PREMIÈRE PARTIE

CRAPITRE I tQTJATIONS LINÉAIRES A DEUX INCONNUES. — DÉTERMINANTS

1. Résolution de deux équations linéaires à deux inconnues. —

Considérons un système de deux équations du premier degré à deux inconnues x et y, écrites sous la forme générale

J ax-\-by = Cy { a'x-\-b'y = c' \

nous allons résoudre et discuter ce système.

Supposons, pour fixer les idées, que le coefficient a ne soit pas nul ; nous pouvons tirer la valeur de x de la première équation et la porter dans la seconde; nous formons ainsi un deuxième système <i'équations équivalent au premier :

a'î^lÈM + b'y = c'.

VoGT. — Math. sup.

2 covPLÉyE>TS d'algèbre

Dans ce système, la deuiiëme équation ne renferme que l'inconnue y ; en chassant le dénominateur a qui n'est pas nul, nous écrirons cette équation sous la forme

[?%] [aV — ba'.y = ac* — ca\

Différents cas peuvent se présenter :

1* Si ab' — ba' n*est pas nul, Téquation (3^ est satisfaite par une seule valeur de y égale à — — ^» et la première des équations (2)

fournit une seule valeur correspondante de x qui, tous calculs faits,

cb' fec'

est égale à — — j—,\ le système (1 j a donc une solution et une seule,

et cette solution est exprimée par les formules

, , r6' — bc ac' — r/i'

ab' — ba ^ ab' — ba

2* Si ab' — ba' est nul sans que ac' — ca' le soit, Téquation (3/ n*cst satisfaite par aucune valeur de y y et le système donné n*a aucune solution; on dit qu'il est impossible.

3* Si ab' — ba' et ac' — ca* sont tous les deux nuls, Téquation (3^ est satisfaite quelle que soit la valeur de y ; on en conclut que le système donné a une infinité de solutions ; on peut donner à y une valeur arbitraire, et la première des équations (2) fournit une valeur correspondante de X ; on dit que le système (t } est indéterminé.

Dans ce cas, les coefficients et les termes connus satisfont à la condition

abc

et cb' — bc' est aussi nul.

Lorsque les coefficients a, b, a', b' et les termes connus c et c* dépendent de certaines quantités appelées paramètres, auxquelles on peut donner difl'érentes valeurs, il peut arriver que des valeurs particulières attribuées à ces paramètres rendent nuls un ou plusieurs coefficients. Supposons que a, by a', 6' deviennent tous les quatre nuls ; on voit immédiatement que les équations données n'ont aucune solution quand c et c' ne sont pas tous les deux nuls, et en ont une infinité quand les termes connus sont nuls ; on peut dans ce dernier cas attri-

buer à X et à ^ des valeurs arbitraires. Dans Tun comme dans Tautre cas, aV — ia' est nul.

On peut réunir tous les résultats précédents et les énoncer sous la forme suivante :

Si aV — ba! n'est pas nul, le système (1) a une seule solution fournie par les formules (4); si ab' — ba' est nul, ce système est impossible ou indéterminé.

Si les termes constants c et c' sont nuls, on dit que les équations (I) sont homogènes. 11 résulte de ce qui précède que si ab' — ba' n'est pas nul, ces équations n'ont d'autre solution que x = 0, y = 0 ; si au contraire ab' — ba' est nul, elles ont une infinité de solutions. Dans ce dernier cas, si les quatre coefficients a, b, a', b' ne sont pas tous nuls, et si a, par exemple, est différent de zéro, on peut attribuer à y une valeur arbitraire, différente ou non de zéro. Dans le cas où a, b, a', b' sont tous nuls, on peut donner des valeurs arbitraires aux deux inconnues. On arrive ainsi à la conclusion suivante :

La condition nécessaire et suffisante pour que deux équations homogènes à deux inconnues aient une solution où les inconnues ne soient pas tontes les deux nulles est que ab' — ba' soit nul; les équations ont alors une infinité de solutions.

