cos^a

je COS" X JZ

pour X = -5" , le dernier quotient prend la forme — . Le rapport des A u

dérivées des deux termes est ~ 1 et il est nul pour « = -- ;

par suite la vraie valeur de la fraction donnée est nulle.

176. Cas où la variable est infinie. — Nous allons montrer que la règle de FHopital s'étend encore au cas où x augmente indéfiniment, et où les deux termes de la fraction deviennent nuls ou infinis.

Si nous posons x = --- * nous avons

et nous sommes ramenés à chercher la vraie valeur du dernier rapport pour X = 0 ; la règle de THopital lui est applicable et sa vraie valeur

est ia même que celle du rapport des dérivées, qui est

La vraie valeur du second membre pour X = 0 est la même que fffx) celle du rapport '-7^^ pour x injBm; nous voyons donc que la règle de

THopital est encore applicable en conservant la variable x.

Exemple. — Soit le rapport — qui, pour x infini, prend la forme

-^ ; sa vraie valeur est égale à celle du rapport des dérivées — » et

est nulle. On démontre de la même manière, en appliquant plusieurs fois successivement la règle de THopital, que la vraie valeur du rapport

— pour x infini est égale à zéro.

177. Autres formes Indétei'mlnées. «— Lorsqu'un produit /"(x) . ^ (x) prend, pour une valeur finie ou infinie de x, la forme OXoo , on le remplace par Tun des rapports

qui prend la forme â ou ^ 1 et l'on applique la règle de THopital.

Exemple. — Soit le produit x^logx où m est un exposant quelconque positif; pour x = 0, ce produit prend la forme Ox ( — 00 ) ;

prenons à sa place le quotient de log x par — ^ ; celui-ci prend

la forme -^ pour x = 0. En lui appliquant la règle de THopital, nous avons pour valeur du rapport des dérivées

i ^ — mx"~* x**

ce rapport devient nul pour x=.0, nous en concluons que la vraie valeur du produit x** log x pour x = 0 est égale à zéro.