VARIATION DBS FONCTIONS D*UNE VARIABLE

Le théorème suivant indique d*une manière précise comment on détermine les maxima et les minima d'une fonction continue ; nous supposerons toutefois, ce qui a toujours lieu dans les applications usuelles, que les valeurs de la variable pour lesquelles la dérivée n'est pas déterminée ou change de signe sont en nombre fini dans tout intervalle limité.

Théorème III. — La condition nécessaire et suffisante pour qu'une fonction continue passe par un maximum pour une valeur de x est que sa dérivée passe du positif au négatif lorsque x passe en croissant par la valeur considérée.

La condition nécessaire et suffisante pour qu'une fonction continue passe par un minimum pour ufie valeur de x est que sa dérivée passe du négatif au positif lorsque x passe en croissant par la valeur considérée.

Démontrons d'abord que la condition est nécessaire; supposons que la fonction f{x) passe par un maximiun pour x = a. Sans faire aucune hypothèse sur la valeur de la dérivée f'{x) pour x = a, nous pouvons trouver un nombre positif h tel que, entre a — h et a, cette dérivée soit déterminée, ne s'annule pas et garde le même signe, et qu'il en soit de même entre a et a + A. Nous allons montrer qu'elle est positive dans le premier intervalle et négative dans le second.

En effet, d'après la réciproque que nous avons démontrée dans le n* précédent, la fonction varie toujours dans le même sens entre a — h et a, et il en est de même entre a et a + A ; comme, par hypothèse, f{a) est supérieur aux valeurs voisines, la fonction est sûrement croissante dans le premier de ces intervalles et la dérivée est positive ; pour la même raison, la fonction est décroissante dans le deuxième intervalle et la dérivée est négative. Nous voyons donc que la dérivée passe du positif au négatif lorsque x passe en croissant par la valeur a.

Si au contraire f{x) passe par un minimum pour x = a, sa dérivée passe du négatif au positif lorsque x passe en croissant par la valeur a.

Nous allons maintenant montrer que la condition est suffisante ; supposons que la dérivée de la fonction f{x) soit positive pour x compris entre a — A et a, et négative pour x compris entre a et a -f- A, A

étant un nombre positif convenablement choisi ; d'après la réciproque du théorème I, la fonction est croissante dans le premier intervalle et décroissante dans le second ; dès lors sa valeur pour x = a est supérieure aux valeurs voisines, et elle passe par un maximum pour x = a.

On verrait de même que f{x) passe par un minimum pour x = a si sa dérivée passe du négatif au positif lorsque x passe en croissant par cette valeur.

La démonstration précédente ne fait intervenir en aucune façon la valeur de la dérivée f'{x) pour x = a^ mais seulement son signe pour les valeurs de x voisines de a.

153. Étude de la variation d*ane fonction. — Étudier la variation d'une fonction, c'est partager l'intervalle total où cette fonction est définie en intervalles partiels dans lesquels elle est continue et croissante ou décroissante ; c'est indiquer dans ces intervalles le sens de la variation de la fonction ; c'est enfin déterminer ses valeurs remarquables, correspondant aux limites des intervalles trouvés, en particulier ses maxima et ses minima.

Pour faire l'étude de la variation d'une fonction, on commence par déterminer les intervalles dans lesquels elle est réelle ; on cherche ensuite les valeurs de la variable comprises dans ces intervalles pour lesquelles la fonction est discontinue.

Pour étudier le sens de la variation de la fonction, on forme sa dérivée, puis on détermine les valeurs de la variable qui annulent cette dérivée, ou bien la rendent infinie ou discontinue ; c'est seulement pour ces valeurs qu'elle peut changer de signe. On range alors par ordre de grandeur croissante les valeurs de la variable ainsi trouvées, en même temps que celles qui limitent les intervalles de réalité, et celles qui rendent la fonction discontinue. On a ainsi une suite d'intervalles partiels tels que dans chacun d'eux la fonction soit réelle et continue, et que sa dérivée ait un signe constant, par suite que la fonction varie toujours dans le même sens. On détermine alors dans chacun de ces intervalles le signe de la dérivée ; si elle est positive, la fonction est croissante ; si elle est négative^ la fonction est décroissante.

Lorsque la dérivée a le même signe dans deux intervalles successifs, la fonction varie dans le même sens dans les deux intervalles et ne passe ni par un maximum ni par un minimum pour la valeur de x