FORMES INDÉTERMINÉES

quelesdeiixdériTée8/*'(â?) et (p'(a;) soient continues et ne soient pas simultanément nulles pour x = a; lorsque x tend vers a, le quotient ^4-^ a une limite égale à ^7^^ ; la règle de THopital conduit donc à la même

limite que l'application de la formule de Taylor.

Supposons maintenant que f'{x) et (f'{x) s'annulent pour

a; = a; la règle de THopital ne donne pas immédiatement la vraie valeur

f(x) cherchée, car le quotient ^-7^-^ a lui-même pour x=ia une forme

indéterminée, mais on obtient sa vraie valeur en appliquant de nouveau la règle de THopital, c'est-à-dire en prenant la limite du rapport

des dérivées Sr4 - E^n continuant de cette façon, on est amené à

? W prendre le rapport des premières dérivées de f{x) et {p(x) qui ne sont

pas nulles en même temps pour x = a\ c'est précisément le résultat

fourni par la règle du numéro précédent.

L'avantage de la règle de THopital est de pouvoir remplacer le rapport

des dérivées par tout autre équivalent avant de passer à la limite. Pour

arc cos x donner un exemple, soit à trouver la limite du rapport , pour

V i—x X = ! ; les deux termes sont nuls, mais leurs dérivées et

. deviennent infinies pour x = 1, de sorte que la formule de

Taylor est inapplicable.

La règle de l'Hôpital conduit simplement au résultat; avant de passer à la limite, le rapport des dérivées est égal à

"— ^ \/l — X* /i-hx

et la limite de ce rapport pour x = i est égale à (/2 ; c'est la vraie valeur cherchée.

flx) 175. Forme •^. — Lorsque les deux termes de la fraction ^-4

deviennent infinis pour x = a, on obtient sa vraie valeur, si elle existe,

en appliquant la règle de THopital, c'est-à-dire en cherchant la vraie

valeur du quotient des dérivées ^7^-

? (^) Nous allons d'abord le démontrer dans le cas où la vraie valeur du

quotient de f[x) par ^[x) est un nombre / qui n'est ni nul ni infini ; à

la place de ce quotient nous prendrons celui de -pr par -^^-^ , qui lui

est égal ; cette fois les deux termes deviennent nuls, et nous pouvons appliquer la règle démontrée précédemment. D'après cette règle, la vraie valeur / est égale à celle du quotient des dérivées, et ce quotient est

-f'{x)—^) f'{xy

nous avons donc :

Le premier terme du second membre est égal à P ; le second terme est l'inverse de lim '-rr4 ; nous avons par suite

Z = Z«:UmQ^.

ou bien, puisque l n'est ni nul ni infini,

Le raisonnement précédent ne s'applique plus lorsque l est nul ou infini ; on tourne alors la difficulté de la façon suivante :

f{x\ Si l est nul, on considère à la place du rapport ^-p^ le rapport

auxiliaire ^

f[x)^^{x)f[x) ^ ^ cp(x) (p(a;)

dont la vraie valeur /' est égale à / + i ou à i et n'est pas nulle ; nous pouvons lui appliquer le raisonnement précédent, et nous avons

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nous en déduisons, en retranchant 1 aux deux membres,

et la règle s*applique encore dans ce cas.

Si l est infini, on considère à la place du rapport '-7-7 son in-

verse ^-4 qui a zéro pour vraie valeur; d'après ce qui précède, le rapport des dérivées î^ aura aussi pour vraie valeur zéro, et son inverse

'--rri deviendra infini comme '-y-i ; la règle est donc encore appli-

cable.

Exemple. — Soit à trouver pour a; = -s- la vraie valeur de la

log(x-|) ^ fraction 7 ^\ elle a la forme ; le rapport des dérivées est