Rèsolatlon de l'équalion binôme. — Considérons d'abord
l'équation
af" — 1 = 0
et cherchons les nombres réels ou imaginaires qui peuvent y satisfaire. Supposons que x soit écrit sous la forme p(cosO + tsinO); d'après ce que nous avons dit {u? 210), af^ est égal à p'"(cos mO -h i sin mO) ; son module est p"* et son argument m6 ; pour que x^ soit égal à Tunité, il faut et il suffit que le module p*" soit égal à Tunité, et que l'argument mO soit égal à un multiple entier de 2tc de la forme 2A:ir, k étant un entier quelconque, positif ou négatif. Nous en concluons que p = 1 et
de sorte que les nombres x cherchés sont donnés par la
formule générale
X = cos h i sm
c'est Fexpression générale des racines de Téquation binôme x^ — 1 = 0. Les valeurs de x sont seulement au nombre de m distinctes, obtenues en donnant à k les valeurs 0, 1, 2, ... , [m — 1); la première est toujours réelle et égale à 1 . Si m est impair, toutes les autres sont imaginaires; si m est pair, il existe une seconde
racine réelle égale à — 1 , obtenue en faisant k = — ^ et les autres
racines sont imaginaires ; les m racines (13) sont dites les racines m'* de Tunité.
Si Ton sait résoudre Téquation binôme par les méthodes de l'algèbre, et si Ton met ses racines sous la forme a + At, les nombres
2Aic a et 6 sont, d'après la formule (13), les valeurs de cos et de
2/nt
sin ; la comparaison des deux méthodes fournit ainsi un procédé
de calcul de ces lignes trigonométriques.
Considérons par exemple l'équation x^ — 1=0; elle se décompose en deux autres, en écrivant
ses trois racines sont
les deux dernières, qui sont imaginaires conjuguées, sont appelées les racines cubiques imaginaires de l'unité ; on vérifierait facilement qu'elles
sont égales à cos -^ H- i sin -^ et à cos ~ -+- i sin -^ en utilisant
les valeurs des sinus et des cosinus de -—- et de -^\ d'autre part, la remarque que nous avons faite fournit inversement les valeurs de cos-^' sin-^» cos— et sin— lorsquon a résolu algébriquement l'équation or' — 1=0.
Considérons maintenant Téquation générale
où A est un nombre quelconque, réel ou imaginaire ; ses racines sont appelées racines m" algébriques de A, et Tune quelconque d'entre
elles est représentée par ^k .
Si A est donné sous la forme r(cos a -+- 1 sin a), nous voyons déjà, d'après le n*» 210, que le nombre
Xo = i/^ ( cos — -h i sin — V \ m m j
où v^ désigne la valeur arithmétique du radical^ satisfait à l'équation et est une de ses racines ; pour trouver les autres, posons x = Xqx' ; x' sera alors donné par l'équation x'*" = 1 , et il aura m valeurs fournies par la formule (13). Nous voyons ainsi qu'il existe m racines m*^ algébriques d'un nombre, et qu'on les obtient en multipliant l'une d'elles par les m racines m" de l'unité.
Si l'on donne par exemple un nombre réel A , et si l'on représente
par vA sa racine cubique réelle, ses trois racines cubiques algébriques sont, d'après ce que nous avons dit au numéro précédent,
216. Relations d'Euler. — Il existe une relation remarquable entre la fonction exponentielle et les fonctions trigonométriques. Ck)nsidérons la série qui sert à définir e* :
et supposons qu'on y remplace x par ix ; nous allons montrer que la somme des n premiers termes a une limite, et calculer cette limite.
En remplaçant partout où c'est possible i^ par — i , et séparant la partie réelle de la partie imaginaire, nous mettrons la somme des n premiers termes de la série formée avec ix sous la forme
mais les parenthèses sont les premiers termes des développements en série de coso; et de sinx (n° 182); la quantité précédente a donc une limite, et cette limite est égale à cos x + i sin x .
