INFINIMENT PETITS ET DIFFÉRENTIELLES

c/a" = ma'*~*rfii, digu = — -— du ,

COS* Il

rfc« = e^du , cf arc sin o == , du ,

rflogH= — rfu, (/arccosa = , du,

cfsinii = cosoc/ii, (/arctgii= -. irfii,

rf cos n = — sin u cfn.

Lorsqu'il s'agit de fonctions composées d'une variable, le calcul des différentielles est souvent plus simple que celui des dérivées ; prenons comme exemple le calcul de la différentielle d'une somme y = u + v + tu ; nous pouvons calculer l'accroissement de y y qui est la somme des accroissements des différentes parties, et nous avons

Ay = Ao -h Ar -4- Ai/; ;

en écrivant que les parties principales des deux membres sont égales, nous avons immédiatement

dy =idu -h dv -h dw ;

nous en déduisons après coup, en divisant par dx, la relation qui existe entre les dérivées des fonctions y, u, v et w; elle est

dy du dv dw

dx dx dx dx

Nous obtiendrions de même comme différentielles d'un produit et d'un quotient les valeurs

vdu — udv

d{uv) = vdu 4- odvy dl — \ =

et nous en déduirions immédiatement les dérivées en divisant les deux membres par dx; nous retrouverions ainsi les résultats connus.

197. Usages des différentielles. — Un des principaux avantages

de remploi des différentielles réside dans ce fait que la notation -^

indique indifféremment la dérivée de y par rapport à x ou le quotient des différentielles de y et de x. Toute relation entre les dérivées premières de plusieurs fonctions d'une même variable peut dès

lors être remplacée par une relation entre leurs différentielles et celle de la variable dont elles dépendent ; il suffit pour cela de remplacer chaque dérivée par le quotient des différentielles de la fonction et de la variable. En multipliant les deux membres de la relation donnée par une puissance convenable de la différentielle de cette variable, on rend cette relation entière par rapport aux différentielles qu'elle renferme; elle est forcément homogène par rapport à ces différentielles.

Inversement, toute relation homogène entre les différentielles de plusieurs quantités variant simultanément peut être remplacée par une relation entre leurs dérivées prises par rapport à une variable indépendante donnée ; il suffit en effet de diviser les deux membres par la puissance de la différentielle de cette variable dont l'exposant est égal au degré d'homogénéité. Une relation entre des différentielles est plus avantageuse que celle qu'on peut en déduire entre les dérivées parce que dans la première la variable indépendante n'est pas spécifiée, et qu'on peut la choisir comme on le désire dans chaque cas particulier.

Dans les applications du calcul différentiel, on se propose le plus souvent de chercher les relations qui existent entre les limites des rapports de quantités infiniment petites variant simultanément ; on les obtient ordinairement de la façon suivante : Soient, pour fixer les idées, trois quantités x, y, z dépendant d'une même variable indépendante t qui peut être identique à l'une d'entre elles, et soient Ax, ly , As les accroissements infiniment petits correspondant à un accroissement infiniment petit A^ de < .

On commence par établir les relations qui existent, d'après les données de la question, entre les accroissements finis Ax, \y et As ; ces relations sont forcément homogènes (n*^ 62) ; soit

(5) f[^x, Ay, Ax)==0

l'une d'elles ; nous allons montrer qu'il suffit, lorsqu'on passe à la limite, d'y remplacer les infiniment petits par les différentielles dx^ dy, dz correspondantes.

Soit en effet m le degré d'homogénéité de l'équation (5) ; en divisant les deux membres par A^"*, nous pouvons la remplacer par