2. Détermioant du second degré. — La quantité ab' — ba' est appelée déterminant du second degré et on la représente par la notation

en disposant suivant un carré placé entre deux traits verticaux les quatre nombres a, b, a', b' que Ton appelle les éléments du déterminant.

Par définition, un déterminant du second degré est la différence des produits en croix de ses éléments, en commençant par celui qui est placé en baut et à gaucbe, comme l'indique Tégalité

= aV — ha'.

Les namérateurs des fonnules (4) sont aussi des déterminants qui

4 COMPLÉMENTS d'aLGÈBRE

peuvent être écrits sons la même Torme que le dénominateur; avec cette notation, les valeurs de x et de y sont données par les formules

On voit que ce sont des fractions ayant pour dénominateur commun le déterminant des coefficients des inconnues ; les numérateurs sont des déterminants déduits de celui-là en y remplaçant, pour chaque inconnue, les coefficients de cette inconnue par les termes connus correspondants.

Exemple. — Soit à résoudre le système

Le déterminant des coefficients des inconnues est 3 -2

il n'est pas nul, et le système a une solution ; les numérateurs des valeurs de x et de y sont respectivement

de sorte que Ton a

3. llésolution de trois équations linéaires à trois inconnues. —

Considérons un système de trois équations du premier degré à trois inconnues x, y, z, écrites sous la forme générale

( ax -hby -h es =rf,

^ a'x~hb'y-hc'z=d\

Supposons que aV — ba' ne soit pas nul ; nous pouvons tirer des deui premières équations, après avoir fait passer les termes en z au second membre, les valeurs de x et y ; elles sont, d'après les formules (4),

,-. (c/ — cg)fc^ — fe(rf^ — c^z) a[d' — c'z)-'[d-^cz)a'

^^ *"" ah'-^ba' ' y^' aV — ba'

En portant ces valeurs dans la troisième équation, nous obtenons une équation qui ne renferme que Finconnue z ; en chassant le dénominateur, nous récrirons sous la forme

(8) [a\bd — cb') -h b^ca' — ad) -h c^aV — ba')]z

= [a\bd' — db') -f- b\da' — ad') + d\ab' — 6a')] .

Le système des équations (7) et (8) est équivalent au système donné ; nous n'examinerons pour le moment que le cas où le coefficient de z dans Téquation (8) n'est pas nul ; cette équation donne alors pour z une seule valeur, et il lui coiTCspond un seul système de valeurs de x et de j/ ; le système donné a donc une seule solution.

4. Déterminant du troisième degré. — Le coefficient de z est appelé déterminant du troisième degré, et on le représente par la notation

abc

ce déterminant possède neuf éléments disposés en carré dans trois lignes et dans trois colonnes entre deux traits verticaux ; on appelle première ligne celle du haut et première colonne celle de gauche. Par définition, le déterminant est la somme algébrique

ab'c' -h bda' -h ca'b' — cb'a" — adb' — ba'c%

composée de six produits ou termes dont trois sont additifs et trois soustractifs. Pour les former facilement, on opère de la façon suivante : on écrit à la suite des colonnes du déterminant deux autres colonnes qui sont la répétition de la première et de la seconde, et Ton forme le

6 COMPLÉMENTS d' ALGÈBRE

On considère la diagonale issue du premier élément en haut et à gauche a et contenant a, V et c' ainsi que les deux lignes parailèles à cette diagonale issues de h et c, puis on forme les produits

aVc", bc'a% ca'b'

des éléments situés dans ces lignes ; on considère de même la diagonale du déterminant dirigée dans Fautre sens et issue de c, ainsi que les lignes parallèles à cette diagonale issues des éléments suivants •a et b, puis on forme les produits

cb'a% ac'b% ba'c"

<]es éléments situés dans ces lignes ; le déterminant est la somme des trois premiers produits pris avec le signe + et des trois derniers pris avec le signe — .

