CHAPITRE I DÉRIVÉES DES FONCTIONS D*UNE YARIABLE

130. Des fonctions. — Lorsqu'une variable x est susceptible de prendre toutes les valeurs possibles depuis un nombre a jusqu'à un nombre 6, on dit qu'elle varie d'une manière continue dans l'intervalle (a, b) ; les deux nombres a, b sont appelés les limites de cet intervalle.

Si à chaque valeur de la variable x on fait correspondre une valeur d'une autre variable y, on dit que la seconde est une fonction de la première.

Cette correspondance peut être établie de plusieurs manières; ordinairement on donne une formule permettant de calculer la valeur de f/ correspondant à chaque valeur de x dans l'intervalle où la fonction est définie; on dit alors que y est une fonction explicite de ar ; exemples :

Dans ces exemples, le calcul de y comprend un nombre fini d'opérations algébriques, et l'on dit que y est une fonction algébrique

explicite de x ; dans le premier cas, elle est rationnelle et entière, dans le second cas, rationnelle et fractionnaire et dans le troisième, irrationnelle.

Les autres fonctions explicites, telles que

y = a*, y = loga;, y = sina:,

sont dites transcendantes ; les deux premières ont été définies dans la première partie; la troisième est définie en trigonométrie.

Lorsqu'une fonction est définie par une relation entre y et x, non résolue par rapport à y, on dit qu'elle est implicite ; les équations

y8 2xy-+-i=0,

sin 1/ ^ e*

déterminent des fonctions implicites ; la première est dite algébrique parce qu'elle est définie par une équation algébrique entre x et y ; la seconde est transcendante.

Lorsque la définition d'une fonction ne fait correspondre à chaque valeur de x qu'une seule valeur de y, on dit que cette fonction est um/orme, sinon qu'elle est multiforme ou à plusieurs branches; les fonctions implicites précédentes ne sont pas uniformes ; ordinairement on choisit dans ce cas une branche particulière de la fonction multiforme y pour en faire l'étude quand x varie.

Pour beaucoup de fonctions, la valeur numérique de y correspondant à une valeur de x est déterminée comme limite d'une suite de nombres qu'on peut calculer successivement; c'est ce qui a lieu déjà pour y = ^ lorsque x n'est pas carré parfait ; nous admettrons toujours que la définition d'une fonction permet d'en calculer la valeur numérique exacte ou approchée autant qu'on le veut.

131. Fonctions continues. — Lorsqu'on considère deux valeurs voisines de la variable, X ei a? + A, on dit que l'on passe de la première à la seconde en donnant à a? un accroissement h; cet accroissement peut être positif ou négatif.

Souvent, pour désigner la valeur absolue d'un nombre relatif, on place ce nombre entre deux traits verticaux ; ainsi | h \ représente la valeur absolue du nombre positif ou négatif h.

Soit y une fonction donnée de x dans un intervalle et repré-

DÉRIVÉES DES F0>XT10NS d'uNE VARIABLE 197

sentée par f{x) ; si Ton donne à la variable deux valeurs voisines x et X + A appartenant à cet intervalle, la différence

des valeurs correspondantes de y est appelée Taccroissement de la fonction correspondant à Taccroissement h de la variable. Si ft a pour limite zéro quand h tend vers zéro, on dit que y est une fonction continue pour fa valeur x de la variable ; on le reconnaît à ce que la valeur absolue | A | de Taccroissement de y peut devenir aussi petite que Ton veut pour des valeurs suffisamment petites de | A | .

Exemple, — La fonction x^ est continue pour toute valeur de x\ remarquons en effet que la différence {x -f- A)"" — oT des valeurs de la fonction pour a? et a; -f- A est divisible par la différence (a: H- A) — x = h; en effectuant la division, nous avons pour Taccroissement k la valeur

fc=(x-4- A)"— af»= A[(x-|-A)"^*4-x(a:-|-A)"-2^ ... -f-x«-»],

et cette valeur tend vers zéro avec A.

Une fonction non continue pour une valeur x est dite discontinue pour cette valeur ; par exemple la fonction rationnelle

est discontinue pour x = i , car y n'existe pas pour cette valeur, et la fonction augmente indéfiniment en valeur absolue lorsque x tend vers i . Gomme autre exemple la fonction

est discontinue pour x = 0 ; y augmente indéfiniment si x tend vers zéro par valeurs positives, et au contraire a pour limite zéro si X tend vers zéro par valeurs négatives.

