FORMES INDÉTERMINÉES

Si l'on a une fonction exponentieUe f{x)^*^ et si elle prend pour une valeur finie ou infinie de x une des formes 1* , ooo, o^, on considère son logarithme, qui est ^{x) logf{x)j et Ton est ramené à un produit, auquel on applique les considérations précédentes.

178. Séries miiformémeiitconverg^i^t^- ^ On a souvent à considérer une fonction représentée par une série telle que

(1) y = iii(x)-hD,(aî)-h l-o„(a;)-+- ••• ,

dont les termes sont des fonctions simples de x, par exemple

y==i-hx-ha;'-l- ••• -h x""* H- • • • ,

sinx sin2a; sinSx , sin'nx

y = -j 2- -^-3 ^^-ir^-'-'

une telle série ne peut servir à définir et à calculer la fonction que pour les valeurs de x où elle est convergente. Ces valeurs forment ce qu'on appelle le domaine de convergence de la série, et elles constituent ordinairement un ou plusieurs intervalles.

Soit {a, b) un intervalle de convergence d'une série telle que (i), S„ la somme de ses n premiers termes et R„ le reste correspondant; on dit que la série est uniformément convergente dans Tintervalle (a, b) si Ton peut trouver une valeur de n suffisamment grande pour que le reste R^ soit inférieur en valeur absolue à un nombre donné aussi petit qu'on veut, cette valeur de n étant indépendante de la valeur choisie pour x dans l'intervalle considéré.

Pour reconnaître qu'une série est uniformément convergente dans un intervalle, on utilise ordinairement le théorème suivant :

Théorème I. — Si, pour toutes les valeurs de x comprises dans

an intervalle (a, 6,) les termes de la série (1) sont, en valeur absolue, au plus égaux aux ternies d'une série à termes constants positifs

(2) Vi-l-r«H hv„-h •••

que Von sait être convergente, la série (i) est uniformément convergente dans l'intervalle considéré.

En effet, d'après ce que nous avons vu aux n*"* 33 et 37, la série (i) est convergente et même absolument convergente pour toute valeur de X dansTintervalle {a,b)\ de plus la valeur absolue |R„| du reste de cette série est au plus égale au reste R\ correspondant de la série (2). Si nous choisissons n assez grand pour que R\ soit inférieur à un nombre donné, nous sommes certains que { R^ | est également inférieur à ce nombre, et cela quel que soit x dans l'intervalle (a, b) ; par conséquent la série (1) est uniformément convergente dans cet intervalle.

L'intérêt des séries uniformément convergentes réside dans le théorème suivant :

Théorème II. — Une série dont les termes sont des fondions continues et qui est uniformément convergente dans un intervalle est elle-même une fonction continue pour toute valeur de x comprise dans cet intervalle.

Supposons que la série (1) soit uniformément convergente dans rintervalle {a, b) ; soient Sn{x) et Rn{x) la somme de ses n premiers termes et le reste correspondant ; si nous donnons à x Taccroissèment h, Taccroissement de la série est égal à

k = [S,{x-hh) — Sn{x)]-i-Rn{x-+-h) — R,{x);

nous allons montrer que pour les valeurs de h inférieures en valeur absolue à un nombre Ai convenablement choisi, \k\ sera inférieur à un nombre c donné à Tavance aussi petit qu'on veut.

Comme la série (1) est uniformément convergente, nous pouvons

choisir n assez grand pour que |Rn| soit < -^ quel que soit x dans l'intervalle {a, b) ; dès lors R„(x -h h) et R„(x) sont en valeur absolue au plus égaux à -^^ D'autre part, n étant fixé de cette façon, SJi^x) est la somme d'un nombre fini de fonctions continues et est elle-

270 DÉRIVÉES ET DIFFÉRENTIFLLES

même une fonction continue (n* i3i) ; nous pouvons donc fixer un nombre Ai assez petit pour que S.(xh-A) — S. (x) soit en yaleur

absolue au plus égal à -^ dès que | A | < Ai . Dans ces conditions, k

se compose de trois termes dont la valeur absolue est au plus égale

à -»t et sa valeur absolue |A| est au plus égale à e; nous concluons

de là que la fonction y est continue dans Tintervalle (a^b).

Une série telle que (I), lorsqu'elle est convei^ente, n'a pas toujours une dérivée, et, lorsqu'elle en possède une, cette dérivée n'est pas

toujours représentée parla série formée par les dérivées de ses termes ; un

sin 71 '«c exemple est fourni par la série £ 1 — qui est uniformément convergente dans tout intervalle, car ses termes sont en valeur absolue au plus égaux à ceux de la série convergente 2 -^ • La série formée par

les dérivées de ses termes est SsinTi'x, et elle n'est pas convergente, car son terme général ne tend pas vers zéro.

