Division des arcs. — Cos — Proposons-nous d'abord de

calculer cos — connaissant cos 6 ; la question peut être résolue de m

deux manières, soit numériquement au moyen des tables, soit algébriquement.

Dans la première méthode, on commence par calculer au moyen des tables l'arc compris entre 0 et ir ayant pour cosinus le cosinus donné, celui-ci étant supposé compris entre — 1 et h- 4 ; si 60 est cet arc, on sait que tous ceux qui ont même cosinus sont compris dans la formule

k étant un entier quelconque ; leur m* partie a pour valeur

6 ^2A'7c^ Oq ^ m m m

et la valeur cherchée pour cos — est donnée par la formule générale

cos — = cos 1 — di -2- ).

Bien que k doive prendre toutes les valeurs entières de — 00 à + 00, le second membre n'a que m valeurs distinctes, obtenues en donnant à k les valeurs 0,1,2, ... , m — 1 , et en prenant le signe -h

devant — ; ces valeurs sont m

(10) cosii, cosf2.^i<,\ eosr?i^?^^ll^+«^l.

En effet, si Ton considère d'abord un arc h — » et si k est

négatif ou supérieur à m — 1 , cette valeur de k diffère de l'un des nombres 0, 1, ... , m — 1 par un multiple de m; les arcs correspondants diffèrent par un multiple entier de 2^ et ont même cosinus ;

si l'on considère maintenant un arc de la forme -^ on peut

[2r— fcw e 1 mm

— ^ ^ H — ^ I ; il est égal et de signe contraire à l'un m mj

des arcs considérés précédemment et a le même cosinus que cet arc.

Il résulte de là que l'on a seulement m valeurs pour cos — * et

que ces valeurs numériques sont ceDes des m quantités (10); on les évalue numériquement au moyen des tables.

Pour déterminer cos— par la méthode algébrique, on utilise Téquam

tion(4); on y remplace au second membre sin'O par 1 — cos^O, de manière à mettre ce second membre sous la forme d'un polynôme de

degré m en cosO; on remplace enfin 0 par — dans les deux

membres. On obtient de cette façon une équation de degré m en cos — ; ses m racines sont les m valeurs (10), dont nous avons démontré précédemment Texistence; nous voyons par là que ces m racines sont réelles.

Dans la pratique, on ne cherche pas à résoudre algébriquement cette équation ; au contraire, on utilise le procédé de calcul trigonométrique que nous avons mentionné dans la première méthode, pour déterminer numériquement ses racines. Par exemple, Téquation

qui donne cos— en fonction de cosO s'obtient en remplaçant b par — dans Téquation (7) ; elle est

4 cos' -:r — 3 cos -^ — cos 0 = 0 ;

on évalue les valeurs numériques de ses trois racines en calculant au moyen des tables les trois quantités

% étant un arc ayant pour cosinus le cosinus donné.

cos ~ » cos 1