VARIATIONS DES FONCTIONS D UNE VARIABLE

qui les sépare; on peut ne pas tenir compte de cette valeur de la variable si la fonction y reste continue. Lorsque, au contraire, la dérivée change de signe quand x passe en croissant par la limite commune à ces intervalles, la fonction passe par un maximum ou un minimum pour cette valeur de la variable : un maximum si la dérivée passe du positif au négatif, un minimum dans le cas contraire.

Pour plus de facilité, on dresse un tableau à trois colonnes ; dans la première, on inscrit les valeurs remarquables trouvées pour x, rangées par ordre de grandeur croissante ; dans la seconde, on indique le signe de la dérivée pour chacun des intervalles limités par ces valeurs ; dans la troisième, on inscrit le sens de la variation de la fonction dans chaque intervalle, ainsi que les valeurs des maxima etdesminima; plus généralement on y indique les valeurs de la fonction pour les limites des intervalles conservés et, s'il y a lieu, pour d'autres valeurs remarquables de la variable. Nous allons appliquer ces considérations à quelques exemples :

154. Premier exemple. — Considérons le trinôme du second degré

y = ax* -f- 6x -h c ;

c'est une fonction réelle et continue pour toute valeur de x ; sa déri-

vée est

y' = 2ax -f- b ;

Fig. 54.

elle s'annule en changeant de

signe pour la valeur X| = — =-*»

nous considérerons donc les deux intervalles (— oo , x,), (xi , -h oo ). Si a est positif, la dérivée y' est négative dans le premier intervalle et la fonction est décroissante; dans le second, y* est positive et la fonction est croissante ; y passe alors par un minimum pour

^{ic — b^ x = xi, et la valeur de ce minimum est yi = — j ; la courbe

représentative de la variation de la fonction est une parabole, comme Pîpdique la figure 54.

VocT. — Math. sup. 15

Si a est négatif, les conclusions sont inverses ; dans le premier

intervalle, la dérivée y' est positive et la fonction est croissante; dans le second, y' est négative et la fonction est décroissante ; pour Xi , la fonction passe par un maximum dont la valeur 2^1 est donnée par la même expression que précédemment ; la courbe de variation est celle de la figure 55.

La tangente à la courbe au point (xi, yi) correspondant au maximum ou au minimum a, d'après le théorème du n^ 133, un coefficient angulaire nul et est parallèle à Ox.