En convenant de représenter la somme de la série ainsi obtenue par e'*, nous avons la relation fondamentale d'Euler,
(14) e'* = cos j: -h i sin jr ; supposons qu*on change i en — i\ nous aurons
e""" = cos X — 1 sin a; ; par addition et soustraction, nous en déduirons
^« I g— te g/a? Q— Ix
(15) cosa; = » sinx= —
Remarquons que la relation (14) nous permet d'écrire une quantité imaginaire p(cos ô -h i sin 6) sous la forme pe'V
Supposons plus généralement que Ton remplace dans la série C X par un nombre quelconque de la forme x-hiy, x ei y étant réels ; nous allons montrer que la somme des n premiers termes a une limite, et la déterminer ; nous la représenterons par le symbole c*+'^
Si nous nous reportons en effet à la démonstration du théorème du n* 45, nous voyons qu'elle s'applique sans grande modification au cas où y est remplacé par iy ; elle nous montre que les n premiers termes de la série e*-*-^' ont une limite, et que cette limite est égale au produit des deux séries e* et e'^ ; nous aurons donc
ou, en remplaçant e^ par sa valeur,
(I6J e*+*^ = e*(cos y 4- 1 sin y) .
VocT. — Math. sup. ' î<
217. Calcul de cos" d et de sin" 6. — On a souvent besoin d'évaluer cos"" 0 et sin" 6 en fonction linéaire des lignes trigonométriques, cosinus et sinus, de 0 et de ses multiples ; pour m = 2, Ton a
2 cos« e = 1 -h cos 26, 2 sin*6 = 1 — cos 26 ;
on a de même, d'après les formules (7) et (8) (n° 211),
4 cos* 6 = cos 36-4-3 cos 6 , 4 sin' 6 = 3 sin 6 — sin 36 .
Une méthode générale consiste à utiliser les formules de transformation d*une somme ou d'une différence de sinus et de cosinus en un produit ; elles permettent inversement d'évaluer un produit sous forme linéaire, de la façon suivante :
2 sin a sin 6 = cos (a — 6) — cos (a -h 6) , 2 sin a cos 6 = sin (a -h 6) -h sin (a — 6) , 2 cosa cos 6 = cos (a -+- 6) + cos (a — b) ;
eUes permettent alors d'évaluer de proche en proche un produit d'un nombre quelconque de sinus ou de cosinus sous forme linéaire.
Pour calculer rapidement cos"* 6 et sin" 6, nous emploierons une autre méthode et nous utiliserons les relations (15); écrivons la première sous la forme
2cos6 = e'«-he-*»,
et élevons les deux membres à la puissance m ; nous aurons
(17) 2"» cos" Ô = (e*» H- c-'«)"*
en réunissant les termes équidistants des extrêmes, dont les exposants sont égaux et de signes contraires, et en utilisant la relation (14), nous aurons, après division par 2,
(18) 2"-* cos" 6 = cos me H- Y cos (m — 2)6
, 7n(iii— 1) , t\A .
H ^ ^ cos (m — 4)6-1- • • • ;
il faut remarquer toutefois que si m est pair, il existe au milieu du second membre de la relation (17) un terme constant qui est le coefficient
de cosO; ce coefficient, dans le second membre de la formule finale, doit être divisé par 2.
De la même manière, en partant de la relation
2isine = c'» — e-'S
et opérant comme précédemment, nous obtiendrons, si m est impair,
{— i)^~2— * sin"» e = sin me — -^ sin (m — 2)0
H ^-— ^ — ' sin (m — 4)6 — • • • ,
et si m est pair,
(— i) '' 2—' sin- Ô = cos me — Y^ cos (m ~ 2)0
H ^ — ---^ cos (m — 4)0 —
nous devons toutefois observer, comme dans la formule (18), que le coefficient de cosO au dernier terme doit être divisé par 2.
218. Fonctions hyperboliques* — Les formules (15) ramènent Tétude des fonctions trigonométriques à celle de rexponentielle. On définit par des formules analogues de nouvelles fonctions appelées hyperboliques ; ce sont
en a: = » sn a; = r — » th x :
2 ch x e* -h e~*
elles sont appelées respectivement cosinus hyperbolique, sinus hyperbolique et tangente hyperbolique de x .
