CHAPITRE VIII INTERPOLATION
186. Méthodes d'Interpolation. — Lorsqu'on connaît les valeurs numériques d'une fonction f[x) pour un certain nombre de valeurs de X, et que Ton cherche à déterminer, par un calcul simple, les valeurs exactes ou approchées de cette fonction pour les autres valeurs de la variable, on utilise un procédé de calcul que Ton appelle interpolation; on emploie Tinterpolation dans deux cas principaux que nous allons exposer :
i^ La fonction f[x) est donnée analytiquement, mais son calcul numérique est long et pénible pour une valeur quelconque de x\ on se contente alors de calculer exactement f{x) pour un certain nombre de valeurs de x assez rapprochées les unes des autres et on en forme des tables ; on emploie ensuite, pour les valeurs de x non comprises dans les tables, une formule simple d'interpolation ; elle donne, non pas la valeur exacte de la fonction, mais une valeur approchée qui est suffisante dans les applications.
La formule de Taylor conduit immédiatement à une formule d'interpolation ; si l'on connaît la valeur exacte de f{x) et de ses dérivées pour la valeur x, celle qu'elle prend pour x+A est donnée par
R étant le terme complémentaire ; on se limite ordinairement à la première ou à la seconde puissance de h dans le second membre, et on néglige les termes suivants lorsque h est petit. On emploie quelquefois
ce procédé dans le calcul des logarithmes des nombres non compris dans les tables.
2® La fonction f[x) n'est pas donnée par une formule analytique, mais par une série d'expériences physiques ; on ne connaît alors que la valeur numérique de f[x) pour un nombre limité de valeurs de x telles que Xq , o^i , . . . ; on ne connaît ni la forme analytique de la fonction, ni sa valeur numérique pour les autres valeurs de x.
On considère dans ce cas une fonction analytique simple a, généralement un polynôme, et on Tassujettit à prendre les mêmes valeurs numériques que la fonction f{x) pour les valeurs Xq i ^i » • • • î ®^ admet que, dans les intervalles limités par ces dernières, la fonction inconnue f{x) s'écarte peu de la nouvelle fonction choisie a , et les valeurs de celle-ci pour les différentes valeurs de la variable sont considérées comme étant des valeurs suffisamment approchées de f[x).
Les méthodes d'interpolation que nous allons indiquer dans ce deuxième cas s'appliquent du reste aux fonctions que nous avons considérées dans le premier cas ; elles ne font intervenir que les valeurs numériques de f[x) pour un certain nombre de valeurs de x, et Ton peut toujours supposer ces valeurs données ou calculées à Tavance.
187. Interpolation par parties proportionnelles. — Le cas le plus simple est celui où l'on connaît les valeurs de f[x) pour deux valeurs jtq et Xi de x ; nous les désignerons par i/q et iZ| ; on prend alors comme fonction simple approchée une expression du premier degré prenant les valeurs Uq ^^ ''i P<^^^ ^o ^^ ^i < si on la désigne par o, elle doit satisfaire à la condition
on en déduit
-iCo
^Ui
On dit que l'on fait une interpolation par parties proportionnelles parce que ronécritque l'accroissement de u est proportionnel à celui de x; cela revient au fond à substituer à la courbe représentative de la fonction f[x) la droite joignant les deux points de cette courbe d'abscisses Xq et Xj ; cette méthode est employée couramment, en
particulier dans la recherche des logarithmes des nombres ne se trouvant pas dans les tables.
188. Formule de Lagrange. — Plus généralement, si Ton connaît les valeurs o,,, «,,... , ii„ de f{x) pour les valeurs Xq, Xi, . . . , x„, en nombre /i-H 1 , il existe un polynôme u de degré n prenant les mêmes valeurs que la fonction pour ces n-hi valeurs de x\ ce polynôme est
jj^P (x— a?t) (x— Xa) ■ ' ' {x—x^ ^ ^ (x— Xo)(x --Xg) . . . (x— x„) ® (Xo— Xi){Xo— Xj) . • . (Xo— x„) \x^—x^)[xx'-x^) . . . (X|--X„)
(x — Xo)(x — Xj) . . . (x — X„,t) . (x„--Xo)(x„ — Xi) ... (x„ — X„.i)
on vérifie bien que ce pol3mome, qui est de degré n, se réduit à Uq pour x = Xo, à Oj pour x = Xi, etc. La valeur ainsi choisie pour o est connue sous le nom de formule d'interpolation de Lagrange.
