X COS V

/i — x*, nous trouvons

on doit prendre le signe + devant le radical car cos y est positif dans le cas actuel; pour un autre choix de i/, on doit prendre le radical avec le signe + ou le signe — , suivant que cos y est positif ou négatif; dans le cas ordinaire, nous avons ce résultat:

La dérivée de arc sin x est -7 .

V/I— ar«

2° Dérivée de y = arc cos x. — A un cosinus x compris entre

— i et +1 correspondent une infinité d*arcs j^ ; si p est celui

d'entre eux qui est compris entre 0 et ic, tous les autres sont compris

dans la formule

,y = 2A;:r=hp.

L'un quelconque de ces arcs ayant pour cosinus x est appelé arc cos x, mais on considère ordinairement Tare p, et c'est le seul que nous étudierons comme fonction de a? ; la fonction inverse de y == arc cos X est a; = cos y dont la dérivée est (n* 137)

x^ = — sin y.

Alors, par un raisonnement analogue au précédent, nous avons

^ x' sin y y/i— x*'

le radical étant pris avec le signe + puisque sin y est positif; pour un autre choix de y, on prendra devant le radical le signe de sin y ; nous avons ainsi ce résultat :

La dérivée de arc cos x est

3* Dérivée de y = arcigx. — A une tangente égale à x correspondent une infinité d'arcs y ; si p est celui d'entre eux qui

est compris entre — ^ et -+~^» tous les autres sont compris dans

la formule

VoGT. — Math. sup. H

L'un quelconque de ces arcs ayant pour tangente x est appelé arc tgx, mais on considère ordinairement Tare p, et c'est le seul que nous étudierons comme fonction de x; la fonction inverse de 2/ s: arc tg X est x =: tg y , dont la dérivée est

cos'y ' nous avons alors, par un raisonnement analogue aux précédents,

y'=-7=cos«yr- — •

d'où ce résultat :

La dérivée de arc tR x est .

140. Dérivée d'une fonction composée. — Ëtant données des fonctions simples de x, désignées par ii, v,ti;, . . . , toute fonction y de u, v, 10, • • . est appelée fonction composée de x; nous allons montrer dans les cas usuels que si o, v, k;, ... ont des dérivées, la fonction y a aussi une dérivée, et nous indiquerons comment on peut la déterminer au moyen de celles des fonctions composantes. Pour plus de commodité, nous représenterons par Sx Taccroissement de la variable, et par Ay , Aii , Av , ... les accroissements correspondants des fonctions y, iz, t;^ ... .

i® Ck)nsidérons d'abord le cas où y est le produit d'une fonction u par une constante A; l'accroissement Ay est égal à AAo, et nous avons, en divisant par Ax,

Ax Ax *

lorsque Ax tend vers zéro, le rapport — a par hypothèse une

limite u', par suite le premier membre a une limite et y a une dérivée qui est

y' = Au',

de sorte que la dérivée de Au est Au'.

2*^ Dérivée d'une somme. — Soit une somme de trois fonctions

y = u + t; + ti; ;

DÉRIYÉBS DES FONCTIONS d'cME VARIABLE 211

a un accroissement tkx de la variable correspondent des accroissements At/, ÀOf Av, Ati;, et Taccroissement de y est égal à la somme des accroissements des autres fonctions ; nous avons donc

en divisant par ^Xy nous trouvons

Ay Au Au ùkW .

Ax Ax Ax Ax '

lorsque Ax tend vers zéro, chacun des rapports du second membre a une litnite égale à la dérivée de la fonction correspondante ; par suite le premier en a une égale à leur somme, et 1/ a une dérivée égale à

y ' = u' -I- u' -4- ii>' ;

nous voyons que la dérivée d'ane somme 11 + v + 1£) est égale à la somme u' -\~v' -^w' des dérivées.

Exemple. — La dérivée d'un polynôme

y = AoX" -f- AiX"-* -f- AîX"-- -f- . . . -1- A«2X« -f- X^^iX M- A«

est égale à la somme des dérivées de ses termes ; d'après ce que nous avons dit sur la dérivée de x"*, et sur celle de Au, elle a pour valeur

y' r=z mAoX*-* -4- (m — l)AiX"-^ -f- (m — 2)A2X"^»

-+-•••+ 2A„^îX -f- A„j ;

la même règle donne pour valeur de la dérivée seconde

y^ = /n(m — i)AoX'"-«-4-(in — l)(m-«2)AiX«-«-h • • • -h2. l.A^^s,

et ainsi de suite ; les dérivées successives sont des polynômes dont le degré va en décroissant ; la dérivée m* est une constante :

y('») = m(m — i)(m — 2) . . . 2. i.Ao, et les dérivées suivantes sont toutes nulles.

