x^ les termes de la série

aï X* . X** -+- ^

ont pour dérivées ceux de la précédente ; cette nouvelle série et la détermination de la fonction arc tg x qui s'annule pour x = 0 ne diffèrent pas Tune de l'autre ; nous en concluons que cette détermination de arctgx est représentée, pour x compris entre — 1 et H-1, parla série

X x' x' arctgx = - 5- + -ir"-

celte série est employée pour le calcul de ir ; on a en effet -7 = a^'c tg ^ OU bien encore -r- = arc tg~ -+- arc tg-r- , d'après la relation

arctg — -f-arctg~ = arctg— =— — — = arctgl.

185. Autres procédés de développement en série. — - La méthode de la division algébrique que nous avons indiquée au n^ i68 pour le calcul des quantités très petites s'applique sans modification pour effectuer le développement en série d'une fraction rationnelle ; c*est ainsi que Ton a

= i -hX-hX*-!- ••• -hX^-h

la série du second membre étant convergente pour | x \ <;i*

Un autre procédé de développement en série consiste dans lemploi de coefficients indéterminés ; nous allons Texposer, sans justifier sa légitimité, en cherchant les premiers termes du développement en série de la fonction y :^ tgx. Nous écrirons

y = Oo H- aix -4- a^* -f- . . . ,

les coefficients étant encore indéterminés ; nous utiliserons Téquation

sinaî = y cosa?,

et nous remplacerons les fonctions entrant dans les deux membres par leurs développements en série ; nous aurons ainsi

= {aQ-hatX-\ )(i

Nous écrirons alors que les coefficients des mêmes puissances de x sont égaux dans les deux membres supposés ordonnés suivant les puissances croissantes de la variable ; nous trouverons ainsi les coefficients successifs a^, Oi, ai, ... , et nous obtiendrons le développement cherché