La valeur de z tirée de Téquation (8) s'exprime sous la forme <]'une fraction dont le dénominateur est le déterminant dont on vient de parler et dont le numérateur est un autre déterminant que Ton déduit <le celui-là en y remplaçant les coefficients de z parles termes connus correspondants. En calculant les valeurs de a; et de i/ que fournissent «nsuite les équations (7), on peut constater qu'elles s'expriment par -des fractions ayant même mode de formation et même dénominateur que pour z ; on retrouvera plus tard ce résultat, et on le complétera par Texamen des différents cas qui peuvent exister.

Les déterminants se présentent ainsi, au début de l'algèbre, lorsque l'on veut écrire et calculer d'une manière commode la solution d'un système d'équations linéaires. Nous allons exposer d'une manière générale la théorie et le mode de calcul des déterminants ; nous les appliquerons ensuite à la résolution des équations du premier degré ; nous commencerons par donner quelques explications sur les permutations.

5. Permutations. — On appelle permutation de plusieurs objets distincts tout groupe que l'on peut former en disposant ces objets sur une ligne l'un à la suite de l'autre ; les différentes permutations de ces

mêmes objets diffèrent les unes des autres par Tordre dans lequel ils sont placés.

\vec deux objets, représentés par les lettres a et b, on peut former deux permutations ab, ba ; avec trois objets, représentés par les lettres a, b, Cy on peut Tormer six permutations :

abcy acby bac y bcay cab, cba.

Nous allons montrer qu'en général avec n objets distincts on peut former des permutations dont le nombre est égal au produit des n premiers nombres entiers. Imaginons en effet n cases disposées sur une ligne ; nous pouvons d'abord placer le premier objet de n façons différentes, suivant qu'il occupe la première, la deuxième, . . . , la n^ case ; nous pouvons ensuite lui adjoindre le 2^ objet chaque fois de n — i façons différentes, car il reste n — i cases libres pour y placer le 2* objet; cela fait déjà n{n — 1) manières de disposer les deux premiers objets. 11 reste alors chaque fois n — 2 cases vides, et Ton peut de n — 2 façons y placer le 3* objet, ce qui fait n{n — \){n — 2) groupements possibles des trois premiers objets ; nous pouvons continuer de cette façon jusqu'à ce que les n — i premiers objets aient été placés de toutes les manières possibles, le nombre de ces manières étant n{n — i) (n — 2) ... 2 ; il ne reste plus alors chaque fois qu'une seule case vide pour y placer le dernier objet, et lorsqu'il y est placé, toutes les permutations des n objets se trouvent constituées.

Le nombre de ces permutations se trouve ainsi égal au produit des nombres entiers i, 2, 3, . . ., n; ce produit est présenté par le symbole n ! que l'on énonce faclorielle n, ce que l'on indique par l'égalité

6. Inversions. — Supposons que les objets soient distingués ies uns des autres de telle façon que l'on puisse leur assigner un ordre naturel ; par exemple, ils sont représentés par les lettres successives de Talphabet a,b,Cy . . ., ou bien par une même lettre affectée d'indices successifs ai, Of, a^, .... Supposons de plus que les cases où ils doivent être placés soient disposées sur une ligne horizontale et numérotées en allant de gauche à droite. On dit que dans une permutation deux objets, consécutifs ou non, présentent une inversion si l'ordre dans

lequel ils sont disposés est inverse de leur ordre naturel ; il est utile de connaître le nombre des inversions que présentent les objets d'une permutation envisagés deux à deux de toutes les manières possibles ; par exemple, dans la permutation de quatre objets représentés par bdac ou par a^aiGiat^ il y a trois inversions qui sont ba, da, de, ou 21^ 41,43.

