DÉRIVÉES DES FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES
(y^.y H-ft), nous pouvons appliquer à la différence entre parenthèses ie théorème des accroissements finis ; et nous trouverons pour valeur de l'expression (3) la suivante :
(i) hkfi{x-^bh,y-^Q'k),
^' étant, comme d, compris entre 0 et 1.
Formons maintenant une nouvelle valeur de la même expression, ntais en donnant d^abord à }/ Taccroissement k et en partant de la différence f{x, y-hk) — f{x, y) ; si f est continue par rapport à y et «une dérivée par rapport à cette variable dans Tintervalle (y,y-hft), ^ous avons
f{x, y H- ft) - f{x, y) = kfi{x, y -h e;Ac) ;
*' *xous donnons ensuite à x Taceroissement h, et si fy{x , y -h Ô| A) oontinue et a une dérivée par rapport à x dans Tintervalle * ^*^ -J- A), nous avons
5^-VA,j
,y-f-A) — /(«4-A,y)-/(x,y-hft)-4-/(ar,y)
= k[f,{x -h A, y -4- 6;ft) - /•;(«, y -t- Ôjft)],
et le second membre a pour valeur
(5) AA/;;(x-f-0,A,y-4-6{A),
Oi et Oi étant compris entre 0 et i .
Les expressions (4) et (5), qui sont égales à Texpression (3), sont égales entre elles ; en les divisant par AA, nous avons la relation
(6) fiy{x -^^h,y-h e'A) = f;.{x -h e,A, y 4- e{A).
Si nous supposons enfin que fiy{x,y) et fy»{x,y) sont des fonctions continues de X et y pour le système de valeurs (x, y), nous pouvons affirmer qu'en faisant tendre A et A vers zéro, les deux membres de l'égalité (6) ont pour limites fli^[xy y) et fyx[Xf y) ; à la limite, ces deux dérivées sont donc égales entre elles. Nous pouvons dès lors énoncer ce résultat :
Si une fonction f(x,y) de deux variables est continue et possède des dérivées premières fg, fyy ainsi que des dérivées^ secondes f'xj et //a, également continues, on peut affirmer que Pon a f^ = f%.
Ce théorème s'étend au cas où Ton dérive par rapport à x puis
par rapport à y une dérivée partielle d'ordre quelconque de la fonction f[^i y)i pourvu que les dérivées soient continues; par un raisonnement analogue à celui que Ton fait en arithmétique à propos d'un produit de facteurs, on voit que dans le calcul d'une dérivée d'ordre quelconque de /*, on peut changer Tordre des dérivations successives sans modifier le résultat ; on peut par exemple effectuer d'abord toutes les dérivations par rapport à x , puis toutes les dérivations par rapport à y. Les définitionsetlethéorèmequi précèdent s'étendent aui fonctions d'un nombre quelconque de variables ; si l'on considère par exemple une fonction de trois variables ([x^y^z)^ on définit comme nous Tavons fait les dérivées partielles fLi fyt f'ty fU , fiy » etc, et l'on démontre que l'on peut effectuer les dérivations dans un ordre quelconque. On désigne le résultat de n dérivations, dont a par rapport à a;, p par rapport à y et y P^r rapport à 2, par f^'i^p^y*
159. Dérivée des fonctions composées. — Nous avons déterminé au n^ 140 les dérivées de certaines fonctions composées d'une variable ; nous allons examiner en général les fonctions composées quelconques d'une ou de plusieurs variables et calculer leurs dérivées par rapport à l'une ou l'autre de ces variables. Pour fixer les idées, nous supposerons que l'on ait une fonction f de trois lettres variables u, v, to, ces trois lettres représentant des fonctions données de variables indépendantes a;, 1/, ... ; nous nous proposons de calculer la dérivée de f par rapport à l'une de ces variables, par exemple par rapport à x, connaissant les dérivées partielles de f par rapport à 11, v, to, et les dérivées de ces trois fonctions par rapport à x.
Désignons par x, 11, v, w et par /{u, t?, w) les valeurs correspondantes des diverses données, par Ax un accroissement donné à x, par ^u^ Ai;, Aid et A/* les accroissements correspondants des autres quantités qui en dépendent; nous avons
A/"= /■(«-♦- Au, »-}- Ar, lo-H Aïo) — /■(«, t?, w). Cet accroissement peut être décomposé en trois autres sous la forme
^f—f{u-\- An, r, w) — /"(u, v, lu) -|-/"(h + Au, v-h A», w) — f{u-^ Au, v^io) -h /"(u -h Au, r -f- Aw, 10 -h Aiy) — f{u -f- Au, V -h Ar, w) ;
