CHAPITRE III DÉRIVÉES DES FONCTIONS DE PLUSIEURS YARIARLES

157. I>6rivée8 partielles. — Soit ({x^y) une fonction de deux variables indépendantes ; on dit qu'elle est continue pour un système de valeurs (x, y) si Taccroissement de la fonction correspondant à des accroissements h ti k des variables, c*est-à-dire la différence

fyx^h,y-^k)—f[x,y)

tend vers zéro lorsque A et A tendent simultanément vers zéro d'une manière quelconque.

On appelle dérivée partielle de /(x, y) par rapport à x la dérivée de cette fonction, où x est regardé comme seule variable et y comme constant ; c'est la limite du rapport

lorsque h tend vers zéro ; on la désigne par ^«(x, y).

On appelle de même dérivée partielle de /(x, y) par rapport à y la dérivée de la fonction où y seul est regardé comme variable, et x comme constant ; c'est la limite du rapport

lorsque k tend vers zéro ; on la désigne par fj[x , y).

Les dérivées du premier ordre sont des fonctions de x, y ayant en général elles-mêmes des dérivées partielles qu'on appelle dérivées partielles du second ordre de /(x, y) ; celles que Ton obtient en dé-

rivant /« par rapport à a; ou par rapport à y sont désignées respectivement par fU et f!j\ de même celles que Ton obtient en dérivant fj sont désignées par f^ et par f^ .

Les dérivées secondes ont elles-mêmes des dérivées partielles qui sont les dérivées du troisième ordre de f[x, y)^ et ainsi de suite.

Exemple, — La fonction x'"j^'' a pour dérivées premières et secondes

Nous voyons que les deux dérivées partielles f^ et /"^ sont identiques ; c'est une propriété générale des fonctions usuelles, et nous allons la démontrer.

158. Interversion des dérivations. — Soit /'une fonction de deux variables x et y. Donnons d'abord à x un accroissement h, et considérons la différence

si f est continue par rapport à x et admet une dérivée partielle par rapport à cette variable dans tout l'intervalle (x^x + A), nous pouvons lui appliquer le théorème des accroissements finis (n^ 150) et écrire, en désignant par 0 un nombre compris entre 0 et 1 ,

(2) f[x^h,y) -f[x,y) = hfL[x + ^Ky).

Donnons maintenant à y Taccroissement k, et formons la différence des valeurs de l'expression (1) pour y et pour y-f-A; elle est égale à

(3) /(X.+ h, y + k)^ f{x, y-hk)-^ f[x + h,y)^ f[x, y) ;

mais diaprés Tidentité (2), elle est égale à la différence des valeurs du second membre de cette identité, c'est-à-dire à

h[f,{x -H 6^ y -f- &) ~ ^(x -4- eA, y)].

Si f\x-h^h,y) est une fonction continue par rapport à y et admet une dérivée par rapport à cette variable dans l'intervalle