On range en deux classes toutes les permutations possibles d un nombre déterminé d'objets donnés ; la première classe comprend celles qui renferment un nombre pair d'inversions, et la deuxième classe celles qui en renferment un nombre impair. Par exemple pour trois objets a, h, c, la première classe comprend les permutations abc, bac, cab qui renferment zéro ou deux inversions, et la deuxième classe les permutations acb, bac, cba, qui renferment une ou trois inversions. On peut vérifier en général que les permutations de plusieurs objets donnés sont aussi nombreuses dans une classe que dans Tautre.

Théorème. — Une permutation change de classe quand on y échange deux éléments.

Soit la permutation a^ai^Oia^ qui présente trois inversions ; supposons qu'on y échange d'abord deux éléments consécutifs tels que a^ et ai et qu'on forme la permutation a^aïa^aa; en comparant les deux permutations, on voit que les inversions formées par a^ et ai avec les cléments qui les précèdent tous deux, et avec ceux qui les suivent tous deux sont les mêmes dans les deux cas; seuls ai et a^ foiment une inversion dans l'une des permutations et non dans l'autre ; il y a donc une inversion de plus dans l'une que dans l'autre, et elles sont de classes différentes, ce qui démontre la proposition.

Supposons maintenant qu'on fasse l'échange de deux éléments quelconques tels que a^, a^] on peut y parvenir en échangeant a^ successivement avec ai eta^; ce qui conduit à la permutation asa3a4ai: puis en échangeant a^ avec ai ce qui conduit à la permutation aia3aia4 ; le nombre total des échanges ainsi effectués est trois. D'une manière générale, il est égal à 2/> + i, si/> est le nombre des objets intermédiaires entre ceux que l'on veut substituer lun à l'autre ; comme il y a de ce fait un nombre impair de changements de classes, la permutation finale est d'une classe différente de la première, ce qu'il fallait démontrer.

7. Détlnitlon générale d'uo déterminant. — Soient n} nombres quelconques, désignés aussi sous le nom d'éléments, disposés en carré suivant n lignes et n colonnes entre deux traits verticaux ; on appelle déterminant de ces éléments le résultat du calcul effectué sur eux d'après la règle suivante :

On prend d'une manière arbitraire n des éléments de façon cependant qu'il y en ait un seul tiré de chaque ligne et de chaque colonne, on en forme le produit, et on multiple ce produit par +1 ou — 1 suivant que la permutation des numéros des lignes et celle des numéros des colonnes d'où sont tirés les éléments sont de même classe ou de classes différentes ; un produit ainsi fonné s'appelle un terme et la somme algébrique de tous les termes que l'on peut obtenir ainsi s'appelle le déterminant des n^ éléments ; ce déterminant est dit du n"" degré.

Remarquons immédiatement que Tordre dans lequel sont écrits les éléments qui entrent dans un terme n'influe pas sur le signe du coefficient -i- 1 ou — 1 qui entre dans ce terme ; supposons en effet que Ton ait écrit ces éléments dans un certain ordre, puis que Ton échange deux d'entre eux ; on produit alors dans la permutation des numéros des lignes l'échange de ceux qui sont relatifs aux deux éléments considérés, et il en est de même dans la permutation des numéros des colonnes. D'après le théorème du n<» précédent, ces permutations changent Tune et l'autre de classe ; si donc elles étaient de même classe, elles restent encore de même classe ; si elles étaient de classes différentes, elles restent de classes différentes ; par suite le signe du terme n*est pas modifié.

D*une manière générale, si l'on représente respectivement par t et c les nombres des inversions présentées parles numéros des lignes et par ceux des colonnes des éléments d'un terme, le coefficient ii= f dont est affecté ce terme peut être représenté par ( — 1)'"*"*; cette expression est en efïct égale à -f- 1 ou à — 1 suivant que / et c sont ou ne sont pas de même parité, c'est-à-dire suivant que les permutations des numéros des lignes et des colonnes sont ou ne sont pas de même classe.

