Sin — Proposons-nous de la même manière de calculer

sin — connaissant sin 6. Par la méthode trigonométrique, nous calm

culerons au moyen des tables Tare 6o compris entre — — et -h ^

ayant pour sinus le sinus donné, celui-ci étant supposé compris entre — 1 et -h 1 ; tous les arcs 6 sont alors compris dans les formules

6 = 2A-7c-f- 6o, 6 = (2ft-h l)iç — Ôo, et leurs m^ parties dans les formules

-L = ?^^io^ e ^(2/c+l)7c Op.

le sinus cherché est alors donné par Tune des deux formules générales

sin " - = sm ( h -2. ) » sm — = sm ( ~ 2. \ .

Comme précédemment, nous verrions que la première formule donne

seulement m valeurs pour sin — » et qu'on les obtient en donnant

à k les valeurs 0,1,2, ... , (m — 1); ces valeurs sont

/..v • 60 . /27C . Oo\ . r2(m — i)t: . %1

H sm-^T sm{ — -1--^). ..., sm ^ ^ -4--^

Nous allons montrer que si m est impair, les sinus donnés par la deuxième formule sont égaux aux précédents ; supposons en effet que

l'on pose m = 2m' -h 1 ; on vérifie que Tare '^ est le

supplément de -^ ^ H — -> et il a même sinus que lui ; les sinus

de la seconde série d'arcs sont alors les mêmes que ceux de la première série, et leurs valeurs sont celles de la suite (H) ; il existe donc seulement m valeurs de sin

Si au contraire m est pair, les sinus de la seconde série d'arcs sont différents de ceux de la première ; leurs valeurs sont au nombre de m ; elles sont égales, comme le montrerait un raisonnement analogue aux précédents, aux m quantités

il existe donc dans le cas de m pair 2m valeurs de sin — 1 celles des nombres des suites (11) et (12).

Pour déterminer sin — par la méthode algébrique, on utilise

Téquation (5) ; si m est impair, les puissances de cos 6 au second membre sont toutes paires, et Ton peut remplacer chaque fois cos' 6 par 1 — sin'O; on obtient de cette façon au second membre un polynôme de degré m en sin 0 ; en remplaçant enfin aux deux mem-

bres ô par — 1 on obtient une équation de degré m en sin — ; les m racines sont les valeurs (11) et elles sont toutes réelles; leur

calcul numérique s'effectue dans la pratique au moyen des tables par la méthode trigonomé trique.

Si m est pair, les puissances de cos 0 au second membre de

1 équation (5) sont toutes impaires ; si Ton forme le rapport — — i il

ne renferme cette fois que des puissances paires de cosO et peut être mis, en remplaçant cos^ 6 par 1 — sin* 6 , sous forme d'un polynôme de degré m — i en sin 6 . En élevant alors les deux membres

. .. sin'mô .. sin'mô . ,

au carré, on voit que r-— ou bien -z t-tt est un polynôme

cos*0 1 — sm*ô '^ •'

de degré 2m — 2 en sin 6, et Ton en déduit la valeur de sin' mô sous forme d'un polynôme de degré 2m en sin 0 ; il suffit de rem-

placer 0 par — pour avoir une équation de degré 2m donnant

sin — en fonction de sin 0 ; les 2m racines de cette équation sont m

les valeurs (il) et (12) ; nous voyons par là que ces 2m racines sont encore réelles.