DIFFÉRENTIELLES DES FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES

fiables, le premier membre de cette équation est une fonction composée des variables indépendantes, et cette fonction est constamment nulle ; par conséquent sa différentielle totale est nulle.

En formant cette différentielle d'après la formule (3), nous obtenons Téquation suivante :

(5) fJx^f'ydy^f'4z=Q.

Cette équation a l'avantage de conserver la même forme quels que soient le nombre et la nature des variables indépendantes ; si par «lemple z est une fonction de a; et de y définie par Téquation (4), ses dérivées partielles sont les coefficients de dx et de dy dans Téquation (5) résolue par rapport à dz.

Comme cas particulier, si y est une fonction implicite de x définie par Téquation

QOQS obtenons par différentiation

en résolvant cette équation par rapport à -p, nous trouverons la dérivée de y par rapport à x ; elle est

205. Différentielles d*ordres supérieurs. — Considérons une fonction z de deux variables indépendantes x et y ; la formule (1) nous a donné sa différentielle totale du premier ordre

dz = fL^x-^f',^y'.

^'est une fonction qui a elle-même une différentielle, qu'on appelle différentielle totale seconde de z et qu'on représente par dH. On l'obtient en faisant la somme des différentielles des deux termes; mais, dans chacun d*eux, on doit considérer les accroissements Ax et A£ comme des facteurs constants lorsque a; et j^ varient ; on a ainsi

d^z = (/itAx -h AAy ) Ax + {fl^^ -f- /;. Ay ) Ay ,

ou bien, en réunissant les termes semblables et remplaçant Ax et Ay VoGT. " Math. sup. âO

par dx et dy

(6) dH == flM^ H- 2fl,dxdy H- f;.dy* ;

par le même procédé, on obtient les diiTérentielles suivantes d^z, d^z^

On forme facilement la valeur d'une de ces différentielles en remarquant qu'elle est composée de termes analogues à ceux qui interviennent dans la formule du binôme ; ainsi d^z peut s'écrire sous la forme symbolique

et en général la différentielle d'ordre n sous la forme

en convenant de remplacer dans le développement de la puissance n' de la parenthèse tout produit tel que (fLYif'y)'^'' par /"^"Jp^-p; on vérifierait que si la formule est vraie pour n, elle est encore vraie pour n-h i.

Lorsque Ton a une fonction composée, sa différentielle du premier ordre est donnée par la formule (3) ; si Ton veut trouver sa difTérentielle du second ordre, il faut considérer cfu, dv et dw non plus comme des accroissements constants, mais comme des fonctions variables : on traite alors chaque partie de la somme comme un produit. Si Ton suppose pour simplifier que z dépende de deux fonctions II et r, on a;

rf*z = f:.du^ -f- 2fl dudv -h fUdv* 4- f'J*u -h fld^v. On forme de même les différentielles suivantes.

200. Changement de variables. Deuxième problème. — Soit V une fonction de plusieurs variables indépendantes, de x et de y par exemple, et F une expression renfermant les dérivées partielles de V par rapport à ces variables ; nous allons chercher ce que devient cette expression lorsqu'on remplace x et y par d'autres variables indépendantes ; nous prendrons comme exemple la transformation des coordonnées cartésiennes en coordonnées polaires.

Nous allons former les relations qui existent entre les dérivées partielles de V par rapport aux anciennes et aux nouvelles variables ; écrivons la valeur de la différentielle totale de V dans les deux cas ;