Leurs propriétés rappellent celles des fonctions trigonométriques ; nous mentionnerons en particulier les suivantes, qu'il est facile de démontrer:
ch* X — sh' X = 1 ;
ch(x -f- y ) = ch X ch y -h sh a; sh y ; sh(x -f- y) = sh x ch y -h sh y ch x ;
c/shx , c/chx V
— ; — = ch X : — ; — = sh X . ax dx
219. Nombre des racines. — Soit une équation algébrique de degré m,
dont les coefficients sont des nombres réels ou imaginaires de la forme a + 6i; il résulte d^une proposition énoncée par d'Âlembert, et que nous ne démontrerons pas, que le premier membre de Féquation devient nul au moins pour une valeur de la variable, réelle ou imaginaire de la forme a + fri ; une telle valeur s'appelle une racine de Féquation.
Si Xi est racine, f{x) est divisible par x — ar,, et nous pouvons^ poser, en effectuant la division,
/•(a;) = (x — arOcp(x);
<p [x) est un polynôme de degré m — 1 à coefficients réels ou imaginaires, dont le premier terme est AqX*^* .
D'après la même proposition, ^{x) a au moins une racine; si Xi est une telle racine, <p(x) est divisible par [x — x^) ; en appelant ^ [x) le quotient, nous pouvons écrire
^[x) = [x — Xi)^[x), nous en déduisons
/•(a;) = (x — xO(x — Xî)^.(x),
^ (x) étant de degré m — 2, et ayant A^x*"-"* comme terme de degré m — 2. En continuant de la même manière, nous décomposerons f[x)
€0 un produit de m facteurs du premier degré sous la forme
(2) f[x) = Kfs[x — x^)[x — x^ ..• [x — x^y
Ao étant le coefficient de x^ dans le premier membre de (i).
La relation (2) montre que f{x) s'annule pour m valeurs de jr, égales à xi^Xg, ... ,Xm et qu'il ne peut s'annuler pour d'autres valeurs ; nous arrivons ainsi à cette conclusion :
Théorème I. — Une équation algébrique de degré ma m racines.
Si les coefficients de l'équation (!) dépendent d'un ou plusieurs paramètres, et si ces paramètres, en variant d'une manière continue, prennent des valeurs pour lesquelles les p premiers coefficients Ao, A,, . . . Ap-i deviennent nuls, l'équation (i) se transforme en une autre de degré m — p ayant m — p racines. On démontre dans ce cas que p des racines de l'équation primitive ont leur module augmentant indéfiniment; on dit alors que ces p racines deviennent infinies.
220. Relations entre les coefficients et les racines. — Les valeurs de f[x) fournies par les équations (i) et (2) doivent être identiques ; le développement du produit
[x — Xi){x — x^) ... (x — x«)
ordonné suivant les puissances décroissantes de x doit alors être identique au polynôme
Ao Ao Aq
Or, nous avons
{x — Xi) (x — Xa) = X* — (xj -h X8)x -H XjXj,
(x Xi)(x — Xj) (x — X3) = X' — (Xi -hX2H-X3)x*
-H (XfXg H- XiXs -f- XjX3)x — X1X2X34,
et ainsi de suite ; nous avons en général pour m facteurs
(4) (a:a:i)(x — Xi) ... (x — x„) = x"» — (2x,)x«»-*
-f- (2xiXt)x"-* ± XjXj ... X,
le coefficient de x*"'^ étant la somme des racines changée de signe, celui de x"^*, la somme des produits deux à deux, celui de x*~', la
326 THÉORIE DES ÉQUATIOIfS
somme changée de signe des produits trois à trois, etc., le terme constant étant enfin le produit des racines avec le signe + si m est pair, et le signe — si m est impair ; nous vérifierions en effet que si Tégalité (4) a lieu pour un produit de m facteurs, elle a encore lieu pour un produit de m + 1 facteurs. En écrivant que le polynôme (3) et le second membre de Téquation (4) sont identiques et ont par suite les mêmes coefficients, nous obtenons les relations
Ces relations donnent, au moyen des coefficients, la somme des racines, la somme de leurs produits deux à deux, trois à trois, et ainsi de suite jusqu'à leur produit ; elles sont la généralisation des relations entre les coefficients et les racines démontrées dans le cas d'une équation du second degré.
Par exemple, les racines de Téquation du troisième degré
X* -^^ px -\- q = 0 étant désignées par X|,a^ et X3, nous avons
Xi -\- Xi -\- X3 = 0 , XiXi -h XfXz -h x^i = p , XiX^x^ = — — q .
