CHAPITRE I DES IMAGINAIRES

207. Définition et représentation des Imaginaires. — On appelle nombre imaginaire ou nombre complexe une expression de la forme a + 6», où a et & sont des nombres relatifs, positifs ou négatifs, et où i est un symbole particulier ; dans les calculs sur les nombres imaginaires, on doit traiter ce symbole comme une variable analogue à xoujfy avec cette condition que le carré de i peut être remplacé par — i partout où il se présente. C'est pour cette raison que i est souvent appelé la racine de — 1 et représenté par \^ — i .

Les nombres relatifs ordinaires sont dits réels, par opposition aux nombres imaginaires dont ils ne sont du reste qu'un cas particulier; un nombre de la forme bi est dit imaginaire pur, de sorte que a-+-bi peut être considéré comme la réunion d'un nombre réel a et d'un nombre imaginaire pur bi.

Deux nombres a-\-bi et a — bi qui ont même partie réelle et dont les coefficients de i sont égaux et de signes contraires sont dits imaginaires conjugués.

On représentele nombre a -h bi par un point M d'un plan dont les coordonnées rectangulaires sont a et & (fig. 59); les nombres

réels sont d'après cela représentés par les points de Taxe a/x, les

nombres imaginaires purs par ceux de Taxe y'y .

Le point M peut être déterminé par ses coordonnées polaires

p et 0; nous convenons dans la théorie actuelle de considérer p

comme une quantité essentiellement positive ; elle est égale à

Fi g. 59.

p = longueur OM = -f- y/a*-!-**,

et on rappelle module du nombre a-\-bi; Tangle polaire 6, qui est égalàTun des angles (Ox, OM), est appelé argument de ce nombre imaginaire; il n*est déterminé qu'à un multiple près de 2ir .

Comme nous avons

a = pcosO, 6 = psind,

bi sous la forme

isinô),

nous pouvons écrire le nombre a

(i) a-|-6t=:p(cos0

qui met en évidence le module et l'argument ; le nombre conjugué du précédent est égal à

a — bi= p(cos b— i sin 6) ;

ces deux nombres ont même module, et Ton peut toujours supposer que leurs arguments sont égaux et de signes contraires.

208. Opérations sur les imaginaires. — Nous avons dit que Ton doit traiter le symbole ï comme une lettre variable dont on peut remplacer le carré par — i ; on est ainsi amené aux définitions suivantes :

i* On dit que a + bi est nul si a et 6 sont nuls séparément ; on peut remarquer que pour qu'un nombre soit nul, il faut et il suffit que son module le soit; le point représentatif est alors confondu avec l'origine.

2* On dit que deux nombres a -+- bi et a' -f- b'i sont égaux si l'on a séparément a = a' et & = 6' ; on peut remarquer que pour que deux nombres soient égaux, il faut et il suffit que leurs modules

soient égaux et que leurs arguments diffèrent de 2/nr , k étant un entier positif ou négatif; les points représentatifs sont alors confondus.

3^ On fait la somme de deux imaginaires en additionnant les parties réelles d'une part, et les coefficients de i d'autre part, c'està-dire en posant

[a -+- bi) + [a' -\- Vi) = [a + a')-\-{b-\- b')i.

En employant la représentation géométrique, on voit que la somme

des imaginaires représentées par deux points M et M' (fig. 60) est elle-même représentée par l'extrémité M' de la somme géométrique des vecteurs OM et OM' (n** 74) ; cette remarque s'étend à la somme d'un nombre quelconque de nombres.

4^ Le produit de deux nombres est Fig. 60. donné par la règle ordinaire de multi-

plication des polynômes:

(a -4- bC) {a' -h b'i) = aa' -h ab'i -+- ba'i -h bb'i* ;

si Ton y remplace i* par — 1, on a

(2) (a H- bi) (a' -h b'i) = {aa' — 66') -\- [ab' -4- 6a')i.

En particulier, le produit de deux nombres imaginaires conjugués est

il est réel et égal au carré du module de l'un ou de l'autre nombre.

5<> Les produits et les puissances d'un nombre quelconque de facteurs sont donnés par les règles ordinaires de la multiplication algébrique et donnent lieu aux mêmes remarques que lorsque les facteurs sont réels; par exemple, on peut intervertir d'une manière quelconque Tordre des facteurs, on peut remplacer plusieurs d'entre eux par leur produit effectué; pour. qu'un produit de plusieurs facteurs soit nul, il faut et il suffit que l'un des facteurs soit nul, etc.

En particulier, les puissances successives du nombre î sont

i = i\ i2 = — 1, £» = i«x» = — i, i* = (i*)« = + l, i«=(i*)i = f, ...; elles se reproduisent dans le même ordre de quatre en quatre.

6* Pour diviser deux nombres Tun par Tautre et mettre le quotient sous la forme a + 6i\ il est commode de multiplier ces deux nombres par la quantité conjuguée du dénominateur et d*eiTectuer les produits indiqués ; on a de cette façon

g H- 6* ^ (g -h bi) {a' — b'i) {aa' 4- bb') -4- {ba' — ab')i a'-^-Vi {a'-^b'i){a' — b'i)'^ a'* -+-6'*

Remarque. — On voit que le résultat d'un certain nombre d'opérations : addition, soustraction, multiplication, division, effectuées sur des nombres de la forme a + bi peut toujours être ramené à la même forme A + Bi , A et B étant réels. Remarquons que si Ton effectue une même suite d'opérations, d'une part sur certains nombres donnés, d'autre part sur leurs conjugués, les deux résultats sont conjugués, et sont de la forme A -\- Bi et A — Bt ; on peut en effet le vérifier pour chaque opération élémentaire, et c'est encore vrai pour un nombre quelconque d'opérations successives.

