CHAPITRE II VARIATION DES FONCTIONS D'UNE VARIABLE

145. Fonction croissante ou décroissante. — On dit qu'une fonction f[x) d'une variable x est croissante dans un intervalle donné relatif à cette variable si eUe va toujours en augmentant lorsque la variable va en augmentant dans cet intervalle. On le reconnaît à ce que, a et 6 étant deux valeurs quelconques de x comprises dans rintervalle considéré, f{h) est plus grand que f{a) si b est plus grand que a, ou, d'une manière plus générale, à ce que la différence f[b) — f{a) a toujours le signe de la différence 6 — a, et n'est pas nulle.

On dit qu'une fonction f[x) est décroissante dans un intervalle si elle va toujours en diminuant lorsque la variable va en augmentant dans cet intervalle. On le reconnaît à ce que^ a et 6 étant deux valeurs quelconques de x comprises dans l'intervalle, la différence f[h) — f[a) a toujours le signe contraire à celui de 6 — a, et n'est pas nulle.

146. Maximum ou minimum. — On dit qu'une fonction fyx) définie dans un certain intervalle passe par un maximum pour une valeur x = a de la variable comprise dans cet intervalle, si sa valeur pour x = a est supérieure aux valeurs voisines. On le reconnaît à ce que l'on peut trouver un nombre positif h tel que pour toute valeur b comprise dans l'intervalle donné et entre a^h et a -h h, f[b) est inférieur à f{a).

Lorsque la fonction f[x) est croissante entre a — h et a, et décroissante entre a et a 4- A, on peut affirmer qu'elle passe par

un maximum pour x — a, car f{a) est supérieur aux autres valeurs que prend f[x) entre a — h et a-^h.

On dit qu'une fonction f[x) définie dans un certain intervalle passe par un minimum pour une valeur 2* = a de la variable comprise dans cet intervalle, si sa valeur pour x^=^a est inférieure aux valeurs voisines. On le reconnaît à ce que Ton peut trouver un nombre positif A tel que pour toute valeur b comprise dans Tintervalle donné et entre a — h et a -4- A, f[b) est supérieur à f{a). Lorsque la fonction f{x) est décroissante entre a — h et a, et croissante entre a et a-h A, on peut affirmer qu'elle passe par un minimum pour j; = a, car f{a) est inférieur aux autres valeurs que prend f{x) entre a — A et a 4- A,

147. Théorème I. — Si une fonction est constante dans un intervalky sa dérivée est nulle pour toute valeur de la variable comprise dans cet intervalle.

Si une fonction est croissante dans un intervalle, sa dérivée est positive ou nulle, mais jamais négative pour toute valeur de la variable comprise dans cet intervalle.

Si une fonction est décroissante dans un intervalle, sa dérivée est négative ou nulle, mais jamais positive pour toute valeur de la variable comprise dans cet intervalle.

Soient en effet a et 6 deux valeurs quelconques de x dans Tintervalle considéré ; formons la différence f{b) — f{a)^ puis le rapport

(1) fMuM,

et cherchons la limite de ce rapport lorsque 6 tend vers a ; c'est la valeur de la dérivée f\£) pour x^=^a.

Si la fonction est constante, f{b) est toujours égal à /(a), le rapport (i) est nul, et sa limite est toujours nulle.

Si la fonction est croissante, le rapport (i) est positif (n° 14S) et sa limite est positive ou nulle, mais jamais négative. De même, si la fonction est décroissante, le rapport (1) est négatif et sa limite est négative ou nulle, mais jamais positive ; la proposition est ainsi démontrée.

VARIATION DES FONCTIONS d'uNE VARIABLE 249

148. Théorème II. — Si une fonction continue et possédant une dérivée déterminée dans un intervalle passe par un maximum ou un minimum pour une valeur de la variable comprise dans cet intervalle et différente de l'une des limites, sa dérivée s'annule pour cette valeur de la variable.

