DÉRIVÉES DE» FONCTIONS D*UNE VARIABLE
tangente en M dans le sens du mouvement; on a d'autre part, en valeur absolue,
,. corde MM' ,. arc MM' ^ ^ ,. corde MM' .
lim — = hm — -- — X lim rj^rj^- ,
àl M arc MM'
comme le dernier terme du second membre est par hypothèse égal à Tunité, on voit bien que la limite de HVi a même valeur absolue que MV ; la proposition se trouve donc démontrée.
Cela posé, les projections du vecteur MVi sur les axes de coordonnées sont respectivement égales aux rapports
— Aj/ ÙLZ ,
17 ' m' SF '
si les fonctions x, y, z ont des dérivées, ces rapports ont des limites respectiveoient égales aux dérivées x', y\ z' ; nous pouvons affirmer dans ce cas que HYi a bien une limite, et que les projections de cette limite, c'est-à-dire celles du vecteur MV représentatif de la vitesse, sont égales à a/, y', z'. Nous pouvons remarquer, comme vérification, que ces projections sont proportionnelles aux coefficients directeurs de la tangente en M à la trigectoire. Nous arrivons donc au résultat suivant :
Le vecteur représentatif de la vitesse du mobile en un point a pour projections les dérivées des coordonnées du mobile considérées comme fondions d a temps.
Les équations (3) prises séparément représentent les mouvements des projections mi, m^, ms du mobile M sur les trois axes; les vitesses de ces mouvements sont représentées par des vecteurs miV|, mjVs, miVi portés par ces axes et respectivement égaux aux dérivées x', y', z'. Si nous remarquons que ces vecteurs sont précisément les projections de MV, nous pouvons encore énoncer ce résultat :
Le vecteur représentatif de la vitesse du mobile en un point M est la somme géométrique des vecteurs représentatifs des vitesses de ses projections sur les trois axes.
Dans différentes branches des sciences appliquées se présentent des notions analogues à celles que nous venons de développer à propos de la vitesse d'un mouvement.
Lorsque deux grandeurs dépendent Tune de l'autre, on a souvent à considérer le rapport des accroissements correspondants de ces grandeurs, puis la limite de ce rapport; cette limite est égale à la dérivée, de la fonction qui exprime les valeurs d'une des grandeurs au moyen de l'autre .
Par exemple, en physique, la longueur / d'une barre égale à l'unité de longueur à 0* s'exprime en fonction de la température par une équation telle que / == f[t) ; si / et T = / + A/ sont les longueurs
aux températures t et <' = < + A^, le rapport -- est le coefficient
moyen de dilatation entre les températures ^ et <' ; la limite de ce rapport est le coefficient de dilatation à la température t\ il est égal à la dérivée de la fonction l = f[t).
186. Dérivées suceessfves* — Ëtant donnée une fonction y =■ f{x), la dérivée y' ou f{x) est déterminée pour chaque valeur de x où elle existe; elle est elle-même une fonction de cette variable et peut posséder une dérivée ; lorsque celle-ci existe, on l'appelle dérivée seconde de y, et on la représente par y' ou f'{x). C'est une nouvelle fonction de X dont la dérivée est appelée dérivée troisième de y et est représentée par y' ou f^[x)^ et ainsi de suite; y' est appelée dérivée première.
Exemple. — Lorsqu'un point mobile est animé d'un mouvement rectiligne, la dérivée de sa vitesse par rapport au temps est appelée son accélération ; elle est égale à la dérivée seconde de l'abscisse par rap^ port au temps.
Nous allons calculer la dérivée première des fonctions usuelles; les dérivées suivantes s'en déduiront par l'application des règles trouvées.
136. Dérivée des fonctions simples. — i^ Dérivée d'une constante,
— Si une fonction y reste constante pour toute valeur de x, son ac-
k croissement k est toujours nul, ainsi que le rapport -t-: la limite de
ce rapport est donc toujours nulle également; nous concluons delà que la dérivée d'une constante est nulle.
2® Dérivée dey = x^. — Nous supposons m entier et positif; les
DÉRIVÉES DES FONCTIONS d'uNE VARIABLE 203
valeurs de la fonction pour x et x + A sont x^ et (x + A)", de sorte que Taccroissement A de y correspondant à Taccroissement A de X est (x-f-A)" — x". Cette différence est divisible par la différence (x + A) — x = A^ et en effectuant la division, nous avons
A = (x-f-A)" — x" = A[(xH-A)"-*-|-x(xH-A)"-*-+- ... h-x"-«]; nous en déduisons
^=={x4-A)"-*-t-x(x-h A)"-*-4- ... -hx"-*.
Lorsque A tend vers zéro, tous les termes du second membre, qui sont en nombre m, ont pour limite x'*-^ de sorte que ce second membre a une limite égale à mx"-' ; nous avons par suite ce résultat:
La dérivée de x" est mx"""*.
3* Dérivée de y = e*. — Aux valeurs x et x H- A correspondent pour la fonction les valeurs e* et e*+*, et à Taccroissement A donné à 3c correspond pour y Taccroissement
le rapport des deux accroissements a pour valeur
Nous avons vu (n* 50) que le rapport — j- — a pour limite Tunité
quand A tend vers zéro ; nous en concluons que le second membre a pour limite e* ; d'où ce résultat :
La dérivée de «• est égale à e* lai-même.
Toutes les dérivées successives de e* sont égales à e*.