179. Séries entières. — On appelle série entière une série de la forme

(3) y = ao -4- ajXH- ajx* -h • • • -h a^iof-^ + a^ -H • • • ,

ordonnée suivant les puissances entières et positives de la variable ; une telle série jouit de propriétés simples, qui sont la généralisation de celles des polynômes.

Théorème III. — Si les termes (Tane série entière restent finis pour x = Xq, cette série est convergente poar toutes les valeurs de x dont la valeur absolue est inférieure à celle de x^ .

Supposons que pour x = Xq les termes de la série (3) restent en valeur absolue inférieurs à un nombre m, c'est-à-dire que l'on ait pour toute valeur de n

m étant un nombre fixe ; considérons une valeur de x dont la valeur absolue est inférieure à |xo|, et écrivons la série (3) sous la forme

ses termes sont en valeur absolue inférieurs aux termes correspondants de la série

I Xik

IX r X

— -h . . . -f-m — X9 I I Xç

qui est une progression géométrique décroissante convergente; la série (3) est donc aussi convergente, et même absolument convergente.

Exemples, — Les termes de la série

restent finis pour x = 1 ; cette série est alors convergente pour jxj < 1 ; ajoutons qu'elle est convergente pour x = + I , divergente pour X = — 1 , et divergente également pour | x | >> i . La série

qui sert de définition à e* est, comme nous Tavons vu, convergente pour toute valeur de x ; au contraire, la série

restent inférieurs à un

n'est convergente que pour x = 0.

Si, dans le cas général, v|a„| ou \^^±^

nombre l, on peut affirmer que la série (3) est convergente pour

Nous pourrions démontrer de la même manière que si pour x == Xo les termes de la série (3) ne tendent pas vers zéro, cette série est divergente pour IxI^Xq.

11 résulte de là que le domaine de convergence d'une série entière se compose d'un seul intervalle qui peut s'étendre à l'infini à la fois dans les deux sens, ou bien est limité par deux nombres généralement symétriques. Si Xq est le plus grand nombre positif pour lequel les termes de la série (3) restent finis ou tendent vers zéro, l'intervalle de convergence s'étend de — Xq -f- c à x^ — c', les nombres c et e' étant, suivant les cas, soit nuls soit positifs aussi petits que l'on veut.

180. Dérivée d*ime série entière. •— Théorème IV. — Soil x^ un nombre positif tel que pour x = x^ les termes d'une série entière restent finis ou tendent vers zéro, et Xi un nombre quelconque positif inférieure x^; dans V intervalle ( — Xi,Xi) la série entière est absolument et uniformément convergente ; elle a une dérivée représentée par la série des dérivées de ses termes successifs.

En employant les notations du théorème précédent, nous voyons que pour toute valeur de x comprise dans l'intervalle ( — ^i,Xi) les termes de la série (3) sont en valeur absolue au plus égaux à ceux de la série

cette série, à termes constants positifs, est convergente; par suite (Th. I) la série (3) est uniformément convergente. Nous allons montrer maintenant que la série

(4) yj=o + aiH-2asXH- ••• -4- na^a:"-* -f- •••

constituée par les dérivées des termes successifs de la série (3) est absolument et uniformément convergente dans le même intervalle { — Xi , Xi) que la première.

La valeur absolue du terme général de cette série est au plus égale

à celle de /ia«x?-* ou de — (a„x;) ( — ) , et celle-ci est au plus

égale à — m ( — ^ ) ; par suite les termes de la série (4) sont en

valeur absolue au plus égaux à ceux de la série.

«0 ^0 \^o/ ^0 \^qJ

mais cette série est convergente, caria limite du rapport d'un terme au

précédent est égale à ~ et est inférieure à Tunité; par conséquent

la série (4) est absolument et uniformément convergente.

De ce qui précède résulte de la même manière que la série

(5) 2/j = 0-+-0 4-2.1aj-h • •• H-n(/i— l)a«x"-«-4- ••• déduite de y* par dérivation des termes successifs, et celles qu'on en

déduit par le même procédé sont toutes absolument et uniformément convergentes dans le même intervalle ( — Xj, Xi).

Il nous reste à démontrer que yt est égal à la dérivée de y ; pour cela, désignons toujours par Sn la somme des n premiers termes de la série (3), par S^*> et S^'^ celles des n premiers termes des séries (4) et (5) ; ces dernières sommes, qui renferment un nombre fini de termes, ne diffèrent pas des dérivées S» et Si du polynôme Sn{x).

Si X et x-hh désignent deux valeurs comprises dans Tintervalle {■—Xi y Xi) et si nous appliquons au polynôme S„(x) la formule de Taylor, nous avons Tégalité

^ S,(x ^ A) - S„(x) = ASi(x) 4- ^ S;(x -h ÔA) ;

comme S^ et S', sont égaux à S<'> et S^^\ nous pouvons remplacer cette égalité par la suivante :

S„(a: +■ A) - S«(x) = AS^ (x) ^ ^ S?)(a: -h eA).

