CALCUL

172. Méthode des moindres carrés. — La méthode des moindres carrés a pour objet la détermination des valeurs les plus probables d*une ou de plusieurs inconnues fournies par des observations directes ou dépendant indirectement de calculs effectués sur des résultats d'expériences. Comme les mesures expérimentales ne sont jamais rigoureuses, OD en effectue un grand nombre, dans Tespoir que les erreurs dont elles sont entachées se compenseront, et on fait concourir simultanément toutes les observations au calcul des inconnues.

Prenons d'abord le cas où Ton veut déterminer par des observations directes une grandeur inconnue x ; soient ^i , (/g , . . . , (/„ les valeurs observées de cette inconnue ; on adopte pour valeur la plus probable de X la moyenne arithmétique des observations

Xo = —

Si Ton appelle résida d'une observation la différence d — x entre la valeur observée et la valeur probable, on voit que x^ rend minimum la somme des carrés des résidus

(dt-aî)«-+. (c/,-x)«+ . . .-+-(c/„~a:)S

car elle annule la dérivée de cette somme prise par rapport à x.

Prenons maintenant plusieurs inconnues, par exemple trois, X, y, z, satisfaisant à des équations linéaires de la forme

ax + 6y H- cz = rf ;

nous supposons que les coefficients et les termes connus dans ces équations sont des résultats d'observations et peuvent être entachés d'erreurs généralement faibles ; il en résulte que les valeurs même exactes des inconnues ne satisfont pas toujours rigoureusement aux équations, mais dans tous les cas rendent très petite la différence entre les deux membres; cette différence s'appelle encore résidu.

Supposons que les observations faites fournissent 7i équations simultanées

a^x -h b^y + cxz = rf, ,

a„x + 6„y-hc„z = cr„, VocT. — Math. sup. 47

258 DÉRIVÉi^S ET DIFFÉRENTirLLES

et qu'on veuille calculer les valeurs de Xy y, z satisfaisant le mieux possible à ces n équations ; on forme la somme des carrés des résidus

(10) 2"(a^ + 6^4-c*z-dA)«

hss\

et Ton adopte comme valeurs les plus probables des inconnues celles qui rendent cette somme minimum. D'après ce que nous avons vu au n® 166, ces valeurs, que nous appellerons Xq, yg, Sq doivent annuler les trois dérivées partielles de la fonction (10), et elles sont données par les trois équations à trois inconnues :

2 a* (ajkXo + é^Vo + c*«o — rf*) = 0, 2 hh (a*Xg + éj^o "»- ^*«o — ^a) = 0, 2 c* (a*Xo H- h^^ + c^z^ — d^) = 0;

la solution de ces équations fournit les valeurs cherchées.

Enfin plaçons-nous dans le cas général où les inconnues, que nous appellerons Xy y, z, satisfont à une ou plusieurs équations quelconques

?(aî,y,«,a,6,c,...)=:0,

a,byC, . , . étant des paramètres dont les valeurs résultent d^observations et peuvent être entachées d'erreurs.

Supposons qu'on ait obtenu par des expériences répétées n équations

A^»y»«.«t»6i|Ci,...)=^i ^**^ ?(a?,y,a,ai,6ï,c,, ...)=0,

au moyen de trois d'entre elles, on peut déjà calculer des valeurs approchées Xo,yo, Zg des trois inconnues, mais ce ne sont pas les plus probables, car les n — 3 autres équations n'ont pas été utilisées de cette manière. On estime cependant que les valeurs cherchées diffèrent de ^oî yo» *o d'accroissements Ax, Ay, Az assez petits pour qu'on puisse négliger leurs produits et leurs puissances.

On remplace dans les équations (11) x,y,z par Xg -|- Aa?, j/g -4- Ay,

2^ -h Az, on développe les premiers membres d'après la formule de Taylor, et on ne conserve que les termes constants et les termes du premier degré ; on arrive ainsi, pour déterminer Ax, Ai/, Az, à n équations

/"(^o.yo» «o> «il *ti Ci, . . . )^fL. Ax-h/*;, Ay -h/ï. Az =0,

<p (xo , y 0, «0 , ûs , & j , Cj , . . . ) + ?io ^ -^ ?y« ^y + ?i« ^^ = ^ .

Ce sont des équations linéaires que Ton résout par la méthode des moindres carrés ; elles fournissent les valeurs les plus probables des accroissements Ax, Ay, Az, et on en déduit les valeurs les plus probables des inconnues x, y, z.