Dire qu'une fonction est continue pour x, c'est dire que f[x + A) a pour limite f{x) quand A tend vers zéro ; les deux propriétés sont équivalentes. Cette remarque et les propriétés démontrées pour les limites (n* 25) nous permettent d'énoncer ce théorème :

La somme, la différence, le produit ou le quotient de deux fonctions continues sont aussi des fondions continues; toute expression

rationnelle constituée au moyen de fonctions continues est aussi con-tinue tant que le dénominateur n'est pas nul. Par exemple un polynôme entier

y = Aoar-+-AiX*-*-f- • • • -h A„„|X -i- A«

est une fonction continue pour toute valeur de x, puisque ses termes le sont ; un tel polynôme diffère très peu de son terme constant \^ lorsque x est très petit en valeur absolue. En écrivant ce polynôme sous la forme

on voit que pour les valeurs de x très grandes en valeur absolue, la parenthèse diffère peu de Aq , et le polynôme a le même signe que son terme de plus haut degré AqX* .

Le quotient de deux polynômes est une fonction continue pour toutes les valeurs de x qui n'annulent pas le dénominateur.

132. Dérivée d'une foncUon. — Soit y = f{x) une fonction continue pour la valeur x de la variable ; donnons à a; un accroissement h et désignons par k Taccroissement correspondant de y ; si le rapport de Taccroissement k de la fonction à Taccroissement A de la variable tend vers une limite déterminée quand celui-ci tend vers zéro, on dit que cette limite est la dérivée de la fonction pour la valeur de x considérée ; on la représente par y' ou par /"'(x), et Ton écrit

.V' = licn*=limÛ£±4ziM.

11 est nécessaire que k tende vers zéro en même temps que h, c'est-à-dire que la fonction soit continue pour qu'elle ait une dérivée ; mais cette condition n'est pas toujours suffisante, et il existe des exemples de fonctions continues n'ayant pas de dérivée. De tels cas sont tout à fait exceptionnels, et les fonctions usuelles ont une dérivée pour toutes les valeurs où elles sont continues, comme nous le verrons bientôt.

Dans certains calculs, on représente par ^x l'accroissement de

DÉRIVÉES DES FONCTIONS d'uNE VARIABLE 199

a; et par Ày celui de y ; la dérivée est alors la limite du rapport-^

ÙLX

lorsque Ax tend vers zéro, et Ton écrit

y==Iim^ = lim/Iî±MlZl(^.

^ ^x ÙLX

188. Applications géométriques. — Une des applications les plus importantes du calcul des dérivées est la détermination des tangentes

aux courbes. Si l'on trace par un point M d'une courbe {fig. 52) une sécante MM' joignant ce point à un point voisiif M', et si cette sécante a une position limite MT lorsque M' se rapproche indéfîniment de M d'une manière

quelconque, on dit que MT est la tangente à la courbe au point M.

Fig. 52. C'est souvent par le calcul

plutôt que par la géométrie qu'on

peut affirmer l'existence d'une tangente en un point d'une courbe, et

qu'on peut la déterminer.

Plaçons-nous d'abord dans le cas particulier où la courbe est plane, et est rapportée à un système d'axes de coordonnées Ox, Oy ; nous supposons que l'ordonnée y est une fonction connue de l'abscisse x ; nous désignons par x, y les coordonnées du point M, et par x + Ax, y + Ay celles du point M'.

D'après ce que nous avons vu au n° 82, équation (6), le coefficient

angulaire de la sécante MM' est égal au rapport -^ de la différence des

ordonnées à celle des abscisses de M et M' ; si la fonction y a une dérivée, le rapport précédent a une limite précisément égale à la dérivée i/\ et Ton peut affirmer que la courbe a une tangente au point M, le coefficient angulaire de cette tangente étant égal à y\ Nous avons donc ce théorème :

Le coefficient angulaire de la tangente en un point d*une courbe plane est égal à la dérivée de l'ordonnée considérée comme fonclion de Pabscisse.

Supposons maintenant, pour nous placer dans le cas le plus général, que la courbe soit rapportée à un système d'axes dei coordonnées Ox, Oy, Oz, et que les coordonnées de chacun de ses points soientdes fonctions d'un paramètre t

(1) ^ ='/■(<), y = ?(<)- s^-KO;

soit t la valeur du paramètre qui correspond au point M^ de coor données x, ,?/, z ; soit t-]-M celle qui correspond au point M', A< tendant vers zéro quand M' se rapproche de M, et soient x + àx, y + Ajy, z-\-Lz les coordonnées du point M'.

Comme nous Tavons vu au n® 1 1 1 , équations (6), les coefficients directeurs de la sécante MM' sont proportionnels aux différences Ax, Ay, Az entre les coordonnées des points M et M', et ils sont aussi proportionnels aux quotients de ces différences par A^ c'est-à-dire à

Ax Aj^ Az

Si les fonctions (i) sont continues et ont des dérivées, on peut affirmer que les rapports (2) ont des limites quand A/ tend vers zéro, ces limites étant précisément égales aux dérivées x', y', z' ; on en conclut que la sécante MM' a une position limite quand M' se rapproche du point M, et que la courbe aune tangente en ce point, les coefficients directeurs de cette tangente étant proportionnels aux dérivées x', y', z' ; nous avons donc ce théorème :

Les coefficients directeurs de la tangente en un point d'une courbe sont proportionnels aux dérivées des coordonnées des points de cette courbe considérées comme fonctions d'une msme variable.

