INFINIHENT PETITS ET DIFFÉRENTIELLES

En passant à la limite, les quotients des infiniment petits deviennent égaux aux quotients des différentielles, et la relation (6) se transforme dans

si nous multiplions les deux membres par dl"", cette dernière se transforme en

(7) f{dx,dy,dz)^0;

nous voyons bien que la relation (5) entre les quantités finies Ax, Ay , Az se transforme, lorsqu'on passe à la limite, dans la relation (7), ce que nous voulions établir.

On peut, dans rétablissement des relations telles que (5), substituer aui infiniment petits considérés d'autres qui n'en diffèrent que par des quantités infiniment petites par rapport à eux, car on ne change pas les différentielles et la relation finale (7) est toujours la même.

198. Différentielle d*an arc de courbe. — On appelle longueur d'un arc de courbe la limite du périmètre d'une ligne polygonale inscrite dans cet arc lorsque le nombre des côtés de cette ligne polygonale augmente indéfiniment, chacun d'eux tendant vers zéro.

Nous démontrerons dans le calcul intégral que si les coordonnées des points d'une courbe plane ou gauche s'expriment au moyen d'un paramètre l par des fonctions continues telles que

tout arc de cette courbe a une longueur bien déterminée. Si l'on compte les arcs à partir d'un point Mo , la longueur s d'un arc MoM est une fonction continue du paramètre t correspondant au point M, et la dérivée de cette fonction est

(8) sl = \/xl^-^yl'-^zi^.

De ce résultat, que nous démontrerons plus tard, nous pouvons déduire la différentielle ds de la fonction s ; elle est égale à

ds = sidl =1 \/x[^dl^ -h y't^di' H- z'^dt' ; conune les expressions situées sous le radical sont les carrés des diffé-

rentielles dx, cfy, dz, nous avons entre ces différentielles et celle de Tare la relation fondamentale

(9) rf5« = rfa:»H-c/y*-hrf2*.

Dans le cas particulier où la courbe est plane, et où son plan est pris pour plan des xy^ la cote z est toujours nulle ; si de plus x est la variable indépendante à la place de ^ dans la formule (8) x[ devient égal à Tunité, de sorte que cette formule devient

(10) ,i = /l^yi«; la formule (9) prend la forme

(11) rf«« = rfx«H-rfy«.

Remarque. — Si, dans la formule (8), nous choisissons le signe + devant le radical, la dérivée si est toujours positive, et la fonction s croit avec t ; comme elle s'annule pour le point Mo origine des arcs, nous voyons que s est positive lorsque le point M décrit la courbe à partir de Mo dans ]c sens de t croissant, et est négative lorsqu'il la décrit dans le sens opposé.

Si nous choisissons sur la tangente au point M la direction qui correspond aux valeurs croissantes de t, les cosinus des angles que fait cette direction avec les axes de coordonnées sont respectivement égaux à «.' «f' •'

Le sens choisi sur la tangente est précisément celui des arcs croissants; nous pouvons ^^outerque les valeurs précédentes des cosinus peuvent être remplacées par les suivantes qui leur sont égales

dx dy dz d$ ds ds

199. Différentielles d*ordre8 supérieurs. — Plaçons-nous d'abord dans le cas d'une fonction y = f[x) d'une variable indépendante x ; à l'accroissement Ax correspond la différentielle

dy^f\x)tix, que nous appellerons différentielle du premier ordre ; elle varie avec x

INFIÎîlMENT PETITS ET DIFFÉRENTIELLES 297

et, en tant que fonction de x, elle a elle-même une différentielle que Ton appelle différentielle du second ordre de y; on la représente par la notation (Py.

D'après la définition donnée au n*" 194, on l'obtient en multipliant la dérivée de dy par Taccroissement ùkX ; pour prendre la dérivée de dy, il Tant considérer cette fonction comme le produit de deux facteurs, Ton égal à f'(x) qui varie avec x, et Tautre égal à Taccroissement Àx que Ton suppose rester le même quel que soit x ; Ax est alors traité comme une constante dans le calcul de la dérivée. D'après cela, ladéiivéede dy est f{x)lx; par suite la différentielle de dy est

d^y = [f''{x)^x]^x = /■'(x)Aa;« .

Cette différentielle a elle-même une différentielle que Ton appelle différentielle du troisième ordre et qu'on représente par d^y ; d'après le même raisonnement, elle a pour valeur

et ainsi de suite ; eo général, la différentielle d'ordre m a pour valeur d'^y = /•("•\x)Ax™.

On peut indifféremment représenter l'accroissement Ax par Ax ou rfx, comme nous l'avons dit, et l'on écrit habituellement, en introduisant dx à la place de Ax,

(12) d'^y = f^''\x)dxr\ on en tire

Ces deux équations permettent d'introduire dans les calculs la notation -7^ à la place de la dérivée y^">, et de considérer ce symbole

aussi bien comme représentant la dérivée que le quotient de d'^y par

rfx*, à la condition toutefois que x soit la variable indépendante.

Considérons maintenant le cas d'une fonction de fonction, comme

au n® 195 ; nous avons pour sa différentielle du premier ordre la valeur

</y=/-'(a)rfii,

mais pour former sa difTérentielle d^y, il faut remarquer que du

298 DÉR1YÉE5 ET DIFFÉEEnTIELLES

n est pas constant quand x varie, comme Tétait Ax ; nous aTons alors à prendre la di/Térentielle d*un produit de deux facteurs Tariables. D'après une formule démontrée (n* 196), nous avons

tpy=[dr{u)]du-^rwd(du);

comme df'{u) est égal à f'{u)du (Théorème 1, n' 195) et que rf(rfa) est représenté par d^a, nous avons

rf*y = f'{u)du^ -4- f'[u)d*u ;

nous trouverions de la même manière les différentielles suivantes d'après les règles de différentiation de sommes et de produits.

200. Changement de variables. — Premier problème. — Ëtant données une ou plusieurs fonctions ?/, z, ... d'une même variable X, et une expression composée au moyen de x^y, z, ... et des dérivées y g, zi, ylt, . . . , on se propose de chercher ce que devient cette expression lorsqu'on prend comme variable indépendante une autre quantité liée à x d'une manière donnée.

Pour résoudre cette question, nous commencerons par remplacer l'expression donnée par une autre renfermant les différentielles successives de X. y, z, ... , et nous considérerons toutes ces quantités comme fonctions d*une variable nouvelle laissée indéterminée.

Toute dérivée du premier ordre telle que yi, est égale au quotient

-^ des différentielles de y et de x; mais cette remarque ne se

généralise pas pour les dérivées suivantes, et yU n'est égal à

Vi que si x est la variable indépendante (n* 199). Pour déterminer

y" en fonction des différentielles successives de x et de y y nous remarquerons qu'elle est la dérivée première de y\ et qu'elle est égale au

rapport -^ ; comme le numérateur est la différentielle de y', c'est-à-

du •

dire la différentielle du quotient -^^ nous aurons, d'après la règle de

différentiation d'un quotient (n® 196),

, , dxd^u — dy d^x