Il résulte de ce qui précède que l'on peut ranger les éléments dans chaque terme suivant l'ordre des numéros croissants pour les lignes ou bien pour les colonnes ; par exemple le déterminant du 3* degré

10 COMPLÉMENTS d'aLGÈBRE

formé d'après la règle précédente, en écrivant les éléments dans chaque terme suivant Tordre naturel des lignes, est égal à

aVc' H- bda' -+- ca!V — cb'a" — ac'b' — ba'c' ;

il est bien identique à celui qui a été défini au n^ 4.

Le terme le plus simple tf un déterminant est formé par les éléments de la diagonale issue du coin en haut et à gauche ; les numéros des lignes et des colonnes se suivent alors dans Tordre naturel, et le terme est afTecté du coefficient -h 1 . Ce terme est appelé terme principal et la diagonale correspondante est appelée diagonale principale ; Tautre dia- .gonale est appelée la seconde diagonale.

En supposant que, dans chaque terme, les éléments sont écrits dans. Tordre naturel des lignes, on voit que les différents termes diffèrent Tun de Tautre par Tordre dans lequel sont disposés les numéros des colonnes des éléments ; le nombre de manières dont on peut disposer ces numéros est égal au nombre de leurs permutations. 11 en résulte que le nombre des termes d'un déterminant du n* degré, dont les éléments sont laissés indéterminés, est égal au nombre des permutations de n objets, ou à n /.

8. Calcul pratique d*un déterminant. — La méthode de calcul d*un déterminant en partant de sa définition est peu pratique; on cherche ordinairement à ramener le calcul d'un déterminant du n" degré à celui de plusieurs déterminants du {n — 1)* degré; chacun de ceux-ci à des déterminants du {n — 2)' degré ; et ainsi de suite jusqu'à des déterminants du 2« ou du 3" degré dont on a vu le calcul aux n*** 2 et 4.

Pour arriver à ce résultat, nous raisonnerons sur un déterminant dont les éléments sont représentés par des symboles distincts ; remarquons d'abord qu'un terme quelconque du déterminant renferme un élément et un seul d'une ligne ou d'une colonne données; dès lors les termes renfermant un élément donné a le contiennent au premier degré, et le coefficient A de a dans la somme de ces termes ne contient aucun des éléments de la ligne ni de la colonne qui renferment a. Le calcul de A résulte du théorème suivant:

Théorème. — Le coefficient A de Vêlement a d^un déterminant

dans la somme des termes qui renferment cet élément est égal à un

autre déterminant obtenu en supprimant dans le déterminant donné

la ligne et la colonne qui se croisent sur a, le nouveau déterminant

étant multiplié par + 1 ou — i suivant que la somme des numéros de

fa ligne et de la colonne qui se croisent sur a est paire ou impaire.

Pour fixer les idées, nous raisonnerons sur un déterminant D du

4** degré dont nous représenterons les éléments par une même lettre a

affectée de deux indices, le premier indiquant le numéro de la ligne et

le deuxième le numéro delà colonne, de sorte que nous écrirons

flu Oit «13 «It

a%i a%i a^z a^ ezji a« crjs o%^

considérons les termes qui renferment un élément tel que a^^ et écrivonsles en plaçant cet élément au premier rang ; ces termes seront de la forme

où a^Y est une permutation des numéros de lignes i, 3, 4 et Xjav une permutation des numéros de colonnes 1, 2, 4; de plus / et c sont les nombres respectifs d*in versions des permutations 2(x^y et 3Xuv. En mettant a^s en facteur dans ces termes, le coefficient A23 de a^t pourra être représenté par

Aij = 2 (— i)'*'aava?^aT> ,

le signe Z indiquant que Ton fait la somme de tous les termes analogues à celui qui est écrit.

