Résolution de n équations linéaires à n inconnues. -^ La

discussion que nous avons faite et les résultats que nous avons obtenus dans le cas de trois équations linéaires à trois inconnues s'étendent au cas d'un nombre quelconque d'équations avec le même nombre d'inconnues; nous n'entrerons pas dans le détail des calculs, qui sont identiques à ceux des numéros précédents et nous nous contenterons d'énoncer les résultats sous la forme générale suivante :

Étant donné un système de n équations linéaires à n inconnues écrites sous la forme générale

ax -+- 6y 4- cz -f- • • • = h, a'x + fc'y-hc'zH-. •• =A',

pour le discuter et le résoudre, on forme le déterminant des coefficients des inconnues ; nous rappellerons D.

Si D n'est pas nul, les équations ont une solution et une seule ; les valeurs des inconnues s'expriment sous la forme de fractions ayant le déterminant D pour dénominateur commun ; pour chaque inconnue^ le numérateur est un déterminant que l'on obtient en remplaçant dans D les coefficients de cette inconnue par les termes connus correspondants. Ce mode de calcul des inconnues est connu sous le nom de règle de Cramer.

Si D est nul, le système des équations données est impossible ou indéterminé; pour distinguer ces deux cas l'un de l'autre, on examine les mineurs du déterminant D, puis, s'ils sont tous nuls, les mineurs de ces mineurs, qu'on appelle mineurs du second ordre de D, et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on parvienne à un mineur non nul. On appelle déterminant principal un tel mineur, qui n'est pas nul, et de degré le plus élevé possible, c'est-à-dire tel que tous les mineurs de degré plus grand que celui-là soient nuls ; il peut y en avoir plusieurs jouissant <le cette propriété ; il suffît de considérer l'un quelconque d'entre eux.

Supposons, pour préciser, que cé'déterminant principal soit de degré p, et qu'il soit constitué parles coefficients des p premières inconnues

ÉQUATIONS UNÉÂIRES

dans les p premières équations ; s'il n'est pas formé de cette manière, nous pouvons toujours modifier Tordre des équations et celui des inconnues de façon à être placés dans le cas que nous examinons. A Taide du déterminant principal on forme des déterminants de degré /> + !, appelés déterminants caractéristiques, de la façon suivante : au-dessous de la dernière ligne du déterminant principal on écrit une jd + i ^ ligne constituée par les éléments des p premières inconnues dans Tune des équations qui suivent la />'; puis à droite on écrit une p + i** colonne formée des termes connus dans les p premières équations et dans Téquation utilisée pour la />+!'' ligne. Le nombre des déterminants caractéristiques est égal au nombre des équations qui suivent la jo% c'est-à-dire à n — p.

Si tous les déterminants caractéristiques ne sont pas nuls, le système des équations données n'a aucune solution et est impossible. Il est au contraire indéterminé si tous les déterminants caractéristiques sont nuls, et les n — p demièreséquationssontuneconséquencedesjD premières; dans celles-ci on peut donner aux n — p dernières inconnues des valeurs arbitraires, et les valeurs des p premières inconnues s'en déduisent d'une manière unique.

Exemple. — Soit le système d'équations 3a:-f-2y — 72H-^==5,

4xH-3y — 9z — < = 8, — a? — y -h 2 z -f- 2 / = — 3 ;

le déterminant des coefficients des inconnues est nul, ainsi que ses mineurs du premier ordre, qui sont des déterminants du 3*' degré. Les mineurs du second ordre ne sont pas tous nuls ; en particulier celui des coefficients de x et de i/ dans les deux premières équations n'est pas nul; nous le choisirons comme déterminant principal. Il existe deux déterminants caractéristiques, qui sont

4 il

ils sont nuls tous les deux ; par conséquent le système donné est indc-

.28 COMPLÉMENTS d' ALGÈBRE

•terminé. On peut donner k z et t des valeurs arbitraires, et tirer les valeurs correspondantes de x et de y des deux premières équations ; «on a de cette façon

Lorsque les termes connus sont tous nuls, les équations sont homogènes. Si le déterminant D des coefficients des inconnues n>st pas <nul, les équations n'ont qu'une solution constituée par x = 0, y = 0, s = 0, ... ; si le déterminant D est nul, les déterminants caractéristiques sont tous nuls, et le système des équations est indéterminé ; il -existe une infinité de solutions où toutes les inconnues ne sont pas nulles.

15. Système de m équations linéaires à n inconnues. — Nous allons considérer un système d'équations linéaires à n inconnues, le nombre m de ces équations étant quelconque ; nous allons d'al>ord «examiner le cas particulier suivant :

Supposons que m soit inférieur à n, et que Ton puisse trouver m des inconnues de telle sorte que le déterminant de leurs coefficients dans les m équations ne soit pas nul; nous pourrons résoudre le :système donné par rapport à ces m inconnues, les autres ayant des valeurs arbitraires ; le système est alors indéterminé.

Laissons ce cas de côté, et plaçons-nous dans le cas général, m pouvant être égal, inférieur ou supérieur à n ; considérons le tableau •des coefficients des inconnues dans les équations, ce tableau ayant m lignes et n colonnes, et calculons les déterminants que Ton peut tirer de ce tableau, en commençant par ceux de degré le plus élevé ; nous appellerons déterminant principal un de ces déterminants qui ne soit pas nul et qui soit de degré le plus élevé possible ; le degré d'un tel déterminant ne peut pas dépasser le plus petit des deux nombres m -et n, et même nous pouvons supposer qu'il est inférieur à m, car ^inon nous serions placés dans le cas particulier que nous avons examiné précédemment.

Si p est le degré du déterminant principal, nous pouvons supposer que ce déterminant est formé par les coefficients des p premières inconnues dans les p premières équations. Nous formons alors les déterminants caractéristiques comme dans le numéro précédent;

s*ils ne sont pas tous nuls, le système des équations est impossible ;. s'ils sont tous nuls, il a une ou plusieurs solutions : une seule si /> = n,. et une infinité si p<^n.

Mentionnons comme cas particulier celui où m est égal à n + 1 ; si p est égal à n, il existe un seul déterminant caractéristique, c'est le déterminant D formé par les coefficients des inconnues et par les termes connus dans les /i+i équations; la condition nécessaire et suffisante pour que les équations soient compatibles est alors que ce déterminant D soit nul. Si p est inférieur à n, il existe plusieurs . déterminants caractéristiques, et les conditions nécessaires et suffisantes pour que les équations soient compatibles sont que tous ces déterminants soient nuls. Remarquons que dans ce cas où p est inférieur à n, le déterminant D est nul, car ses mineurs relatifs aux éléments de la dernière colonne sont nuls par hypothèse; de ce qui précède nous concluons le théorème suivant :

Ponr que n -{- \ équations linéaires à n inconnues soient compatibles, il est nécessaire que le déterminant formé par les coefficients des inconnues dans les équations et par les termes connus soit nul;: celle condition n est pas toujours suffisante; elle l'est toutefois lorsque n des équations données ont une seule solution.