CHAPITRE II

10. Résolution de trois équations linéaires à trots inconnues lorsque le déterminant des coefficients des Inconnues n*est pas nul. — Considérons un système de trois équations du premier degré à trois

inconnues x, y, z,

écrites sous la forme générale

ax -hby 4- ez = rf ,

a'x -h Vy -h c'z = d".

Nous nous proposons de discuter et de résoudre ce système en appliquant la théorie des déterminants ; nous désignerons par D le déterminant des coefficients des inconnues,

et nous nous placerons d'abord dans le cas où il n est pas nul. Nous allons remplacer le système (i) par un autre dont chaque équation renferme une seule inconnue.

Développons le déterminant D suivant les éléments de la première colonne (n® 8) ; nous avons une égalité de la forme

D = oA -4- a'A' -h a'A',

A, A', A' désignant les mineurs de D par rapport à a, a\ a' ; multi- VocT. — Math. sup. 2

plions les deux membres des équations (1) respectivement par A, A', A", et ajoutons membre à membre.

Lecoeffîcientde x dans le résultat est identique à D; le coeffieient de y est égal à bk-^b'h! -^b'k'\ c'est le résultat que Von obtient en remplaçant dans D les éléments a, a', a' par b, b'y b\ et il est nul, car c'est le développement d'un déterminant ayant deux colonnes identiques ; le coefficient de z est égal à cA -h c'A' -h c'A" ; c'est le résultat que l'on obtient en remplaçant de même dans D les éléments a, a', a' par c, c\ c" et il est également nul ; nous obtenons de cette façon l'équation

(2) Dx = rfA-Hd'A'^-d''A^

Opérons de même en développant D suivant les éléments de la seconde colonne ; multiplions les deux membres des équations respectivement parles mineurs B, B', B'' de D relatifs à b,b',b\ et lyoutons membre à membre ; l'équation résultante ne contiendra que y et sera

(3) Dy = (/BH-d'B'H-cfB\

Développons en dernier lieu D suivant les éléments de la troisième colonne, et désignons par C, C, G" les mineurs relatifs à c, dy c'; en opérant comme précédemment, nous aurons une équation qui ne contiendra plus que z et sera

(4) Dz==(/C-hc/'C' + c/'C\

Nous déduisons ainsi du système (1) un nouveau système, composé des équations (2), (3), (4) ; nous sommes certains que toute solution du premier satisfait au second ; nous allons montrer inversement que toute solution du second satisfait au premier.

Multiplions en effet les équations (2), (3), (4) respectivement par a^ b, c et ajoutons membre à membre ; nous obtenons une équation dont le premier membre est égal à D{ax -{- by -h cz). Au second membre, le coefficient de d est aA -h 6B -+- cC, et il est égal au déterminant D, car il constitue le développement de ce déterminant suivant les éléments de la première ligne ; les coefficients de d' et de d' sont respectivement a A' -h 6B' -h cC et aA'H-ftB'-f-cC; ils sont nuls comme développements de déterminants ayant deux lignes i dentiques ; il reste donc

D{ax -\-by-h cz) = rfD ;

ÉQUATIONS UHÉAIRE8

comme D n'est pas nul, on peut diviser les deux membres par D, ce qui fournit la première équation du système (1). On déduirait de même de (2), (3) et (4) les deux autres équations de ce système (1) ; celui-ci, «t le système (2), (3) et (4) sont donc équivalents.

Le deuxième système a une seule solution dont la valeur est immédiate ; on en conclut que le système proposé a une solution et une seule ayant précisément cette valeur. Remarquons que les seconds membres des équations (2), (3), (4) sont les développements suivant <J, d', d' des trois déterminants

«o introduisant ces déterminants, nous pouvons exprimer la solution unique du système proposé par les formules

C*est le résultat que nous avons annoncé au n® 4. Exemple. — Soit à résoudre le système d'équations X-+- y — z = 0, 2x— y-h3z = 9, — 3y-f- « = — 3.

Les détenninants D, Di, D2, D3 ont respectivement pour valeur

il y a par suite une seule solution, x •■

il. Cas où. le déterminant des coefficients des Inconnues est nul.

— Supposons d'abord que tous les mineurs du déterminant D ne soient pas nuls, et que le déterminant

par exemple, soit différent de zéro. Considérons les trois équations

ax -hby -I-C5

rf.

ax -hby -f- cz

nous allons montrer qu elles forment un système équivalent au système (i); si nous développons en effet les deux déterminants entrant dans l'équation (8) respectivement suivant les éléments de la dernière colonne, nous pouvons remplacer cette équation (8) parla suivante

(9) (ax -{-by-hcz)C-h (a'x -f- b'y -f- c'z) G -f- [a'x -4- b'y H- c'z) C

C, C, C désignant comme précédemment les mineurs de D relatifs à c', c', (f.