184. Applications mécaniques et physiques. — Une autre application importante des dérivées est la détermination de la vitesse du mouvement d'un point. Ëtant donnés trois axes de coordonnées liés à un système de repère, un point est en mouvement relativement à ce système si ses coordonnées varient avec le temps ; parmi les différentes manières d'étudier le mouvement d'un point mobile, nous mentionnerons les deux suivantes :

1° Dans la première méthode, on donne la trajectoire du mobile, et l'on suppose que l'on sait mesurer les arcs de cette trfgectoire, comme

DÉRIVÉES DES FONCTIONS d'dNE VARIABLE

Fig. 53.

eela a lieu sur une droite ou une circonférence. On prend alors sur cette ligne {fig. 53) une origine Mo et un sens positif, comme sur une droite dirigée, et Ton fait correspondre à chaque point M de la ligne

la valeur relative s de i Tare MqM ; on peut l'ap-

peler abscisse curviligne du point M.

De même à chaque instant on fait correspondre la valeur relative ^de : rintervalle d e temps compris entre un instant pris comme origine et l'instant considéré, le signe de t étant -f- ou — suivant que ce dernier instant suit ou précède le premier. Alors un mouvement du mobile sur la trajectoire est caractérisé par une relation entre s et ^ de la forme

Soient M et M' les positions occupées par le mobile aux instants / et i' ^=t-\- Li\ soient s et «' = « + Aj les abscisses curvilignes de ces positions ; on appelle vitesse moyenne du mobile entre M et M' le rapport de Tare MM' au temps employé à le décrire ; cette vitesse a une valeur positive ou négative égale au rapport

s' — s^ i'—i tki'

Si 9 est une fonction admettant une dérivée pour la valeur ( de la variable, le rapport précédent a une limite lorsque Li tend vers zéro; cette limite est appelée vitesse du mobile à l'instant ty et elle est égale à la dérivée de s ; nous avons alors ce résultat :

La vitesse d'an mobile est égale à la dérivée de son abscisse curviligne considérée comme fonction du temps.

Remarque. — Lorsqu'on se déplace sur la trajectoire à partir du point M, on appelle sens du mouvement celui que suit le mobile lorsque

Ton donne à ^t des valeurs positives croissantes, et Ton appelle sens des arcs croissants celui que suit le mobile lorsque Ton donne à Us des valeurs positives croissantes ; ces sens sont identiques ou opposés suivant que s augmente ou diminue quand t augmente.

Lorsque la trajectoire possède une tangente au point M, on définit de la même manière sur cette tangente le sens du mouvement et le sens des arcs croissants, correspondant à ceux que Ton vient de définir sur la trajectoire.

Dans certaines recherches, on représente la vitesse du mobile M à rinstant t par un vecteur MV dont Torigine est le point M, le sens celui de la tangente dans le sens du mouvement, et dont la longueur a pour mesure la valeur absolue de la vitesse. En examinant les divers cas qui peuvent se présenter, on voit facilement que Ton obtient ce vecteur représentatif de la vitesse en portant à partir du point M, sur la tangente dirigée dans le sens des arcs croissants, un vecteur dont la valeur relative est égale à celle de la vitesse telle que nous Tavons définie, c'est-à-dire égale à la dérivée de s,

2<* Dans la seconde méthode, on donne les expressions des coordonnées du mobile en fonction du temps, sous la forme

ces équations définissent à la fois la trajectoire et la loi du mouvement lorsque / varie.

Soient x,y,z et x' = xh-Ax, y^ = y-^ày, z'=^Z'h^z les coordonnées des positions M et M' du mobile aux instants i eii' = t-\-^t; portons sur la droite indéfinie MM' {ficf. 53) un vecteur MVi dont la valeur relative est liée à celle de la corde MM' par la relation

. (corde MM') V^^*)= Ai '

puis faisons tendre M vers zéro. Nous allons démontrer que la limite de MV|, lorsqu'elle existe, est le vecteur MV représentatif de la vitesse ; nous supposons toutefois, ce qui a toujours lieu dans les cas usuels, que le rapport de la corde MM' à Tare qu'elle sous-tend ait pour limite l'unité lorsque MM' tend vers zéro.

En effet, on voit d'abord, en examinant les divers cas qui peuvent se présenter, que la limite du vecteur MVi est toujours située sur la