Différentielle totale d*uiie fonction composée. — Soit
une fonction de symboles u, v et 10 qui sont eux-mêmes des fonctions d'une ou de plusieurs variables indépendantes, par exemple de x et de t/; z est une fonction composée de ces variables.
D'après ce que nous avons vu au n** 159 (formule 8), ses dérivées partielles sont égales à
si nous les multiplions respectivement par dx et dy^ et si nous ajoutons les résultats, nous formerons la différentielle totale de la fonction ; nous aurons ainsi
J/"= /"ilai dx 4- u; dy) -h f'J^v'^ dx -4- v'y dy) -f- f'u,[w'^ dx -^w'ydy) ;
mais les parenthèses ne sont autre chose que les différentielles c/iz, dv^ dw de H, v, 10 ; nous avons par suite la formule
(3) df^f'.dn^fidv-hf'^dw.
Elle est la généralisation de la formule (3) du n*^ 195; nous pouvons énoncer les théorèmes suivants, analogues à ceux de ce numéro:
Tliéorème I. — La différentielle totale d'une fonction composée est égale à la somme des produits obtenus en multipliant la dérivée partielle de cette fonction par rapport à chacune des variables dont elle dépend immédiatement, par la différentielle de cette variable, qae celle-ci soit indépendante ou non.
Théorème. II. — Si l'on met la différentielle totale d'une fonction
30U8 une forme linéaire par rapport aux différentielles de plusieurs variables, qu'elles soient indépendantes ou non^ les coefficients de ces différentielles représentent les dérivées partielles de la fonction par rapport à ces variables.
Ces théorèmes permettent de ramener l'un à Tautre le calcul des différentielles et le calcul des dérivées, mais il y a souvent avantage à calculer d'abord les différentielles et à en déduire les dérivées. Considérons par exemple la fonction
z = arc tg -^-i- ylog (x« -f- y*) ;
nous formerons d'abord sa différentielle totale, et pour cela nous poserons
d'où
nous aurons alors
z = arc tg a + — log v ;
, du dv dz = z 1 4-
i-^u^ 2v' nous remplacerons ensuite du et dv par leurs valeurs qui sont
, X dv — v dx du = — ^ — ^ — , dv = 2xdx-h 2y dy ,
puis nous mettrons dans le résultat dx et dy en facteur ; nous aurons ainsi
dz
dx-
x*-hy
-2^yî
les coefficients de dx et dy sont les dérivées partielles de z par rapport k x eik y.
204. Application aux fonctions implicites. — Ëtant donnée une équation telle que
entre des variables, indépendantes ou non, et des fonctions de ces va-