Supposons que la fonction f{x) passe par un maximum pour une valeur x = a intérieure à Tintervalle que Ton considère; il existe alors, comme nous Tavons dit, un intervalle (a — A, a -h h) renfermé dans le précédent, et tel que pour tout nombre b de ce dernier intervalle, f{b) est inférieur à f{a). Formons encore la différence f{b) — f{a) et le rapport (1).

Donnons d'abord à b des valeurs inférieures à a et tendant vers a ; le numérateur et le dénominateur du rapport (i) sont négatifs, et ce rapport est positif; sa limite est donc positive ou nulle. Donnons ensuite à b des valeurs supérieures à a et tendant vers a ; le numérateur du rapport (1) est négatif, le dénominateur positif, et ce rapport est négatif; sa limite est donc négative ou nuUe. Mais, par hypothèse, la limite du rapport (i) est bien déterminée^ et elle a par suite la même valeur dans les deux cas ; elle ne peut donc être que nulle.

On ferait un raisonnement analogue si f{x) passait par un minimum pour x = a.

149. La réciproque du théorème I repose sur un théorème fondamental, que Ton appelle théorème des accroissements finis, et qui a pour but d'évaluer la valeur du rapport (1) au moyen de la dérivée de la fonction f{x); nous commencerons par démontrer le lemme suivant :

Lemme. — Si une fonction f[x) est continue et admet une dérivée déterminée pour toutes les valeurs de x comprises entre deux nombres a et 6, et si elle s'annule pour ces deux nombres, sa dérivée s'annule au moins pour une valeur de x comprise entre a et 6.

Si en effet la fonction est constamment nulle entre a et 6, sa dérivée est nulle pour toute valeur de x comprise entre ces deux nombres (Théorème I). Si la fonction n'est pas constamment nulle, elle prend entre a et 6 des valeurs positives ou négatives ; supposons pour fixer les idées que certaines des valeurs qu'elle prend soient

positives; d'après Thypothëse faite que f[x) est continue, la plus grande de ces valeurs, que nous désignerons par M, reste finie; M est sûrement un maximum de la fonction, et celle-ci passe par ce maximum pour une certaine valeur c de la variable comprise entre a et 6 et non égale à ces limites. D'après le théorème II, la dérivée f'[x) s'annule alors pour x = c^ ce qui démontre la proposition.

Le raisonnement serait le même si l'on considérait le cas où f[x) prend des valeurs négatives ; la fonction passerait par un minimum. Remarquons qu'il n'est pas nécessaire de supposer dans ce qui précède que la dérivée f'{x) reste finie pour x=^a ou a? = 6.

150. Tbéorème des accroissements finis. --^ Si une fonction f{x) est continue et admet une dérivée déterminée pour toutes les valeurs de x comprises entre deux nombres a et b, on a

C étant un nombre compris entre a et b.

Désignons par P la valeur du premier membre de l'équation précédente ; elle satisfait à la relation

considérons la fonction auxiliaire

obtenue en remplaçant dans le premier membre de l'égalité (3) a par X dans f{a) et dans 6 — a, mais non dans P ; ¥{x) s'annule pour x = a d'après (3), et pour x = b identiquement ; elle jouit, en même temps que /"(a;), de la propriété d'être continue et d'avoir une dérivée déterminée pour toute valeur de x entre a et 6 ; par suite, d'après le lenime du u"" précédent, sa dérivée s'annule au moins pour une valeur telle que c comprise entre a et b. Gomme cette dérivée est

nous obtenons, en écrivant que F'{c) est nul, la relation

p=nc),

ce qui démontre le tbéorème.

On donne souvent à l'équaiiou (2) une autre forme que nous allons

VARIATION DES PONCTIONS d'lNE VARIABLE 221

indiquer, bien qu'elle ne nous soit pas utile actuellement. Si Ton remplace a par x, et 6 par x-hh, b — a est égal à h ; quant au nombre Cy qui est compris entre x ^i x-\-h, il peut être écrit sous la forme x-\-^h, 0 étant compris entre 0 et i ; avec ces changements, Téquation (2) devient

(4) f[x -h h)^f[x) = hf'{x-^^h),

151. Réciproque du théorème I. — Si une fonction continue a une dérivée constamment nulle dans un intervalle, elle est constante dans cet intervalle.