189. Des différences. — Il arrive communément que les valeurs successives de la variable que Ton considère forment une progression arithmétique et sont de la forme
(1) x^,, XoH-A, Xo-4-2A, ..., XoH-/iA,
h étant la raison de la progression; ce qu'il importe alors de connaître, ce sont les différences qui existent entre les valeurs consécutives iiq y Ht, . . . , Ok de la fonction.
On appelle différences premières les accroissements successifs lorsqu'on passe de chaque valeur à la suivante ; on les désigne par
Auo = ni — "oi Aiii = aj— (II, ..., Aii„i = ii„ — u,
elles sont en nombre n ; les différences de ces quantités sont appelées différences secondes et désignées par
A'ao = A«i| — Aiio, A*i7i = Aiij — AUi, ..., A*u„2 = Au„i — Au
elles sont en nombre n — 1 ; en continuant, on forme les différences troisièmes et ainsi de suite, et Ton arrive à une différence n'
DÉRIVÉES ET DIFFÉBENTIELLES
il peut arriver que les différences d'un certain ordre soient toutes nulles, et il en est de même alors de celles des ordres suivants.
Le calcul des différences se fait en disposant les nombres dans les colonnes verticales d'un tableau de la façon suivante, qui se comprend d'elle-même; nous supposons que Ton donne quatre nombres inscrits dans la première colonne et nous écrivons les différences successives dans les colonnes suivantes.
wo = 2,94 Di = 3,54 Ifs = 4,19 a, = 4,90
Aii
Aqo = 0,60 Aiii = 0,65 Aii, = 0,7i
A»Oo = 0,05 A«iii = 0,06
A«no = 0,01
Lorsque Ton connaît les nombres de la première ligne, c'est-à-dire Oo et ses différences successives Auq, A*uoi • • • on peut retrouver, par des additions successives, les différents nombres du tableau ; ceux de la deuxième ligne ont pour valeurs
u, = UqH- Aiio, A(7i = Aiio-l- A*ao» ••• A"-*Oi = A"-*iio-l- A"Uo;
de même ceux de la troisième ont pour valeurs
Uj = Uj -4- Aiii , Aiij = Aoi •+- A*ni , . . . ;
si nous remplaçons i7| et ses différences par leurs valeurs en fonction de Qo) Aoo) • • • 1 nous avons
(i2 = Oo-h2Aao-f-A'oo, Aiia = A110-+- 2A*ao -4- A'oo, ... ; nous obtenons de la même manière
u, = uj -+- A119 = uq -f- 3 Acio -^ 3A*iio -^- A'uo ^
et ainsi de suite. Nous voyons apparaître les coefficients successifs du développement du binôme [x + ay ; il serait facile de démontrer que Ton a en général
(2) ii, = tfo-^YAtio-f-''^'|~^^A»iioH f-A"ao,
les coefficients étant ceux du binôme (x + a)"; on vérifierait que si la formule est vraie pour une valeur de Tindice, elle est encore vraie pour la valeur suivante.
190. Calcul numérique d*an polynôme entier. — La théorie des différences est utile lorsqu'on veut calculer rapidement les valeurs d'un polynôme entier pour des valeurs de la variable se succédant en progression arithmétique. Soit
a = f{x) = flo^c" -I- axof"-^ -h . . . -f- a„.ia; -h a„
un polynôme entier de degré n dont nous voulons calculer les valeurs lorsqu'on remplace x par les termes d'une progression arithmétique de raison h commençant par Xq ; la différence première est
Aiio=Aa:oH-A)-/-(a:o) = A/'(^o)H-^r(:ro)-h . . . ,
et elle est un polynôme de degré n — 1 en Xo ; la différence seconde est un polynôme de degré n — 2, et ainsi de suite; la n' différence est une constante égale à
(3) A-no = i. 2. . . . naoA",
et toutes les différences suivantes sont nulles.
Si nous calculons les n premières valeurs de u, c'ést-à-dire iioi Oi, ... ii,,i, nous pouvons obtenir les n — 1 premières différences Ado» ^'l'of • • • A"~^(io par de simples soustractions; de plus, nous connaissons toutes les n'' différences A^uq, A"ui, ... qui ont la valeur constante (3) ; nous pouvons dès lors calculer par de simples additions les différences et les valeurs de la fonction pour les autres valeurs de x faisant partie de la même progression arithmétique que les n premières.
Exemple: Considérons le polynôme du troisième degré
u = a;' — 6ap-f-l ,
et cherchons ses valeurs pour les valeurs entières de la variable; choisissons les trois nombres Xo = — i,a;i = 0, et a^^-f-l, qui donnent pour le polynôme les valeurs Ho = 6 , Oi = i , m» = — 4 ;
nous en déduisons Auo = — 5 , Aui = — 5 , A*uo = 0 .
