CHAPITRE 111 FORMULE DU BINOME

16. l>éveloppement de (x-f- o)". — La formule du binôme est celle qui donne le développement d*unc puissance entière quelconque de la somme de deux quantités, ordonné suivant les puissances croissantes ou décroissantes de Tune d'elles. Si on les représente par x et a, la formule donne le développement de (x + a)" ordonné suivant les puissances décroissantes de x.

Considérons d*abord le cas de m = 2 ; nous avons

{x -h ay — X* -^ 2ax -f- a* ; multiplions les deux membres par xH-a et ordonnons, nous avons

(x -f- ay = x' -h Sax* + 3a*x -+- a' ; multiplions encore par x + a et ordonnons, nous avons de même

(x -h ay = x^ -4- 4ax' + 6a«x' -+- 4a'x -+- a\

Nous pourrions continuer ainsi de proche en proche, mais il est préférable de chercher une loi de succession des coefficients ; dans les exemples qui précèdent se manifeste la règle suivante :

Règle. — Pour écrire les termes successifs du développement d*une puissance de x + a ordonné suivant les puissances décroissantes de X, on commence par écrire x affecté d'un exposant égal à celui de la puissance considérée; chacun des termes successifs se déduit ensuite de celui qui le précède en diminuant Vexposant de X d'une unité, et augmentant celui de a d*une unité, puis en