221. Racines multiples. — II peut arriver que plusieurs des hombres Xj, or^, . . . Xm soient égaux; si p d'entre eux sont égaux à Xi , on dit que Xi est une racine multiple d'ordre p de l'équation donnée. En réunissant dans le second membre de la relation (2) les facteurs identiques, nous obtenons la forme générale suivante de décomposition de f{x) en facteurs linéaires :
(5) f{x) = Ao(a;— x,)P(x — x,)« . . . ,
X, étant racine multiple d'ordre /), x, d'ordre 9, etc. Les racines d'ordre i, 2, 3, . . . sont dites simples, doubles, triples...
Théorème II. — La condition nécessaire et suffisantepour qu'âne racine Xi de V équation f{x) = 0 soit d* ordre p de multiplicité est qu'elle annule le premier membre et ses p — 4 premières dérivées y sans annuler sa dérivée d'ordre p.
Pour le démontrer, appliquons la formule de Taylor (n* 162) à la
fonction f{x) et développons-la suivant les puissances de x — Xi\ nous avons, en faisant 6 = a:, a = a?i,
pour que Xi soit une racine multiple d'ordre />, il faut et il suffît que Ton puisse mettre (x — x^^ en facteur dans le polynôme f{x)\ pour que cela ait lieu, il faut et il suffit que les premiers termes du second membre de la relation précédente aient leurs coefficients nuls jusqu'à celui du terme de degré p — i inclusivement, c'est-à-dire que l'^on ait
et, de plus, que la dérivée d'ordre /), /^^(xi), ne soit pas nulle, ce qu'il fallait démontrer.
Exemple. — L'équation
a<lmet la racine 1 ; on vérifie que cette racine annule le premier membre et ses deux premières dérivées sans annuler la troisième ; par conséquent, elle est racine triple.
Gomme la somme des quatre racines est égale à 5, et que trois d^entre elles ont pour valeur 1, la quatrième est égale à 2.
Remarque. — L'énoncé du théorème que nous venons de démontrer pour une équation algébrique sert de définition à ce que l'on doit entendre par ordre de multiplicité d'une racine d'une équation transcendante, en supposant toutefois que la formule de Taylor soit applicable. Soit par exemple l'équation
X — sinx= 0,
qui admet pour racine 0 ; les deux premières dérivées du premier membre s'annulent pour x = 0 , et la troisième ne s'annule pas ; on dit alors que la racine est d'ordre de multiplicité 3.
Il résulte de là que si le premier membre d'une équation algébrique ou transcendante est développable par la formule de Taylor suivant les
puissances de x — Xi et si Xi est une racine multiple d'ordre />, le déreloppement commence par un terme de degré />.
222/ Équations à coefficients réels. — Supposons qu'une équation algébrique telle que (1) ait ses coefficients réels, et qu'elle admette une racine imaginaire a + ^i, d'un certain ordre de multiplicité /> égal ou supérieur à 1 ; si nous remplaçons x par a + pi dans le premier membre et si nous mettons le résultat sous la forme À + Bi, A et B étant réels, ce résultat doit être nul, ce qui entraîne les conditions que A et B soient séparément nuls (n** 208).
Si nous remplaçons maintenant x par la valeur a — ^i conjuguée de la première, le résultat est conjugué du premier (n** 208, remarque) et a pour valeur A — Bt ; il est nul d'après ce qui précède, et nous en concluons que a — ^i est racine de l'équation.
Le même raisonnement s'applique aux dérivées successives f{x), /■'(a:), . . . /'Cp-«)(x) qui sont à coefficients réels ; elles sont toutes nulles pour a — pi en même temps que pour a + ^i, mais la dérivée d'ordre p ne peut s'annuler pour a — pi, car sinon elle s'annulerait pour a + piy ce qui est contraire à l'hypothèse ; nous concluons de là que a — pi annule f{x) et ses p — 1 premières dérivées, sans annuler la p"; par conséquent, elle est racine d'ordre />, d'où ce théorème :
Théorème III. — Si une équation algébrique à coefficients, réeU admet une racine imaginaire d'un certain ordre de multiplicité, elle admet la racine imaginaire conjuguée, et celle-ci a le même ordre de multiplicité que la première.
Corollaire. — Une équation algébrique de degré impair, à coefficients réels, a au moins une racine réelle, et elle en a toujours un nombre impair.