141. 3** Dérivée d'un produit. — Soit le produit de deux fonctions ,

y = uv ; ^'

soient n-f-Au et «-f-Aw les valeurs que prennent les deux facteurs

pour la valeur a; + ^ de la variable; à Taccroissement Ax correspondent pour u et & les accroissements Ao et Ar, et pour y raccroissement

Ay = (n -h At?) {v -h An) — n» := An . » -i- At? . u -h Au . Au ; en divisant par Ax^ nous avons

Ay Au At» ,^^\,

Xx \x Ax Ax

Lorsque Ax tend vers zéro, — et — ont des limites égales

Ax Ax

aux dérivées a' et v' ; Av tend vers zéro, et le dernier terme du second membre tend aussi vers zéro ; nous en concluons que le second membre a une limite égale à la somme u'v + v'a des limites des deux premiers termes, et par suite que y a une dérivée égaie à

d'où ce résultat : la dérivée d'un produit uv est égale à u'v 4- v'u . Exemples. — Les fonctions

y =(3x — l){x*-+-2), z =sinxcosx

ont pour dérivées

t/'==3(x«-h2)-f-2x(3x — i) = 9x« — 2x-h6, z' = cos*x — sin'x .

Si Ton a trois facteurs o , t; , to , on peut supposer d'abord effectué le produit des deux derniers ; d'après ce qui précède, nous avons

y' = u'[vw) -+- n[vw)' ;

en remplaçant la dérivée du produit vw par sa valeur explicite au dernier terme, nous trouvons

y' = u'vxo -h u{v'w -h w'v) = n'vw -+- v'uw + w'av .

Nous pourrions opérer de la même façon dans le cas d'un produit d'un plus grand nombre de facteurs, et nous verrions que l'oit obtient

DÉRIVÉES DES FONCTIONS d'uNE VARIABLE 213

la dérivée (Fan produit en muUipliant la dérivée de chaque facteur par tous les antres facteurs, et additionnant les résultats.

142. Dérivée d'un quotient, — Soit le quotient de deux fonctions

soient, comme précédemment, u h- Ao et v-h^v les valeurs que prennent les deux termes pour la valeur x-hùkx de la variable ; à laccroissement Ax correspondent pour u et v les accroissements Ao et Av, et pour y l'accroissement

- II -4- Au a Aii.w — Av. u .

t) -h Au v (u -4- àv)v

en divisant par ùkXf nous avons

Au At;

Ay Ax Aaî

Hx {v -4- A»)«

Lorsque Ax tend vers zéro, — . et -r- ont des limites égales

tXX iXX

aux dérivées o' et v' ; dans le dénominateur, Av tend vers zéro , nous en concluons que le second membre a une limite, et par suite que y a une dérivée égale à

d'où ce résultat : la dérivée d'un quotient — est r — •

Exemples. — Les fonctions

2a:* -h i sin a;

^ ôx — 2 cosx

ont pour dérivées

,4a;(3a? — 2) — 3(2a;*-hi)6g* — 8x — 3

^r __ cos'a: — ( — sin'x) 1

cos^x cos^x '

nous obtenons ainsi de nouveau la dérivée de tgx.

En particulier, lorsque i/ = i , on a u' = 0 ; nous en concluons que la dérivée de — est égale à .

Lorsque nous aurons déterminé les dérivées des fonctions de plusieurs variables, nous considérerons le cas général des fonctions composées.

143. Dérivée d'une fonction de fonction. -— Si u est une fonction de X, toute fonction de u

est dite fonction de fonction de x ; nous allons calculer la dérivée de y en supposant connues la dérivée de la fonction f{a) de la variable u, et celle de la fonction u de x. Soient Àx un accroissement donné à la variable x, Au et ^y les accroissements correspondants de a et y; nous avons identiquement

Ay Ay Aa ,

Ax Ali Ax

lorsque Ax tend vers zéro, les deux rapports du second membre ont des limites égales à f'{a) et o'; par suite, le premier membre a ime limite, et y a une dérivée égale à

d'oix ce résultat : la dérivée d'une fonction de fonction est égale au produit des dérivées des fonctions dont elle se compose.

Ce résultat s'étend à un nombre quelconque de fonctions successives ; si u est une fonction de x, si v = <p(a) est une fonction de a, et y = f{v) une fonction de t;, nous avons de même

Ay Ay Au An

Ax A» Au Ax

et nous en concluons, en passant à la limite, y' = r{v).^'{u).u'.

Exemples. — Soit y = e~*' ; nous poserons n = — x', et nous aurons y = e" ; la dérivée de y sera alors

y' = eV=:e-«'(— 2x).

DÉRIVÉES DES FONCl'lONS d'uNE VARIABLE 215

Soit encore y = a*; nous avons vu (n° 52) que a* = c*^°8*»; en posant ii = xloga, nous avons ,y = e", d'où nous tirons

y' = 6" , a' = e****«*»loga = a*loga.

Le cas d'une fonction de fonction se présente couramment lorsque la variable entre sous le signe d'une fonction simple par un de ses multiples ou de ses sous-multiples ou plus généralement par une expression linéaire; on prend alors cette expression pour valeur de ii. On se dispense même d'écrire la lettre u, et Ton fait immédiatement le calcul de la dérivée.

Exemples : y = sin mx^ y' = m cos mx ;

y = log(ax+6), y' = ^^-