Considérons maintenant le déterminant

Ou Oi, a,v «81 «sa «Si

déduit de D par suppression de la 2' ligne et de la S*" colonne ; il est une somme de termes de la forme ( — 1 )'*"*" **««v«?,*«îl* où ap^ est une

permutation des nombres 1, 3, 4, et X{av une permutation des nombres 1^ 2, 4; de plus /' et c' sont les nombres respectifs d'inversions des permutations aPf et X|xv ; nous écrirons comme précédemment

(iO) D« = 2(— iy'*^'a.i.ap,.ap.

Les sommes (9) et (10) sont composées des mêmes termes au signe près ; considérons ceux qui correspondent aux mêmes systèmes de valeurs des indices. Le nombre / des inversions de 2aPY est égal au nombre /' des inversions de a^v augmenté du nombre des inversions de 2 avec les nombres qui le suivent dans la permutation ; ce ne peut être qu'avec 1, inférieur à 2, et Ton a /=/' + !. De la même manière, le nombre c des inversions de 3X{av est égal au nombre d des inversions de A{jLv, augmenté du nombre des inversions de 3 avec les nombres qui le suivent; ce ne peut être qu'avec 1 et 2 inférieurs à 3, et l'on a c = c'-|-2. De là résulte que Ton a

(— iy--* = (iy"^«'-^» = — (— 1)''-^*',

et comme cela a lieu pour tous les termes correspondants de (9) et (11]^ on a Ajs = — D23.

Si au lieu de l'élément flr23 nous avions choisi un élément quelconque a*^, nous aurions trouvé /=/'-h5 — 1 et c = c' -hp — 1,. par conséquent nous aurions eu

et

A*, = (-i)«+eD*,.

Comme ( — l)*-^e est égal à -f-l ou à — 1 suivant que la somme 0 -hp des numéros de la ligne et de la colonne qui renferment a^^ est paire ou impaire, le théorème est démontré.

Nous pouvons déduire de là un procédé de calcul d'un déterminant en mettant en évidence les éléments d'une ligne ou d'une colonne particulières ; nous considérerons par exemple les éléments de la deuxième ligne du déterminant précédent D. Gomme chaque terme renferme un élément et un seul de cette ligne, nous pouvons grouper ensemble les termes renfermant le même élément et mettre D sous la forme

{ H ) D = flai A21 -+- Qn^in -f- Qi^P^n H- (li\^%v •

Chacune des parties de cette somme n a aucun terme commun avec Tune des autres; la première partie a2iA2i renferme par suite tous les termes de D qui contiennent ^21, la deuxième partie tous les termes qui contiennent ^23, etc. Nous en concluons que les coerficients A21, A>3, A33, Ajv sont fournis par Tapplication du théorème démontré précédemment.

Lorsqu'on écrit un déterminant sous une forme telle que (11), on àiiqu'on le développe suivant les éléments d'une ligne ou d'une colonne ; les coefficients A^i, A», ... sont appelés mineurs du premier ordre du déterminant donné. Gomme ces mineurs sont égaux, au facteur d=l près, à des déterminants de degré inférieur d'une unité à celui du déterminant primitif, on peut les développer à leur tour suivant les éléments d'une ligne ou d'une colonne ; les coefficients seront appelés les mineurs du second ordre du premier déterminant, et ainsi de suite.

Exemple. — Soit à calculer le déterminant

si on le développe suivant les éléments de la première colonne, on a

Si Ton développe de même les deux déterminants du troisième degré suivant les éléments de la dernière colonne, on a

9. Propriétés d'un déterminant. — Nous allons démontrer les propriétés élémentaires suivantes des déterminants :

COMPLÉMENTS d'aLGÈDRE

Théorème I. — Un déterminant ne change pas quand on change les lignes en colonnes.