En effet, le nombre des racines imaginaires est toujours pair, d'après le théorème précédent.
Supposons que l'on décompose le premier membre d'une équation algébrique à coefficients réels en facteurs du premier degré, sous la forme (2) ou (5), et qu'on effectue le produit des facteurs correspondant à deux racines imaginaires conjuguées a -h pi et a — pi ; ce produit
^our valeur
(ar — ce pt)(a; — a -f- PO = (a; — a)« -I- p' ;
18 voyons qu'il se met sous la forme d'un trinôme du second degré à efficients réels, tel que x^ -hpx -f- q . En opérant de la même façon pour tous les couples de racines imatnaires conjuguées, nous pourrons mettre f{x) sous la forme
î) f(x) = k{x'-'Xiy{x — X2Y ... {x^-^piX-hqtYix'^'^-p^'hqiY ''.t
m jfijO:», . . . sont les racines réelles de Téquation f{x) = 0^ et ^ où les trinômes ont chacun leurs coefficients réels, mais leurs racines imaginaires conjuguées, les exposants de ces trinômes étant égaux aux ordres de multiplicité des racines correspondantes de Téquation. Ce résultat peut s'énoncer ainsi :
Théorème IV. — Tout polynôme à coefficients réels est décomposable en un produit de facteurs réels du premier et du second degré.
Par exemple, le poljmome x* + i peut être décomposé en facteurs du second degré ; nous écrirons pour cela
x*4-4 = (a:2-f-l)* — 2x»=(a;»-f-t/2x-f-i)(x2 — v/2j?-hi);
en annulant chacun des deux trinômes, nous obtiendrons les quatre racines de l'équation x^ + 1 == 0, et ces racines sont deux à deux imaginaires conjuguées.
223. ÉlimlnaUoii. — Ëliminer une inconnue x entre deux équations algébriques
(7) f(x) = Aox" -h AiX^' + . . . 4- A«,x-f- A« = 0,
(8) (p(x) = BoxP -h B,x'>-* -+-...+ Bp ix + Bp = 0,
c'est chercher la condition à laquelle doivent satisfaire les coefficients de ces équations pour qu'elles aient une racine commune ; théoriquement, on l'obtient en tirant la valeur de x de Tune et la portant dans l'autre, mais ce procédé n'est pratique que si l'une des deux équations est du premier degré. Par exemple, le résultat de l'élimination de x entre les équations
330 THÉORIE DBS ÉQUATIONS
est
afc' — 6a' = 0.
Dans le cas d*équations quelconques, nous allons indiquer des méthodes d*élimination n'exigeant que des calculs rationnels; Tune d'elles consiste à former des combinaisons des équations données qui soient réductibles à des équations de degrés moindres, jusqu'à ce qu*on arrive à un système de deux équations dont Tune soit du premier degré.
Pour y arriver, un moyen commode consiste à effectuer les calculs qui conduisent au plus grand commun diviseur des premiers membres des deux équations. Soient f[x) et (p(x) ces premiers membres, q{x) et r(x) le quotient et le reste de leur division ; Tidentité
montre que toute solution commune aux deux équations f{x) = 0, 4p(x) = 0 est aussi une solution commune aux équations f (x) = 0 et r(x) = 0 ; comme elles sont de degré moins élevé que les premières, le problème est rendu plus simple.
On opère de la même façon sur ^{x) et r{x) en effectuant leur division, et Ton continue ainsi comme dans la théorie arithmétique du plus grand commun diviseur, jusqu'à ce qu'on arrive à un reste du premier degré ; on écrit alors que la valeur de x qui annule ce reste annule aussi le reste précédent ; cette valeur se trouve être la solution commune aux deux équations données.
Comme exemple, considérons deux équations du second degré
f[x) = ax* -h fcx 4- c = 0, <p(a:) = a'x« -h 6'x + c' = 0 ;
nous pouvons supposer a et a' différents de zéro, car sinon Tune des équations serait du premier degré, et il suffirait d'écrire que la solution de cette équation satisfait à l'autre.
Le reste de la division de f[x) par f^[x) est, au facteur a' près, égala
(9) a'f{x) — a<p(x) = [ba' — aV) x 4- {ca! — ad).
