CHAPITRE X DIFFÉRENTIELLES DES FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES

aOi. Notation relative aux dérivées partielles. — Pour simplifier Texposition qui va suivre, nous considérerons une fonction de deux variables indépendantes a?, y, que nous désignerons par

les raisonnements seraient les mêmes pour les fonctions d'un nombre quelconque de variables.

Par analogie avec récriture adoptée dans le chapitre précédent, on

représente les dérivées partielles du premier ordre /"i, /J par -r^ et -^ ;

Qx oy

mais il est essentiel de remarquer que cette notation de pure convention ne représente pas un quotient de deux différentielles, et qu'on ne peut séparer l'un de l'autre le numérateur du dénominateur des fractions précédentes. C'est pour cela qu'on emploie la lettre ô pour l'écriture des dérivées partielles, en réservant d pour les différentielles.

De la même manière, les dérivées partielles du second ordre de f{x, y) sont représentées par

^-r -^-r ^-Z" ôx*-^'*' ôxày*"'^' dy«-^^'

et en général on écrit ' pour /"^ipia-i-P étant égal à n.

2(12. Différentielle totale d'une fonction de plusieurs variables Indépendantes. — Si dans la fonction /(x, y) nous laissons y constant

et si nous donnons à a; un accroissement infiniment petit Ax, la partie principale de Taccroissement de la fonction est égale à f'^^x ou -^ Ax.

De même si nous laissons x constant et si nous donnons à j^ un accroissement infiniment petit ^y, la partie principale du nouvel accroissement

de la fonction est égale à f'yLy ou -^ Ay .

On appelle par définition différentielle totale de la fonction z=if{x, y) la somme des deux parties principales précédentes ; on la représente par dz ou df (x, y) et Ton pose

(1) df=fL^x-^f',^y=^f^^x-^^^y.

Si Ton considère le cas particulier oii f{xy y) se réduit ax, on a /"i = i , /"^ = 0 et df, c'est-à-dire rfx, prend la valeur Ax. De même si f(x, y) se réduit à y, df ou dy prend la valeur Ay ; il en résulte que Ton peut remplacer Ax par </x, et Ay par dy, et écrire

(2) df=.ndx-^-f'dy = fjx + f^dy.

Remarque I. — Si nous formons la différence

A/'= /• (x -f- Ax, y -h Ay ) — /• (x, y ) ,

et si nous la développons suivant la formule de Taylor, les termes du premier degré dans le développement obtenu constituent précisément la différentielle totale df\ il faut se garder toutefois de considérer cette différentielle comme la partie du premier ordre de Taccroissement A/*, car les deux accroissements Ax et Ay sont indépendants et on ne peut pas parler de leur ordre comme au n^ 193.

Si par un procédé quelconque on sait calculer la différentielle totale d'une fonction /"(x, y) et la mettre sous la forme kdx -h Brfy , les coefficients A et B des quantités indépendantes dx et dy représentent toujours les dérivées partielles /"i et f'j. Cette remarque est utile dans le calcul des dérivées partielles.

Remarque II. — Pour qu'une fonction f[x, y) soit indépendante de X, il faut et il suffit, comme on le sait, que sa dérivée par rapport à X soit nulle ; de même, pour qu'elle soit indépendante de y, il faut