4« Dérivée de y = log x. — Nous entendons par ce symbole le logarithme népérien de x. Aux valeurs x et x + A correspondent pour la fonction les valeurs log x et log(x + A), et à Faccroissement A donné à x correspond pour y Taccroissement
A = log{xH-A)— logx==logf^-^j = logM -H-j;
lorsque A tend vers zéro, il en est de même de k, ce qui montre
]^ déjà que la fonction est continue ; le rapport -r- peut s'écrire
La quantité sous le signe log est de la forme (i +s)*, ol ayant
pour valeur — , et ayant pour limite zéro quand A tend vers zéro ; nous
savons (n*" 51) que la limite de cette expression est égale au nombre e; comme log e est égal à Tunité, la limite du second membre est égale
à — : d'où ce résultat:
La dérivée de log x est égale à
137. Dérivée des foncUons simples trigonométriques. — 1* Dérivée de y = sina;. — Aux valeurs x et x + A de la variable correspondent pour la fonction les valeurs sin x et sin(x + A), etàTaccroissement A donné à x correspond pour y l'accroissement
k = sin (a? -f- A) — sin x = 2 sin ^ cos / x -f- -j ) ;
cet accroissement tend vers zéro avec h, ce qui montre déjà que la fonction est continue ; le rapport -r- peut s'écrire
k ^^"^2 / - ^^^cos
(^-^î)=nr^^K'^"^^)^
lorsque A tend vers zéro, le premier facteur, qui est le rapport du sinus à Tare, a pour limite Tunité, et le deuxième a pour limite cos x, de sorte que la limite du second membre est cos x, d'où ce résultat :
La dérivée de sin x est cos x.
2* Dérivée de y = cos x. — Aux valeurs x et x -h A correspondent pour la fonction les valeurs cosx et cos(x + A), et à laccroissement A donné à x correspond pour y Taccroissement
A = cos (x -I- A) — cos X = — 2 sin — sin ( X -h -s- 1 ;
DÉRIVÉES DES FONCTIONS d'uNE VARIABLE 207
cet accroissement tend vers zéro avec A, ce qui montre que la fonction
If est continue ; le rapport -r peut s'écrire
* 2sm^ ..
La limite du second membre est, pour la même raisoa que précédemment, égale à — sin x, d'où ce résultat :
La dérivée de cos x est — sin x,
3* Dérivée de y = tg a?. — Aux valeurs x et x -h A correspondent pour la fonction les valeurs tg x et tg {x + A), et à Taccroissèment A donné à x correspond pour y Taccroissement
^^ ^ ° cos (a: -h A) cosa: cos (x H- A) cos x '
cet accroissement tend vers zéro avec A lorsque cos x n'est pas nul, ce qui montre que la fonction est continue, sauf pour les valeurs de x
qui la rendent infinie, et qui sont de la forme x=(2A + i)-^; le
rapport -j- peut s'écrire
A sin A 1 .
A"" A * cos (x H- A) cos x '
lorsque A tend vers zéro, le premier rapport du second membre a
pour limite Tunité et le second, — ^ , de sorte que la limite de -r est
. cos X n
— r- , d'où ce résultat : cos*x
La dérivée de tgx est r**
^ cos "x
188. Dérivée des fonctloiis Inverses. — Soit y = f{x) une fonction continue, et C sa courbe représentative ; une pi^allèle à Taxe des Xy d'ordonnée y, coupe cette courbe en un ou plusieurs points. Si M est un de ces points, l'arc de la courbe G avoisinant le point M permet de déterminer une succession de valeurs de l'abscisse x correspondant à des valeurs successives de l'ordonnée y ; ces valeurs de x forment
une branche d'ime fonction uniforme ou multiforme x = 9 (y ) que l'on appelle i/ii^er^e de la fonction y:=flx). C'est une fonction continue; nous allons montrer qu'elle a une dérivée, et déterminer cette dérivée. Soient x et x-\-h deux valeurs voisines de la variable x, correspondant aux valeurs y et y -h k de la première fonction y ; par
k hypothèse, -r- a une limite 1/' ou p{x) différente de zéro lorsque h
tend vers zéro. Lorsque Ton considère x comme fonction de y, les accroissements correspondants de la fonction x et de la variable y
sont cette fois A et /r, et leur rapport est j- ; comme il est Tinverse
du premier, il a une limite qui est Tinverse de la première ; la fonction X ûe y bl donc une dérivée x' qui est Tinverse de la dérivée y', d'où ce résultat :
Les dérivées de deux fondions inverses ont des valeurs inverses Vune de Vautre.
Nous allons l'appliquer à la recherche de la dérivée des fonctions circulaires inverses.
139. Dérivée des fonctions trlgonométriques inverses. — 1^ Dérivée de j/:^arcsinx. — Si le sinus d'un arc y est désigné par x, inversement à un sinus égal à x et compris entre — i et -h i correspondent une infinité d'arcs y ; en désignant par p celui d'entre
eux qui est compris entre — -^ et H- -s- > ^ous les autres sont compris
dans les formules
y = 2fat H- p, y = (2& -I- i) ic — p.
L'un quelconque de ces arcs ayant pour sinus x est désigné sous le nom de arcsinx, mais on ne considère ordinairement que le premier p, et c'est le seul que nous étudierons comme .fonction de x ; nous allons calculer sa dérivée en utilisant celle de sa fonction inverse.
La fonction inverse de y = arcsinx est x = siny, dont la dérivée est (n« 137)
x' = cos y ;
dès lors nous avons, d'après le théorème démontré dans le n** précédent.
DÉRIVÉES DES FONCTIONS d'cNE VARIABLE 209
y' = -;; = » et comme cosy est égal à ^/l — sin* y ou égal à