Si ha! — aV n'est pas nul, ce reste s'annule pour
/tf\\ ca' — ac\
écrivons que cette valeur annule f{x) ; nous avons la condition
a{ca' — ac'Y' — b[ca' — ad){ha' — aV) -\- c{ba' — abj = 0 ;
si nous mettons ba' — ab' en facteur dans les derniers termes, nous voyons que le premier membre de cette condition contient a en facteur, et en supprimant ce facteur qui n'est pas nul, il nous reste une relation que Ton écrit ordinairement sous la forme suivante
(H) [ad — ca'f — {ab' — ba') [bc' — cb') = 0 ;
cest la condition pour que les équations données aient une racine commune; cette racine a la valeur (10).
Nous avons supposé ba' — ab' différent de zéro ; si cette différence est nulle, le reste (9) ne peut s'annuler que si ca' — ac' est nul en même temps; la condition (il) est alors nécessaire et suffisante pour qu'il en soit ainsi. Remarquons que dans ce cas on a
elles équations ont leurs deux racines communes.
224. Élimination par la méthode de Sylvester. — Nous allons indiquer une méthode d'élimination fondée sur la théorie des déterminants ; pour simplifier, nous raisonnerons sur deux équations dont Tune est du. troisième degré et l'autre du second :
: 12) f[x) = Aox' -+. A,a;* -f- A^a: -|- A3 = 0,
(13) <p(a;) = BoX» -f- BiX -f- Bj = 0 .
Toute solution commune à ces équations satisfait aux 3 + ^ == ^ équations suivantes dont le degré est au plus égal à 3 + 2 — 1=4:
xf[x) = K^ -f. A,a;« -I- Ajac* -f- Aga: = 0 ,
f{x) = Ao»' -h Aiac* -I- A2X -h A3 = 0,
x^<f{x) = Boa:* -h Biir' -I- BjX^ = 0 ,
a:(p(a:)= Box' -+- Bia;« -f- BaX =0,
<p(a:)= Boa:«-i-B,a:-hB2 = 0,
Ces cinq équations sont satisfaites par le même système de valeurs •des quantités x, a?*, a?', x^, que Ton peut considérer comme quatre inconnues entrant linéairement; par conséquent, le déterminant des coefficients de ces inconnues et des termes constants doit être nui (n** 15) ; nous obtenons ainsi la condition nécessaire suivante:
Ao
Ao
Bi
0 0 Bo Bi B2
Le premier meoibre, que Ton appelle résultant de Télimination, est «n déterminant facile à former ; il contient les coefficients de chacune des équations dans un nombre de lignes égal au degré de Tautre.
Nous allons montrer que la condition précédente, qui est nécessaire, est aussi suffisante et que, si elle est remplie, les deux écpiations (12) et (13) ont une racine commune. Pour cela, multiplions les éléments de la première colonne du déterminant (14) par x*, ceux de la seconde par x' , ceux de la troisième par x' , ceux de la quatrième par X, et ajoutons-les à ceux de la dernière ; nous obtenons ^insi un déterminant égal au premier, par conséquent nul, qui est
Ao Al Aï A3 xf{x)
0 Ao Al As f{x)
Bo B| Bj 0 x«3.(x) =0.
0 Bo Bi Bî xo(x)
0 0 Bo Bi 9(x)
Si nous développons le premier membre suivant les éléments de la dernière colonne, nous avons une identité de la forme
f{x) (Lx + M) = <p(x) (Px^ -4- Qx -^ R) ;
les racines du premier membre doivent être les mêmes que celles du second ; or, une seule au plus des racines de (j>(x) qui entre au second membre peut annuler le facteur Lx + M ; par conséquent, une au moins des racines cp(x) annule /{x) , ce qu'il fallait démontrer.
225. Râsolutlon de deux équations algébriques à deux Inconnues^
— Soient deux équations algébriques à deux inconnues x et y ,
Désignons par R{y) le résultant de Télimination de x entre ces deux équations ; si (xi , 2/1) est une solution du système (15), les deux équations en x
(16) /*(^,yi)==0, T(^,y,) = 0
ont une solution commune égale à o^i , et le résultant de Télimination de x doit être nul ; or ce résultant n'est autre que H(yi) ; par suite, il est nécessaire que yi soit une racine de Téquation résultante R{y) = 0. Réciproquement, si 1/1 est une racine de cette équation résultante^ les deux équations (16) ont au moins une racine commune ; en calculant cette racine et en la désignant par Xi , le système (a?| , yi) est une solution des équations (15). Nous avons donc ce résultat:
Poar résoudre deux équations algébriques à deux inconnues telles que (15), on élimine Vune des inconnues x entre les deux équations; féquation résultante fournit les valeurs de Vautre inconnue y; à chacune des valeurs 1/1 de y ainsi déterminées correspond au moins une valeur Xi de x qui est la racine commune aux équations (16).
