INFINIMENT PETITS ET DIFFÉRENTIELLES

nous en déduirons

dy' dx d^y — dy d^x ^ ^'*~~dx'~' dx^

nous Tonnerons de même les expressions des dérivées successives

y* = ^ » ... au moyen des différentielles de y et de a? et nous

les substituerons aux dérivées dans l'expression proposée.

Considérons par exemple Texpression suivante, qui représente, comme nous le verrons, le rayon de courbure d'une courbe plane :

calculée en considérant x comme variable indépendante ; en introduisant les différentielles et remplaçant y' et y" par les valeurs trouvées précédemment, nous obtenons la formule générale

dx d*y — dy d^x dx d^y — dy d'^x "dx^

Lorsque Fon a ainsi introduit dans une expression les différentielles des quantités qui y entrent, si Ton veut particulariser dans un cas donné la variable indépendante et mettre en évidence les dérivées par rapport à cette variable, il suffit d'exprimer les différentielles au moyen des dérivées. Si par exemple la variable choisie est désignée par i, on remplace les différentielles par leurs valeurs dx = x'idt, d^x = x/imàC^y et ainsi de suite.

Par -exemple, l'expression précédente de R devient, après introduction des dérivées par rapport à < et suppression du facteur commun di^ au numérateur et au dénominateur,

'^— xy-y'x"'

Il arrive quelquefois que les quantités x, i/, 2, . . . sont liées à d'autres variables par des relations connues ; supposons par exemple que Ton fasse sur a; et y la transformation des coordonnées carié-

siennes en coordonnées polaires (n** 80), définie par les relations a; = p cos 0 , y = p sin 6 .

En différentiant les deux membres, sans spécifier la variable indépendante, les coordonnées p et 6 étant fonctions Tune de l'autre ou bien fonctions d'une autre variable, nous aurons

dx = rfp cos 6 — p sin 0 cfO, cfy = {/p sin 6 + p cos 6 rf6 ,

rf*a? = rf«p cos 6 — 2rfp rfe sin 6 — p cos 6 rf6* — p sin 6 rf*e , d*y = rf*p sin 6 H- 2rfp rfô cos 6 — p sin 6 rfô* -4- p cos 6 rf*6 ,

et ainsi de suite ; si nous possédons une relation entre x, y et leurs différentielles, nous y remplacerons x, jy, dx, dy, . . . par les valeurs précédentes, et nous obtiendrons une expression formée au moyen de p, 6 et de leurs différentielles ; on pourra toujours après coup, si c'est nécessaire, fixer la variable indépendante.

Par exemple, le carré ds^ de la différentielle de Tare d'une courbe plane est (n*^ 198) égal à dx^-{-dy*; pour former son expression en coordonnées polaires, nous remplacerons dx et dy par leurs valeurs (14), et nous aurons

rf«« = rfp«^-pye*;

par un calcul analogue, la quantité R que nous avons considérée précédemment deviendra en coordonnées polaires.

(rfp^-^pVe«)«

pV6' -h 2rfp«d6 — prf»p rfe -+- p rfp c^e '

si nous particularisons la nouvelle variable indépendante et si nous la prenons égale à 6, p est une fonction de cette variable, et les différentielles de p doivent être remplacées par rfp = p'rfô, rf*p = p'rfd*, tandis que rf^d est nui ; nous avons ainsi

■p. + 2p'«-pp'