Faisons croître n indéfiniment; S„(a;-hA), S„(a;) et S^*>(x) ont respectivement pour limites y{x -\- A), y{x) et yi{x) ; le nombre 6 peut varier avec n, mais x-f-ôA reste dans l'intervalle de convergence, et SJ,*^(a: -f- 6A) reste fini; l'égalité précédente nous montre même que cette dernière quantité a une limite, et si nous désignons par S<^> cette limite, nous avons

y{x -4- A) - y{x) = hy,{x) -h y SC«>.

Divisons par A les deux membres de cette équation, puis faisons tendre A vers zéro ; nous voyons que le rapport ^ i — ^^

a une limite égale à yi{x); par conséquent y{x) a une dérivée y' et cette dérivée est égale à la série yi{x), ce qu'il fallait établir.

La dérivée seconde de y est de même égale k y^, et ainsi de suite.

181. Série de Maclaurin. — Il y a intérêt à remplacer une fonc<* tion dont l'expression a une forme compliquée par une série entière souvent plus commode pour le calcul numérique. Le procédé habitueU VoGT. — Malh. sup. i8

lement employé pour développer en série une fonction donnée consiste à appliquer la formule de Maclaurin (n^ 163), qui est

(6) A^)=AO)-Hf A0)+^r(0)-4- • • • -4-^ a"!" ^P>(0)

«.2 ... {n-^iy ^^^'

nous désignerons par S„ la somme des termes du second membre jusqu'à X" inclusivement, et par R le terme complémentaire

R = /<"-^»>fôx).

Les premiers termes, composant S», sont le commencement d'une série indéfinie

(7)y = /"(0)+ff(0) + ^A0)-H--.+^^^" ^p)(o) + ...,

dont la loi de succession des termes est évidente, et qu*on appelle série de Maclaurin.

Théorème. — La série de Maclaurin est convergente et a pour somme f[x) pour toutes les valeurs de x telles que le terme complémentaire tende vers zéro lorsque n augmente indéfiniment.

Ëcrivons en effet que Ton a, d'après la formule (6),

A^) = Sn-f-R,

OU bien

si X a une valeur telle que le terme R ait pour limite zéro quand n augmente indéfiniment, f{x) — S„ a pour limite zéro, et S, a pour limite f{x) ; ceci montre que la somme des premiers termes de la série y a une limite lorsque le nombre de ces termes augmente indé> fini ment, et que cette limite est f{x) ; en d'autres termes que la série y est convergente et a pour somme f{x)j ce qu'il fallait démontrer.

Remarque. — Dans les applications, on commence par chercher

pour quelles valeurs de x la série y est convergente; on cherche ensuite pour quelles valeurs le terme complémentaire tend vers zéro.

Si Ton veut appliquer le développement en série de Maclaurin au calcul numérique d'une fonction, la formule (6) est préférable à la série (7), car cette formule donne la valeur du reste de la série lorsqu'on s'arrête au terme en x^, et Ton peut en déduire une limite de Terreur commise.

182. Développement de e', sinx, co^x. — Nous connaissons (n* 44) le développement en série de e* ; nous allons montrer, comme exercice, qu'il peut être retrouvé en partant de la formule de Maclaurin. La fonction et ses dérivées successives sont égales à ef^ (n** 136) et toutes ces quantités deviennent égales à l'unité pour x = 0 ; la formule de Maclaurin nous donne ainsi

*^l^i.2^ ^i.2 ... 11^1.2 ... (n-hi) '

quel que soit Xy la série correspondante est convergente ; le terme complémentaire est le produit d'un terme de cette série par e^ qui reste fini ; comme le terme général de la série tend vers zéro quand n augmente indéfiniment, il en est de même du terme complémentaire R; par conséquent e' est représenté pour toute valeur de x par la série de Maclaurin et nous avons bien

Nous avons calculé au n° 168 les dérivées successives de sin x et cosx; elles deviennent successivement 1, 0, — 1, 0, ... pour X = 0 , et la formule de Maclaurin nous donne

'"°'' = T-r2:3 + r2lT5--- ^1.2.3 . . . (2»-M)°"^'''^'

il? iE Hî

cosa: = l- — + j^2;3^ ^1.2.3.. ■ 2a '^°^''^'

les séries correspondant à ces formules sont convergentes, comme la série e*, pour toute valeur de x, et les termes complémentaires tendent aussi vers zéro ; les deux fonctions sont donc représentées par

les séries de Maclaorin pour toute valeur de a;, et nous avons

COS X = I — T-rr -h