Théorème de Bezout. — Le nombre des solutions de deux équations algébriques de degrés m et p est égal au produit mp desdegrés de ces équations.
Nous allons le démontrer dans le cas de deux équations de degrés 3 et 2 ; le raisonnement serait le même dans le cas général.
En ordonnant les premiers membres suivant les puissances décroissantes de X, nous pouvons écrire les équations sous les formes (12) et (13), les coefficients Âq, Ai, ..., Bo, Bi, ... contenant y à un degré au plus égal à Tindice.
Le résultant R{y) de Télimination de x entre les deux équations est le déterminant (14) ; nous- allons voir qu'il est en y du degré
Si nous multiplions la deuxième ligne par y, la quatrième par y,
334 THÉORIE DBS ÉQUATIONS
et la cinquième par j/^, nous multiplions R{y) par^^, et nous avons
Xq Al Â2 A3 0
0 A^y A,y A^y Aay
y*R(y)= Bo B^ Bj 0 0
0 Boy B,y B^y 0
0 0 Boy^ Biy« B^^
dans le déterminant du second membre, les colonnes renferment y aux degrés successifs 0, 1, 2, 3, 4^ de sorte que ce déterminant est une fonction du 10* degré en y; R(y) est dès lors du 6* degré. Comme à chaque racine de Téquation résultante correspond une solution des deux équations, nous voyons que celles-ci ont 6 solutions, ce qu'il fallait démontrer.
Il peut arriver dans certains cas exceptionnels que le terme de plus haut degré de R(y) soit nul, alors, le nombre des solutions diminue : dans tous les cas, il est au plus égal au produit des degrés des deux équations (1) et (2).
Gomme conséquence du théorème de Bezout, nous pouvons énoncer ce corollaire : Deux courbes algébriques d'ordres m et p ont en général mp points communs.
Nous énoncerons sans le démontrer le théorème général suivant:
Le nombre des solutions d'un système de n équations algébriques à n inconnues est en général égal au produit des degrés de ces équations; il peut dans certains cas être inférieur à ce produit.
Corollaire. — Trois surfaces algébriques d'ordres m, p, q ont en général mpq points communs.
226. Condition pour qu'une équation algébrique ait une racine multiple. — Théorème V. — La condition nécessaire et suffisante pour qu'une équation algébrique ait une racine multiple est qu'elle ait une racine commune avec sa dérivée.
Cela résulte immédiatement du théorème II (n"* 221); nous avons vu en effet qu'une racine multiple de Téquation f{x)=^0 annule le premier membre de cette équation et au moins sa première dérivée,
et réciproquement, une racine commune à l'équation donnée et à Téquation dérivée est une racine multiple de la première.
D*aprës cela, on obtiendra la condition pour qu'une équation ait une racine multiple en éliminant Tinconnue entre cette équation et sa dérivée; si Ton opère par divisions successives, les racines du dernier reste non nul sont les racines multiples de l'équation donnée. Une telle racine est double si elle n'annule pas la dérivée seconde de f[x) ; ' plus généralement, elle est racine multiple d'ordre /), si elle annule les dérivées successives de f[x) jusqu'à celle d'ordre /> — 1 inclusivement.
Comme application, cherchons la condition pour que l'équation du troisième degré
ait une racine double ; l'équation dérivée est
3aî2-f.;} = 0.
En divisant les premiers membres l'un par l'autre, nous avons
s'il existe une racine commune aux deux équations, elle doit annuler
le reste de la division, et dès lors elle a pour valeur xi =^^^-i ; en
écrivant qu'elle annule la dérivée 3x* -h/) , nous trouvons la condition cherchée, qui est
La racine double est égale, ainsi que nous venons de le voir, à "-K^ ; comme la somme des trois racines est nulle (n* 220), la racine simple est égale à-î •
