CHAPITRE VI FORMES INDÉTERMlllfiES

173. Forme ^r . — Si les deux termes d*une fraction ~-4 deviemient 0 (p(x)

simultanément nuls ou simultanément infinis pour une valeur a de X, on dit que la fraction prend une forme indéterminée; elle na aucun sens précis pour x = a, mais si les valeurs de cette fraction pour des valeurs de x voisines de a ont une limite quand x tend vers a, on dit que cette limite est la vraie valeur de la fraction pour x = a. Nous alloas d'abord considérer le cas où les deux termes de la fraction deviennent nuls pour x = a ; donnons à x une valeur voisine a + A, et supposons la formule de Taylor applicable aux deui fonctions f{x) et (p(x); nous aurons, puisque f[a) et ^(a) sont nuls,

f[a + h) = hr{a) + -^^no)^ •••+i.2*.'..n/"'(°)

ç(a -H A) = Aç'(a) + ^ ^'(a) + • • • + ^^^'^ ^«(a)

^1.2 ... (n-hi)

n étant laissé arbitraire, 6 et 6' étant compris entre 0 et i.

Si les dérivées premières f[a) et ^ '(a) ne sont pas toutes les deux

FORMES IND^ERMINÉES 261

nulles, on voit que le quotient ^ rr a la forme ,) { . ,^ , et

que sa limite pour A = 0 est égale au quotient des dérivées -jr-T •

Si les deux dérivées sont nulles pour x = a, et si Ton suppose, pour se placer dans le cas général, que les premières dérivées qui ne sont pas nulles simultanément sont d'ordre ti, le quotient

^7 TT a la forme ' .\ { rK et sa limite pour A = 0 est égale

au quotient '.) ! des dérivées d'ordre n. On voit ainsi que la vraie

vaknr d'une fraction qui, pour x = a, prend la forme jr est égale à

la valeur que prend, pour x = a, le quotient des premières dérivées de même ordre des deux termes non nulles simultanément,

x^ — — fl"* 0

Exemple. — La fraction -- — — prend pour x = a la forme -fr ;

le quotient des premières dérivées mx*»-* et pocP-^ prend pour x = a

la valeur — a*-* ; c'est la vraie valeur de la fraction ; la division des

P deux termes par x — a aurait conduit au même résultat, mais moins

rapidement.

174. Règle de l'Hôpital. — On remplace souvent la règle que nous venons d'énoncer par une autre, connue sous le nom de règle de

fix) l'Hôpital, qui s'énonce ainsi : La vraie valeur d'un quotient '-f-lr qui

prend une forme indéterminée est la même que la vraie valeur du

fix) quotient des dérivées —7— r*

Cette règle peut être utilisée lorsque la formule de Taylor n'est pas applicable aux fonctions f[x) et (p(x), et aussi lorsque /^x) et ^x) deviennent simultanément infinis; nous allons la démontrer

lorsque la fraction prend pour x = a la forme -^ -

La démonstration repose sur une formule analogue à celle des accroissements finis (n^ iSO); si f{x) et <p(x) sont deux fonctions continues et ayant des dérivées déterminées dans un intervalle {a, 6), nous allons montrer que l'on a

c étant un nombre compris entre a et b.

Désignons en effet par P la valeur du premier membre de Téquation (i) ; il satisfait à la relation

désignons par F(a;) la fonction auxiliaire obtenue en remplaçant dans le premier membre de cette identité a par x, sauf dans P qui reste par définition dépendant de a et 6 ; nous aurons

F{x)=f{b)-f{x)-Pl^{b)-<f{x)].

D'après les hypothèses faites sur f{x) et ^x), F(x) est une fonction continue et a une dérivée déterminée dans Tintervalle {a, b) ; elle s'annule pour x = a d'après l'équation (2) et pour x = 6 identiquement; d'après le lemme du n* 149, sa dérivée s'annule pour une valeur x = c comprise entre a et ft ; comme nous avons

nous obtenons, en écrivant que F'(c) est nul,

ce qui démontre la proposition. ^ .

La règle de l'Hôpital s'en déduit immédiatement; si '-j-^. prend

pour X = a la forme -jrf sa vraie valeur est par définition la limite du

rapport '-jd lorsque b s'approche indéfiniment de a; comme f{a)

et (p(a) sont nuls, ce rapport peut être remplacé par '^J '^. l> et

il est égal au second membre de la relation (1) ; comme c se rapproche de a en même temps que b, la limite cherchée est la même .que

celle du rapport '-^7-4 quand x tend vers a, en supposant toutefois

que le dernier rapport ait une limite ; la proposition se trouve ainsi démontrée.

En partant de la règle de THopital, que nous venons d'établir, nous pouvons retrouver le résultat du numéro précédent. Supposons d'abord