Toute solution du système (i) satisfait naturellement aux équations (G), (7) et (8) ou (0) : réciproquement toute solution de ce dernier système rend ax-hby-hcz et a'x -{-b'y -h c'z égaux à d et d' ; par conséquent, d'après (9), elle rend [a'x-hb^y -{-c''z)C!' égal à dC\ et comme C n'est pas nul, elle satisfait à la 3^ équation (1) ; les deux systèmes sont donc bien équivalents.

Cela posé, nous allons voir que le déterminant qui constitue le premier membre de l'équation (8) est identiquement nul; nous pouvons en effet, d'après le théorème V du n^ 9, le décomposer en une somme de trois autres déterminants: l"" un déterminant ayant pour éléments de la dernière colonne ax, a'x, a'x ; après division de ces éléments par Xj il a deux colonnes identiques et est nul ; 2^ un déterminant ayant pour éléments de la dernière colonne 6y, b'y, b'y ; il est nul pour la même raison ; 3'' un déterminant ayant pour éléments de la dernière colonne czydz, c's ; il est égal au produit par z du déter-

ÉQUATIONS UNÉAIRES 21

minant D et il est nul. Quant au second membre de Téquation (8), il est appelé déterminant caractéristique relatif au mineur non nul C, et il est égal à Di; Téquation (8) se réduit donc à

(10) 0xH-0yH-02 = D,.

Deux cas peuvent se présenter:

i® Si D3 n'est pas nul, il n'existe aucun système de valeurs de Xyy, z satisfaisant à Téquation (iO); le système (6), (7), (8), n'a aucune solution, et il en est de même du système (1); on dit que ce système est impossible ;

2** Si D3 est nul, Téquation (10) est identiquement satisfaite ; le système (6), (7), (8) se réduit à deux équations (6) et (7) ; on peut y donner à s une valeur arbitraire, et on en déduit des valeurs correspondantes pour X et y, car le déterminant aV — ha' des coefficients de ces deux inconnues n'est pas nul. Le système (1), qui est équivalent au système (6), (7), (8) a donc une infinité de solutions ; on dit qu'il est indéterminé. L'indétermination est caractérisée par ce fait qu'on peut donner à z une valeur arbitraire.

Supposons maintenant que tous les mineurs du déterminant D soient nuls, mais que les coefficients des inconnues ne le soient pas tous, par exemple que a soit différent de zéro. Considérons les trois équations

flj? H- fcy H- C2 =: c/,

by -

b'ya ax + hy -\-cz a" a^x H- Vy

ax-

comme dans le cas précédent, nous allons montrer qu'elles forment un système équivalent au système (1). L'équation (12) par exemple s'écrit

a(a'x -+- b'y 4- c'z) — a'[ax + 6y 4- cz) = ad' — a'd ;

en tenant compte de Téquation (11), elle conduit à

a[a'x H- b'y H- c'z) = ad',

et comme a n'est pas nul, elle conduit à la deuxième équation du sys-

COMPLÉMENTS d'alGÈBRE

time(i); de la même manière Téquation (13) conduit à la troisième équation de ce système ; les deux systèmes sont donc équivalents.

Les premiers membres des équations (12) et (13) sont identiquement nuls ; celui de 1 équation (12) par exemple peut être décomposé en une somme de trois déterminants, et est égal à

le coefficient de x est nul comme ayant deux colonnes identiques, ceux de y et de :: le sont comme mineurs de D dont nous avons supposé tous les mineurs nuls; le même raisonnement s'applique à Téquation (13); le système des équations (11), (12), (13) qui est équivalent au système (1) comme nous Tavons dit, se réduit donc au système

ax-hby -{-cz= dy

Ox-hOy-\-Oz =

/ Ox-\-Oy-hOz =

deux déterminants

s'appellent déterminants caractéristiques relatifs à Félément non nul a ; s'ils ne sont pas nuls tous les deux, le système (14) n'a aucune solution, et il en est de même du système (1); celui-ci est impossible. Si les déterminants caractéristiques sont tous les deux nuls, le système (14) se réduit à une seule équation, les deux autres étant identiquement satisfaites ; on peut donner h y eik z des valeurs arbitraires, et on en déduit une valeur correspondante pour x, puisque a n'est pas nul. Le système (1) a donc dans ce cas une infinité de solutions, et il est indéterminé ; l'indétermination est caractérisée par ce fait qu'on peut donner k y et k z des valeurs arbitraires.

Supposons enfin que les coefficients des inconnues dépendent de certains paramètres, et qu'ils deviennent tous nuls pour des valeurs particulières attribuées à ces paramètres ; si les termes connus d, d'y d" ne sont pas tous les trois nuls, le système (1) n'a aucune solution et est

impossible; si d, d'y d" sont tous les trois nuls, le système (1) a une infinité de solutions et est indéterminé ; on peut donner à Xyy,z des valeurs arbitraires.

12. Équations homogènes à trois inconnues. — Lorsque les termes connus d, d', d" sont tous les trois nuls, les équations (1) sont homogènes et s'écrivent

!ax -hby -hcz = 0, a'x -H b'y H- c'a = 0, a'x-hVy-^-<fz = 0.

Si le déterminant D des coefficients des inconnues n'est pas nuU ces équations ont une seule solution; comme Dj, Dg, Dj sont nuls, cette solution unique est a: = 0, y = 0, z = 0.

