DÉRIVÉES DES FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES

appliquons le théorème des accroissements finis à chacune des différences qui composent le second membre ; dans la première, a est la variable, V et w restant constants ; dans la deuxième, la variable est v, et dans la troisième w; nous avons alors, en désignant par Oi, 62,63 des nombres convenablement choisis entre 0 et 1,

(7) lf= fa {u -+- ôiAii, r, w) ^u H- /ï (ii-h Au, i; H- 62Ar, w) ^v

-h /"i (n -+- Ah, r -h Ac, m? -4- Ô3Aiy) Aïo .

Pour arriver à la dérivée de f par rapport à a;, nous devons diviser les deux membres par Aa; et faire tendre cet accroissement vers zéro ; nous avons

^= /; (a -h ô,Aii, », u?) ^ H- /: (il -h Aii, » -h ôjAr, M?) ^

-h /i (n -f- Aa, r -f- A», iD -h ôsAiy) — •

Au second membre de cette égalité, les accroissements Ati, Av, Ato

tendent vers zéro en même temps que Ax, et les rapports t- i t— «

^x ax

-r— ont des limites respectivement égales aux dérivées u* , v« , tt;^ ; si Ax

les dérivées partielles de /'(u, v^tv) par rapport aux lettres variables o, t7, w sont des fonctions continues de ces variables, les valeurs qu'elles possèdent dans le second membre ont des limites égales à celles qu'elles possèdent quand Au, Av et Ato sont nuls. Nous concluons de là que

dans ces conditions ^ a une limite, par suite que f a une dérivée par

rapport à x, et cette dérivée est donnée par la formule

(8) /i = /;(ii,^t«)iii4-/:(ii,t?,u;)ri + /i(ii,t;,ujK, ce que nous pouvons énoncer de la façon suivante :

Pour former la dérivée d'une fonction composée, on multiplie la dérivée de cette fonction par rapport à chaque lettre variable dont elle dépend par la dérivée de cette lettre, et Von fait la somme des résultats.

Cette règle générale comprend toutes celles que nous avons données aux n** 140 et suivants ; nous pouvons le montrer sur un exemple, en cherchant la dérivée d'un produit de trois facteurs /*= uvw. Ici nous avons

/ï = vu?, fn= OU), /i = lit;,

et nous en déduisons la dérivée de /'par rapport à x ; elle est

/•^ = «10 X o« -h uio X vi -h iir X w;« ,

comme nous l'avions déjà trouvé.

Comme application, cherchons la dérivée par rapport à x de la fonction

nous poserons ii = x^y, v = x, de sorte que f sera égal à ii' ; d'après ce que nous avons vu aux n^* 143 et 144, nous avons

/■; = «• log u = {x^yY log {x*y) ;

comme de plus les dérivées de o et t; sont

oi = 2a;y, r« = 1 , nous trouvons

fL = x (a;«y)-* X 2ajy 4- {x^y)' log (x«y) = {xh,)- [2 -h log (aî«y )].

160. Dérivée des fonctions implicites. — Soit y une fonction implicite de x définie par une équation

nous allons déterminer sa dérivée au moyen des dérivées partielles âef. Supposons pour un instant qu'on connaisse lexpression de cette fonction au moyen de x, et qu'on la mette à la place de y dans f{xyy), le résultat sera identiquement nul; mais ce résultat de substitution se présente sous la forme d'une fonction composée de x, analogue à /*(!/, v) dans laquelle on aurait u==:x et t; = i^. Cette fonction étant nulle, sa dérivée est nulle ; si nous la formons d'après la règle du n*^ précédent et si nous l'égalons à zéro, nous avons l'équation

si fj n'est pas nul, nous en déduisons la dérivée cherchée y^\ elle a pour valeur