Si une fonction continue a une dérivée bien déterminée dans un intervalle, sauf peut-être aux limites, et si cette dérivée est constamment positive entre les limites^ sauf peut-être pour des valeurs isolées de la variable, où elle est nulle, cette fonction est croissante dans cet intervalle.

Si, dans les mêmes conditions, la dérivée est négative, la fonction est décroissante dans ^intervalle.

Soit f[x) la fonction donnée, a et 6 deux valeurs quelconques de x comprises dans Tintervalle considéré ou égales aux limites; dans le cas où f{x) est constamment nulle, la formule (2) des accroissements finis montre que Ton a toujours f[b) = f[a) et la fonction est constante, ce- qui démontre la première partie de la réciproque.

Pour démontrer la seconde partie, nous considérerons de même deux valeurs quelconques a et 6 de la variable comprises dans Tintervalle ou égales aux limites ; nous supposerons 6 > a , ce qui ne nuit pas à la généralité du raisonnement.

Plaçons-nous d'abord dans le cas simple où la dérivée est positive et non nulle pour toutes les valeurs comprises entre a et 6 ; (elle peut avoir une valeur quelconque pour a ou b) ; dans Téquation (2), le second membre f\c) est positif et non nul, par suite f[b) est supérieur à f{a) .

Supposons maintenant que la dérivée s'annule pour certaines valeurs de la variable comprises entre a et b; nous pouvons toujours trouver deux nombres a' et i' tels que Ton ait a<ia' <,b' <Zb, et tels que f\x) soit positive sans être nulle pour toutes les valeurs de X comprises entre a et a\ ainsi qu'entre b' et b.

222 DÉRIVÉES ET PIFFÉRBNTIELLES

D'après le raisonnement du cas simple précédent, f{a*) est sûrement supérieur à /(a), et f[b) est sûrement supérieur à f{b') ; quant à la différence f{b')'—f[a')y d'après un raisonnement analogue, elle est positive ou nulle, car la dérivée f'[x) est positive ou nulle pour toute valeur de x comprise entre a' et V ; il résulte de là que la différence

est positive et non nuUe.

Dans Tun comme dans l'autre cas, nous voyons que f{x) satisfait à la condition du n^ 145 et est croissante dans tout Tintervalle considéré, ce qui démontre la deuxième partie.

Nous ferions un raisonnement analogue pour démontrer la troisième partie de la réciproque.

152. Remarques relatives aux maxlma et mlnlma. — Nous avons vu (Théorème 11) que si une fonction {{x) passe par un maximum ou un minimum pour x = a, et possède une dérivée f\x^ bien déterminée, cette dérivée doit être nulle pour cette valeur de x, La réciproque n'est pas toujours vraie, et {\x) peut s'annuler pour une valeur x = a sans que la fonction passe par un maximum ou un minimum pour cette valeur ; si la dérivée f\x) reste par exemple positive entre a — A et a-f-A, la fonction f{x) est cro/ssante dans l'intervalle {a-^h, â + A) et ne devient pas maximum ou minimum pour a; = a .

La fonction f[x) = x^ fournit un exemple de ce fait; sa dérivée f'{x):=ix* s'annule pour a: = 0 et cependant la fonction croit constamment sans passer par un maximum ou un minimum pour cette valeur de x.

D'autre part il peut arriver qu'une fonction reste continue et passe par un maximum ou un minimum pour une valeur x = a, sans que sa dérivée s'annule pour cette valeur de x ; il peut arriver que cette dérivée n'ait pas une valeur déterminée et devienne par exemple

infinie pour x=^a. La fonction yx* = x * offre un exemple de ce fait ;

elle est continue et passe par un minimum pour x== 0, et cependant

2 — * sa dérivée -^x s* est discontinue et non nulle pour cette valeur de x. «5