Comme toutes les différences troisièmes sont a priori égales à 6, nous pouvons former le tableau suivant :
Au
dont le mécanisme se comprend facilement ; en partant d'un nombre 6 inscrit dans la dernière colonne, nous l'ajoutons au nombre placé à sa gauche et nous écrivons le résultat au-dessous de celui-ci ; nous continuons de cette manière en constituant des diagonales allant du haut à droite jusqu'en bas à gauche dans la colonne u.
Ainsi nous dirons 6-1-0 = 6; 6 — 5 = 1, 1 — 4 = — 3, c'est la valeur de u pour x = 2; ensuite 6-h6 = 12, 12-f-i = 13, 13 — 3=10, c'est la valeur pour x = 3. On pourrait prolonger le tableau au-dessus, et obtenirles valeurs correspondant à — 2, — 3, . . .
191. Formule d'interpolatioa de Neivton. — Cette formule est utilisée pour former, comme celle de Lagrange, un .polynôme a de degré n lorsqu'on donne la valeur numérique qu'il prend pour n -h 1 valeurs de la variable x; la formule de Neiwton suppose toutefois que ces dernières sont en progression arithmétique. Supposons que les n-hl valeurs de x soient celles de la suite (i), et que les valeurs
correspondantes de u soient zio t «i , .
successives de ces valeurs et posons z = Newton est
u. : formons les différences
La formule de
A'^iio.
Vérifions que pour a: = a:o, aro-f-A, . . . elle fournit pour a les valeurs Uqi «i, . . . • Pour x = Xf,, nous avons z = 0, et alors
ii = Oo. Pour Xo = a?o -f- A » nous avons z = l, et a = zio-h Aiio = «i. En général» pour x = Xo-hph, nous avons z=p, et
d'après la formule (2), le second membre est égal à iip; nous voyons que le polynôme a satisfait bien aux conditions voulues.
Comme nous Tavons dit, on adopte pour valeur de la fonction relative à une valeur de x non inscrite dans la suite (1) celle que prend le polynôme u pour cette valeur de la variable.
Pour donner un exemple, supposons qu'une fonction inconnue f{x) ait les valeurs inscrites dans la première colonne du tableau dun^ 189 pour les valeurs suivantes formant une progression de raison 0,2
Xo = 2, aro-l-A = 2,2, Xo-i-2A = 2,4, a;o -f- 3A = 2,6 ;
nous poserons alors n = 3 et z = 5(x — 2) ; nous aurons ainsi
ii = 2,94 + ^(5x-~!0) + Ji^(5a:— 10)(5x— 11)
Si nous voulons une valeur approchée de f{x) pour or = 2,1, nous adopterons celle que prend u pour cette valeur ; elle est égale à
192. Autres formules d*interpolation. — La marche suivie dans les calculs précédents ne fait intervenir que les valeurs de x qui suivent Xq et non celles qui le précèdent ; on conçoit cependant que celles-ci aient de l'influence sur la détermination de la fonction empirique f(x) lorsque x est voisin de x^ .
Nous supposerons, dans ce qui suit, que Xq désigne une valeur médiane parmi celles que Ton fait intervenir dans le calcul ; nous désignerons toujours par Up la valeur de f{x), supposée connue, pour x = Xo-f-/>A, et nous adopterons pour les différences les notations suivantes
8p^i^ = iip^i-iip, 8^ = 8p^i-8p.|,
Oo
tfl
SI
enfin, dans le tableau des différences, nous placerons chaque terme en face du milieu de Tintervalle compris entre les nombres qui ont servi à le former; nous aurons ainsi un tableau de la forme suivante:
Nous poserons pour simplifier z = ^~^^ et
^p z(z — i)(z— 2)...(z--pH-i) ' "" 1 . 2 . . . />
Gauss a indiqué les deux formules suivantes :
u{z) = 110-+- C% -h ex -H CÎ+,8', 4- CrViSj + a^A H
o(z) = H, -t- CÎS j -f- CÎ+,J5 + C^iSls. -f- C*,^ -4- a^iti H
qu'il serait facile de justifier comme celle de Newton, et qui servent à interpoler la première en avant, la deuxième en arrière de Xq. Ed prenant la demi-somme de ces deux formules, on fait intervenir symétriquement les différences placées sur la ligne renfermant uo et sur les lignes voisines; pour plus de commodité, si nous écrivons
<=j[^i^^-il
nous avons
» W = "0 + f cje? + ^ (2..8S + 1 CV^ ■
' Cr^O + C, + iffo ■+• Cs^s^o ■
