INHNIMENT PETITS ET DIFFÉRENTIELLES DES FONCTIONS D'UNE VARIABLE
193. Ordre d'un Infiniment petit. — On appelle infiniment petit une quantité variable à laquelle on attribue une suite de valeurs dont la limite est zéro.
Si une fonction ^ de x a pour limite zéro lorsque la variable tend vers zéro, y est infiniment petit en même temps que x ; lorsque Ton a divers infiniment petits dépendant Tun de Tautre, et qu'on veut les comparer, on choisit Tun d'eux que Ton considère comme infiniment petit principal et Ton considère les autres comme des fonctions de celui-là. Si Ton désigne Tinfiniment petit principal par Aar, et si un autre infiniment petit dépendant du premier est représenté par A]y, il arrive ordinairement que Ton peut trouver un exposant m tel que
le rapport — ^ ait une limite déterminée et non nulle ; on dit alors
que Ay est un infiniment petit d'ordre m; Tinfiniment petit principal Aa; est d'après cela toujours du premier ordre.
Exemples, — Les infiniment petits
Ay = v^2Aaî' -f- Ajc*, Az = sin Ao:
sont, le premier de Tordre -^» et le deuxième du premier ordre, car
le rapport de Ay à Aa? * a pour valeur ^2 H- Ax* et a pour limite
)/2 , et d'autre part, le rapport de Az à Ax a pour valeur ^^ — et a pour limite 1.
VoGT. — Math. sup. 49
Si une quantité infiniment petite Ajz a un ordre supérieur à celui d'une autre quantité analogue A?/, on dit que Az est un infiniment
Az petit par rapport à A?/ ; le rapport — - a alors pour limite zéro.
Soit Ay un infiniment petit d'ordre m, et / la limite du rapport
— ^ ; nous pouvons écrire A«"
c étant une quantité ayant pour limite zéro; nous en concluons
Ay = (/ -f- 6) Ax* = l \af -h c A«" ;
le produit / àaf" de Ax" par la limite l est appelé partie principale de Tinfîniment petit Ay ; la partie complémentaire e Aa:" est infiniment petite par rapport à cette partie principale. Ainsi, les parties principales des infiniment petits Ay et Az, que nous avons
indiqués comme exemples, sont \/2 Ax ' et Ax.
Dans les calculs relatifs aux infiniment petits, ce sont surtout les parties principales qu'il importe de considérer; ce fait est mis en lumière par deux théorèmes concernant Tun la limite du rapport, l'autre la limite de la somme de quantités infiniment petites ; nous ne parlerons ici que du premier, l'autre étant du domaine du calcul intégral.
Théorème. — La limite du rapport de deux infiniment petits du même ordre est égale au quotient des parties principales.
Si Ay et Az sont deux infiniment petits d'ordre m, et si l'on a
Ay = (i -f- Ê)Aa;'», Az = [V -f- e')Aa?'",
le rapport -^ a pour valeur -^ — ^ et a pour limite -^ ; cette limite est bien identique au quotient des parties principales / Aâf* et V ^af".
€k>rollalre. — On ne change pas la limite du rapport de deux infiniment petits du même ordre en augmentant ou diminuant chacun d'eux d'une quantité infiniment petite par rapport à lui.
En elTet on n'altère pas les parties principales des deux infiniment petits. On peut remplacer par exemple, dans des rapports, les quantités
A«* infiniment petites sinAx et 1 — cosAo; par Ax et -^«
INFINIMENT PETITtt BT DIFFÉRENTIELLES
2fil
194. Différentielle d'une fonction d'ime variable. — Soit y = f{x) une fonction continue ayant une dérivée f'{x) ; Taccroissement ày de la fonction correspondant à un accroissement Ax de la variable indépendante est un infiniment petit en même temps que ùlx ; comme le rapport de ces infiniment petits a pour limite f'(x)j nous voyons que ày e^t en général du premier ordre et a pour partie principale f(x)Aar.
Cette partie principale est appelée différentielle de y et est représentée par la notation dy, de sorte que Ton a par définition
dy=f'[x)âLX^
Si Ton considère en particulier une fonction égale à la variable x, sa dérivée est égale à 1 , et sa difi'érentielle dx est identique à Ax ; il est donc indifférent d'écrire dx ou Aa? ; c'est pourquoi Ton écrit ordinairement, dans le cas d'une fonction quelconque y = f[x),
dy^f'{x)dx;
on en déduit
La signification géométrique de la différentielle est la suivante : nous avons vu au n* 133 que la dérivée f'{x) est le coefficient angulaire de la tangente MT à la courbe représentative de la fonction /*(«), au point M d'abscisse x (fig. 58).
Soit PP' l'accroissement de l'abscisse X, désigné par Ax; soient M' le point de la courbe d'abscisse x-hAx, et N' le point de rencontre de P'M' avec la tangente MT; si MQ' est la parallèle à Ox tracée par le point M, nous voyons que la différence P'M' — PM = Q'M' représente l'accroissement Ay .
Quant à la différentielle dy, qui a pour valeur f\x)âkX, elle est Taccroissement de l'ordonnée de la tangente HT correspondant à l'accrois-
Fig. 58.
292 DÉRIYÉBS ET DIFFÉRENTIELLES
sèment Ax de Tabscisse, car M T a pour coefficient angulaire f[x) ; nous voyons que la différentielle dy est représentée par la différence FN' — PM = Q'N' des ordonnées de la tangente relatives aux abscisses
X et x-\-^x,
195. Différentielle d'une fonction de fonction. — Soit une fonction
dans laquelle o est une fonction donnée de la variable indépendante X ; nous avons vu que la dérivée y' est égale à f[u) . o, ; par suite la différentielle dy est égale à f'{u) . u'^dx. Mais le produit n'^dx est égal à la différentielle du de la fonction u ; par suite nous avons
dy^f{u)du;
nous déduisons de là
^-fw.
Nous obtenons ainsi les mêmes formules que dans le cas d'une fonction de x\ nous pouvons donc comprendre tous les cas dans un même énoncé de la façon suivante :
Théorème I. — La différentielle d'une fonction est égale à la dérivée de cette fonction par rapport à la variable dont elle dépend immédiatement, multipliée par la différentielle de cette variable, que celle-ci soit indépendante ou non.
Théorème II. — La dérivée d'une fonction est égale au quotient de la différentielle de cette fonction par la différentielle de la variable dont elle dépend, que celle-ci soit la variable indépendante ou non.
196. Calcul des différentielles. — Les théorèmes précédents ramènent Tun à Tautre le calcul des différentielles et celui des dérivées. Lorsqu'il s'agit de fonctions simples, c'est du calcul des dérivées que l'on déduit celui des différentielles ; les résultats obtenus dans les n®* 136 et 137 permettent d'écrire immédiatement dans tous les cas, o étant variable indépendante ou non, les différentielles suivantes :
