DéTeloppement de (1 + x]". — La formule du binôme donne

le développement de la puissance m' de (i+x) lorsque m est un

nombre entier positif ; nous allons considérer le cas général où m est

quelconque, positif ou négatif. Quand m est une fraction irréductible

de dénominateur pair, (1 -h a:)* n'est réel que si x > — i ; c'est ce

qui a lieu par exemple pour la fonction (i -h x) * = v/(l -h x)* qui

n'est réelle que si 1+x est positif, ou x supérieure — 1.

La fonction /)[x) = (i-f-x)" et ses dérivées successives ont pour valeurs

nx) = m(m-l)(l-+-x)-S

en faisant x=0 dans les premières égalités, jusqu'à la dérivée n% nous devons remplacer aux seconds membres i + x par i ; dans la (fi-f-i)% nous devons remplacer 1h-x parl+6x; en substituant les valeurs trouvées dans la formule de Maclaurin, elle donne

(l+x)- = l + gx+^gi^^x« + -.-4-'"("'-*)---('"-"+«);ri l.« 1.2 . . . ji

La série correspondante est convergente lorsque la valeur absolue de X est inférieure à l'unité ; en effet, dans la série des valeurs absolues des termes, le rapport d'un terme au précédent est

et a pour limite | x \ pour n infini ; par conséquent si | x | est plus petit que 1 , la série des valeurs absolues est convergente, et il en est de même de la série considérée.

Nous allons montrer que, dans ces conditions, le terme complémentaire R tend vers zéro ; si x est positif, R est égal au produit de deux facteurs ; Tun est

m(m — i) . . . {m — n-) 1.2 .. . (/i-hl) et l'autre est

f 1 -4- ôar)"»-»-» ou ;

lorsque n augmente indéfiniment, le premier facteur tend vers zéro, car il est le terme général de la série convergente que nous venons d'étudier; le second facteur reste inférieur à I, par conséquent leur produit tend vers zéro.

Lorsque x est négatif, et égal à — x\ le raisonnement précédent ne suffit plus ; nous aurons alors recours à la forme particulière du reste que nous avons mentionnée (n*' 163, formule 7) ; elle nous donne

nous récrirons sous la forme suivante, où x' est un nombre positif représentant la valeur absolue de x,

Le premier facteur est le terme général d'une série convergente analogue à la précédente et tend vers zéro ; le deuxième facteur est inférieur à 1 et le troisième est fini, par suite R tend vers zéro.

La fonction (l-f-x)*" est donc, pour les valeurs de x comprises entre — 1 et + i , égale à la série de Maclaurin

lorsque m est entier et positif, les termes où Texposant de x est supérieur à m sont tous nuls, et Ton retrouve la formule du binôme; on dit que la série précédente, dans le cas de m quelconque, est la formule générale du binôme.

Lorsque Ton a Texpression (a-f-6)'", si a est >ft en valeur

absolue, on l'écrit (a -h ô)"* = a'^l i H ) et Ton pose — = x\ en

appliquant la formule précédente, on obtient le développement en série

de l'expression donnée suivant les puissances croissantes de — •

Soit, par exemple, à développer en série la fonction

en remplaçant dans la série qui donne le développement de (i+x)" X par — x* et m par — — , nous trouvons

184. Développement de log(i+a!;) et de arc ig x. — Lorsque la dérivée d'une fonction f(x) est facile à mettre sous forme d'une série entière, un procédé de développement de cette fonction consiste à développer f'{x) en série, puis à formerune série F(jr) dont les termes ont pour dérivées ceux de la série f^{x) ; nous allons montrer que, dans son intervalle de convergence, cette nouvelle série représente f{x) ou n'en diffère que par une constante additive.

En effet, dans cet intervalle la dérivée de la fonction F(x) est une série formée par les dérivées des termes de cette fonction (n® 180) et cette série des dérivées est identique à f{x). Les deux fonctions ¥{x) et f{x) ayant toutes deux pour dérivée f'{x)^ leur différence a une dérivée constamment nulle, et elle est par suite une constante (n^ 151), ce que nous voulions établir.

Nous allons appliquer ce procédé à la fonction log (1 + x) ; sa dérivée est 1 et pour | a: | < 1 , cette dérivée est représentée par

la série

= 1 — x-\-x^ — x'-f- ••• dt X*-* ni • • • ;

les termes de la série

iM /mS <«*8 /M^ /«•/!

ont pour dérivées ceux de la série précédente ; la nouvelle série et la fonction log (i h- x) ne diffèrent Tune de l'autre que par une constante ; comme elles s'annulent pour x==0, elles sont identiques; nous en concluons que Ton a, pour toute valeur de x comprise entre — i et + 1,

Cest cette série qui sert de base au calcul des logarithmes népériens des nombres.

Le même procédé peut être employé pour former le développement

en série de la fonction arc tg x ; sa dérivée est- 1 , et cette dérivée

est représentée, pour | x | < i, par la série

- = 1 — X* -f- X* — • • • dz x"* ip • • • ;