fcc.
Les surfaces du second ordre sont appelées quadriques ; nous nous contenterons d'énoncer ce résultat que toutes les quadriques rentrent dans une des catégories de surfaces que nous venons d'étudier, ou bien sont des cylindres à base elliptique, hyperbolique ou parabolique, ou bien enfin se décomposent en deux plans.