Soient les déterminants

dont les lignes de Tun renferment les éléments des colonnes de l'autre , dans le même ordre ; le terme du premier dont les éléments sont dans les lignes de numéros a, p, y et dans les colonnes de numéros X, p., v, et le terme du second dont les éléments sont dans les lignes de numéros >., ;x, V et dans les colonnes de numéros a, p, y sont constitués au moyen des mêmes éléments, et ils sont affectés du même coefficient + 1 si les permutations a^y et Xjxv sont de même classe ou — 1 si elles sont de classes différentes. On voit que D et D' sont composés des mêmes termes, et sont par conséquent égaux.

Théorème II. — Un déterminant change de signe quand on y échange deux lignes ou deux colonnes.

Soit D un déterminant du 4^ degré, et D' celui qu'on obtient en échangeant par exemple la première et la troisième ligne. Au terme de D dont les éléments sont dans les lignes de numéros 1, 2, 3, 4 et dans les colonnes de numéros a, p, y, $, faisons correspondre le terme de D' dont les éléments sont dans les lignes de numéros 3, 2, i, 4 et dans les colonnes de numéros «, p, Yi ^ î ^^^ termes sont constitués par les mêmes éléments, mais ils sont affectés de coefficients + i ou — i différents, car les permutations des numéros de lignes 1234 et 3214 sont de classes différentes (n<> 6) tandis que celles des numéros de colonnes a^^yS sont les mêmes ; ces termes sont donc égaux et de signes contraires, ou, comme on dit, symétriques.

D et D' étant formés de termes respectivement symétriques sont eux-mêmes des nombres symétriques.

Théorème III. — Un déterminant qui a deux lignes on deux colonnes identiques est nul.

En effet il n'est pas altéré à priori si Ton échange les deux lignes

OU les deux colonnes identiques ; mais d'autre part, d'après le théorème II, il doit changer de signe; le déterminant, devant être un nombre égal à son symétrique, ne peut diilérer de zéro et il est nul.

Théorèaie IV. — Si l'on multiplie ou si i^ on divise tous les éléments d'une même ligne ou d'une même colonne d'un déterminant par un même nombre, ce déterminant est multiplié ou divisé par ce nombre.

Nous allons montrer que Ton a par exemple

ma

ma'

ma'

en effet le développement du premier membre suivant les éléments de la première colonne est

maib'c" — cV) — ma'ibc" — cb") h- ma\bc' — cb') ;

il est bien égal au produit de m par le déterminant qui entre au second membre.

Théorème V. — Si Von décompose en deux parties les éléments d'une ligne ou d'une colonne d'un déterminant, on peut le remplacer par la somme de deux autres déterminants.

Nous allons montrer que Ton a par exemple.

fll

a'-ha\

il suffit en effet de comparer les développements des déterminants entrant dans les deux membres, effectués suivant les éléments de la première colonne, pour vérifier cette égalité.

Théorème VI. — 5/ Fon ajoute aux éléments d'une ligne ou d'une colonne d'un déterminant les éléments correspondants d'une ligne ou d'une colonne parallèle, après les avoir multipliés par un même facteur,, on forme an déterminant égal au premier.

Nous allons montrer que Ton a par exemple

a -hmb

a' -+■ mb'

a' + mb'

Le premier membre peut en effet se mettre sous la forme d*une somme de deux déterminants dont Tun est le déterminant du second membre, et dont Tautre est

mb b c

mb' b' c'

mb' 6" c"

d'après le théorème IV, celui-ci est le produit par m d'un déterminant dont les premières colonnes sont identiques et il est nul (Th. III).

Ces propriétés permettent de simplifier le calcul d'un déterminant. Soit à calculer par exemple le déterminant

retranchons des éléments de la seconde ligne ceux de la première multipliés par 2, et des éléments de la dernière ceux de la première multipliés par 3 ; nous obtenons un déterminant égal au premier, et égal à

en développant ce dernier suivant les éléments de la première colonne, il ne reste qu'un seul produit, celui de 1 par le mineur

dont la valeur est 6 — 4 = 2; le déterminant donné est égal à 2.