209. Équation du second degré. — Nous avons vu que la somme des carrés de deux nombres réels a' + b^ est égale au produit de deux nombres imaginaires conjugués a-\-bi et a — bi \ nous allons déduire de là que toute équation du second degré à coefficients réels, lorsqu'elle n'a pas de racine réelle, est satisfaite par deux nombres imaginaires conjugués.

Considérons en effet l'équation du second degré écrite sous la forme

«* -\-px -h y = 0 ;

lorsque ^ — ç est négatif, le premier membre peut se mettre sous la forme d'une somme de deux carrés

le second membre peut être décomposé en deux facteurs imaginaires conjugués, et nous avons

x*+px + q = {x+^-iyJq-PS^{x^^ + iyJq-'Çj.

Pour que le produit des deux facteurs du second membre soit nui, il faut et il sufQt que l'un des facteurs soit nul, c'est-à-dire que xsoit égal à Tun des deux nombres imaginaires conjugués compris dans la formule

ces nombres sont donc les deux racines de Téquation.

En partant de ce résultat, on peut dire que toute équation du second degré à coefficients réels a deux racines soit réelles et distinctes, soit réelles et égales, soit imaginaires conjuguées.

210. Formule de Moivre. — Le produit et le quotient de quantités imaginaires prennent une forme simple lorsqu'on met en évidence leurs modules et leurs arguments. Si nous formons le produit de deux nombres mis sous la forme (i), nous avons d'après la formule (2),

f(cos 0 4- i sin 6) p' (cos Ô' -h i sin 6')

= pp' [cos 0 cos 0' — sin 6 sin 6' -t- î(sin ô cos ô' -h sin 6' cos 6)]

= pp' [cos (Ô H- ô') -h i sin (6 + 6')]^

Nous obtenons ce résultat : le produit de deux imaginaires a un module égal au produit des modules et un argument égal à la somme des arguments des deux fadeurs.

Deux nombres conjugués ayant même module et des arguments égaux et de signes contraires ont, d'après cela, un produit réel et égal au carré du module de l'un d'eux, comme nous l'avons déjà constaté.

De même, le quotient de deux imaginaires a un module égal au quotient des modules et un argument égal à la différence des arguments du dividende et du diviseur.

La règle que nous venons de donner pour le produit de deux nombres s'étend de proche en proche à un nombre quelconque de facteurs ; si les facteurs sont égaux et en nombre m, nous voyons que la puissance m' du nombre p (cos 0 + 1 sin 6) a pour module la puissance m* du module p et pour argument m fois l'argument 0 ; elle est égale à p'*(cosmô + isin/n6]. En particulier, si p est égal à l'unité, nous avons la formule suivante, connue sous le nom de formule de Moivre:

(3) [cos ô -f- 1 sin ô]" = cos mô h- i sin mô .

211. MallIpUcatlon des arcs. «— Le premier membre de cette relation, développé suivant la formule du binôme, a pour valeur

- *. Tfi . „., ^ , - m (m — i) .^ o ^ . « *

cos"*6-f--T- icos"*"* ôsinOH ^-z — ^ — ^ i*cos"'"2 6sm*6+ • •--;

si nous y remplaçons les puissances i', i', ... par — i , — i, ... (n'^ 208, S"") et si nous réunissons les parties réelles d'une part et les parties purement imaginaires d'autre part, nous mettrons le résultat sous la forme A H- Bi , A et B étant réels ; pour l'égaler au second membre, nous devons égaler d'une part les parties réelles, et d'autre part les coefficients de i'; en opérant ainsi, nous obtenons les deui formules suivantes:

(4) cos mô = cos"* 0 ^ — 5 — ^ cos"*"* 6 sin^ 0

m{m — i)(m — 2)(m — 3) „ ,« . ^, 4- — ^ ^^^2 3 4 ■ ^^^ ® sm^ 6 ;

/wN . - m , ^ . ^ m(m — i){ni — 2) « -^ . ,*

(5) sin m6 = -j- cos"^* ô sm 6 ^ — { 2 ^ cos"-' 6 sm' 6

H i z — il ^ -' cos'""'' ô sm^ 9 — • • • .

Ce sont les formules de multiplication des arcs, donnant le sinus et le cosinus de l'arc m9 en fonction du sinus et du cosinus de 6.

En les divisant l'une par l'autre, et divisant les deu< second» membres par cos"* 6, nous obtenons la formule donnant tg m8 en fonction de tg 6 ; elle est

(6) tgmO =

En particulier, pour m = 3, nous avons

(7) cos 36 = cos' ô — 3 cos 0 sin* 6 = 4 cos' 0 — 3 cos 6 ,

(8) sin36 = 3cos'6sin6 — sin'6 = 3sin 6 — 4 sin'e,

^^^ *^^^- i-3tg«ô