Si D est nul sans que tous les mineurs le soient, et si Ton suppose par exemple que C soit différent de zéro, le déterminant caractéristique correspondant D3 est nul, et le système (15) est indéterminé. Il se réduit aux deux premières équations, et Ton peut donner à z une valeur arbitraire ; les valeurs qu'on en déduit pour a; et y donnent lieu à la proportion

bd — cb' "~ ca' — ad "^ ab' — ba' '

les inconnues sont donc proportionnelles aux mineurs qui forment les dénominateurs des fractions précédentes.

Si tous les mineurs de D sont nuls, sans que tous les éléments le soient, et si a, par exemple, est différent de zéro, les déterminants caractéristiques correspondants sont nuls, et le système (15) est indéterminé; il se réduit à la première équation, et Ton peut donner à y et à z des valeurs arbitraires.

Si enfin pour certaines valeurs des paramètres tous les coefficients sont nuls, le système (15) est encore indéterminé, et Ton peut attribuer à x,y,z des valeurs arbitraires.

De ce qui précède résulte le théorème suivant:

La condition nécessaire et suffisante pour que trois équations linéaires et homogènes à trois inconnues aient une solution ou toutes les inconnues ne sont pas nulles est que le déterminant des coefficients des inconnues soit nul; dans ce cas, les équations ont une infinité de solutions.

COMPLÉMENTS d'aLGÈBRE

13. Élimination de deux inconnues entre trois équations linéaires.

— Eliminer une ou plusieurs inconnues entre des équations dont le nombre est supérieur à celui des inconnues, c'est former les conditions que doivent remplir les coefficients de ces équations pour qu'elles admettent au moins une solution commune ou, comme on dit, pour qu'elles soient compatibles.

Supposons que nous voulions éliminer les deux inconnues x et y entre trois équations linéaires écrites sous la forme

{ ax -\-by = c^

(16) ) a'x + fe'y = c',

( a^x-^-Vy^c".

Considérons les déterminants du second degré

C = a'V — b'a\ C = a'b — b'a, C = ab' — ba'

formés par les coefficients des inconnues dans les équations prises deux à deux, et supposons d'abord qu'ils ne soient pas tous nuls, par exemple que G" soit différent de zéro ; les deux premières équations (16) ont alors une solution, et il suffît de chercher la condition pour qu'elle satisfasse à la troisième.

Nous pouvons remplacer le système (16) par un autre système formé par les deux premières des équations données et par l'équation

a b ax-i- by

(17) a' b' a'x-hb'y a" b" al'x-^-Vy

par un raisonnement analogue à celui que nous avons fait au n*^ 11, nous pouvons voir : 1* que le nouveau système est équivalent au premier, et 2'' que le premier membre de Téquation (17) est identiquement nul; «i donc nous appelons D le déterminant qui forme le second membre de cette équation, celle-ci se réduit à

D est le déterminant caractéristique relatif à C.

Si D n'est pas nul, Téquation (17) est impossible, et les équations (16) sont incompatibles.

Si D est nul, l'équation (17) est identiquement satisfaite, et le

«ystème (16) se réduit aux deux premières de ses équations; la solution unique de ces deux équations satisfait à la troisième, et les trois équations (16) sont compatibles.

Supposons maintenant que C, G', C soient tous les trois nuls, «t que les coefficients des inconnues dans les équations (16) ne soient pas tous nuls, par exemple que a soit différent de zéro. Nous pouvons remplacer le système (16) par un autre formé par la première de ses équations et par les deux suivantes

ax-hby

ax-h by

par un raisonnement analogue à celui que nous avons déjà fait, le nouveau système est équivalent au premier, elles deux dernières équations se réduisent à

Ox -h Oy = ac' — ca' ,

Ox-{-Oy = ac" — ca" .

Si les seconds membres, qui sont les déterminants caractéristiques relatifs à a, ne sont pas tous les deux nuls, les équations (18) et par suiXe les équations données sont incompatibles; si au contraire les déterminants caractéristiques sont nuls, les équations sont compatibles, et Ton peut donner à y une valeur arbitraire ; cette valeur et celle qu*on en déduit pour x de la première des équations (16) satisfont aux •deux autres.

Dans le cas particulier où les coefficients de x et de y sont tous nuls dans les équations (16), celles-ci sont incompatibles si c, c', c' ne sont pas tous nuls, et sont compatibles si c, c', c" sont tous nuls ; x et y sont alors arbitraires.

Remarquons que, dans tous les cas où les équations données sont compatibles, le déterminant caractéristique D est sûrement nul ; nous pouvons donc énoncer le théorème suivant :

La condition nécessaire pour que trois équations linéaires à deux inconnues soient compatibles est que le déterminant formé par les <oefficients des inconnues dans ces équations et par les termes connus

26 COMPLÉMENTS d'aLGÈBRE

soit égal à zéro; cette condition n^est pas toujours suffisante; elle test toutefois lorsque deux des équations données ont une solution unique.