Réduction à une forme simple. — Soit

Aox' -+- A,x- -h Ajx H- A, = 0

réquatîon générale du troisième degré ; pour la résoudre, nous commencerons par la ramener à une forme plus simple en posant

si nous remplaçons x par cette valeur, le terme du second degré disparait dans Téquation en x' ; si nous divisons alors tous les coefficients par celui de x'^, nous obtenons une équation de la forme

x'^-hpx' -hq=0.

Il suffît donc de résoudre cette dernière équation et de retrancher

de chacune de ses racines la quantité r-p pour avoir les racines de

oAq

1 équation donnée. Nous supposerons désormais que Ton a fait au préalable le calcul que nous venons d'indiquer, et nous ne nous occuperons que de Téquation mise sous la forme

(ij x^-{-pX'{'q=0.

Nous avons vu (n^ 226) que si la quantité

est nulle, réquation a une racine double et dans ce cas nous avons

RÉSOLUTION DE l'ÉQUATION DU TROISIÈME DEGRÉ 337

déterminé les racines. Nous allons montrer que si, p et q étant supposés réels, la quantité (2) est négative, l'équation a ses trois racines réelles; si cette quantité est positive, l'équation a une racine réelle et deux racines imaginaires.

228. Cas de trois racines réelles. — On calcule numériquement les racines de Téquation (1) en les comparant à celles de Téquation qui

donne cos — connaissant cosô; nous avons vu (n** 212) que cette

dernière est

(3) cos' "5^ — -j- cos — -— — cos 6 = 0,

et nous savons qu'elle a ses trois racines réelles. Posons dans Téquation (1)

(4) a;=pcos|-; cette équation devient, après division par p',

(5) cos»| + ^cos4-f-4 = 0-

Pour qu'elle soit identique à (3), il suffit de poser ce qui donne

pS 4 p' 4

P, cos9 = H=

Pour qu'à des valeurs données de p ei de q correspondent des valeurs réelles pour p et 0, il est nécessaire que p soit négatif, puis que cos* d soit inférieur à Tunité, ce qui conduit à la condition

Cette dernière condition est à elle seule suffisante, car si elle est remplie, elle entraine jo < 0 et par suite les équations (6) permettent de calculer p et 6 au moyen de p et de ç.

Lorsque^ ce calcul est effectué, il suffit de remplacer 0 par la valeur trouvée dans le dernier terme de Téquation (3), puis de résoudre VoGT. — Math. sup. 22

338 THÉORIE DBS ÉQUATIONS

cette équation où cos — est Finconnue ; les racines de Téquation (i ) sont alors données par la formule (4), où Ton remplace p par la valeur (6)

et cos -^ par chacune des trois racines de Téquation (3) ; les trois valeurs

ainsi trouvées pour x sont réelles.

Pour les calculer numériquement, on détermine d'abord au moyen des tables de logarithmes un quelconque des angles 0 dont le cosinus est fourni par la deuxième des formules (6) ; soit % cet angle ; on calcule alors les trois quantités

cos -^ » cos

/On . 27C\ /6o 47C\

qui sont les racines de Téquation (3) ; enfin les racines de Téquation proposée ont pour valeurs

elles sont calculables par logarithmes.

229. Cas d'une seule racine réelle. — Plaçons-nous dans le cas où Ton a

nous allons déterminer les racines de Téquation du troisième degré par une méthode algébrique et montrer qu'une seule est réelle. Remplaçons dans (1) X par la somme de deux quantités inconnues y et 2, ce qui donne Téquation

î/»-hz» + 3yz(y-hz)-f-/)(y-+-z)4-y = 0;

nous pouvons assujettir y et z h une condition choisie arbitrairement, puisqu'elles sont reliées par une seule équation ; écrivons que le coefficient de y -h z est nul, c'est-à-dire que Ton a

(7) 3yz-i-p = 0;

il reste alors la relation suivante pour déterminer 2^ et z :

RÉSOLUTION DE l'ÉQUâTION DU TROISIÈME DEGRÉ 339

L'équation (7) nous donne z = — ^ , et en portant cette valeur dans (8), nous avons, pour déterminer y, Téquation

(9) y*-^çy*-(^y=0.

y^ est donné par une équation du second degré qui a pour racines

-iMihii)'-'

d'après Thypothèse faite sur p et qr, ces deux racines sont réelles ; à chacune d'elles correspondent pour y trois valeurs dont Tune est réelle et les deux autres imaginaires conjuguées. En prenant par exemple le signe + devant le radical carré, nous avons pour y une valeur réelle que nous représenterons par

et deux valeurs imaginaires ; celles-ci sont (n" 215)

/— «-4-tt/3\ /— 1 — iv/3\

Les valeurs de z correspondantes sont, la première, réelle et les <leux autres, imaginaires ; la valeur réelle z^ est telle que le produit

yiZi soit égal à — v ' ^^ bien^ ce qui revient au même, que y\z\

soit égal à ( — ^ ) . D'après cette remarque, z\ est la deuxième racine de Téquation (9), et nous avons

le radical ayant sa valeur réelle ; les autres valeurs de z sont

za = (^ 2 j^" ''=\ 2 j^«-

Nous pouvons vérifier que les produits y^z^ et y^z^ ont la même

valeur que tfiZi et sont égaux par suite à — ^ ; il faut donc associer

zj à ya et «3 à y,.

Les trois valeurs de x sont alors

a:i = yi-hz,

si nous avions pris pour y^ Tautre racine de Téquation (9), il aurait suffi d*intervertir le rôle de y et z, et nous aurions obtenu les mêmes valeurs pour x.

Nous voyons ainsi que, dans le cas où 4/?' -+- 27qr* est positif, Téquation (!) a une racine réelle et deux racines imaginaires ; la formule qui donne la racine réelle est connue sous le nom de formule de Cardan, Si Ton veut calculer cette racine par logarithmes, on rend calculables par logarithmes les racines de l'équation (9), puis on calcule leurs racines cubiques, et Ton fait la somme de ces racines cubiques.

La méthode qui nous a conduit à la formule de Cardan s*applique sans modification au cas où 4/»' h- 21q^ est négatif, et elle donne des expressions algébriques, formées au moyen de radicaux, pour les trois racines de Téquation (1); mais ces expressions sont impropres au calcul numérique de ces racines, car les radicaux cubiques portent sur des quantités imaginaires, et Ton démontre qu*il est impossible de les calculer numériquement sans passer par la méthode trigonométrique.

230. 11 est rare que Ton puisse exprimer les racines d'une équation par des formules au moyen des coefficients, comme cela a lieu pour les équations du second degré ; nous avons bien vu (n** 229) que les racines d*une équation du troisième degré s'expriment par la formule de Cardan. On peut également donner une formule de résolution de l'équation du quatrième degré ; mais on ne peut généraliser ces méthodes ; Abel a démontré en effet que les équations générales de degré égal ou supérieur à cinq ne peuvent être résolues par une expression algébrique formée au moyen des coefficients.

Quel que soit l'intérêt qui s'attache à une formule donnant les valeurs des racines d'une équation, une telle formule est en général peu propre au calcul numérique ; elle ne fournit souvent aucune distinction entre les racines réelles et les racines imaginaires. Nous nous proposons d'indiquer dans ce chapitre des méthodes permettant de calculer avec une approximation suffisante dans la pratique les racines réelles d'une équation numérique donnée, algébrique ou transcendante simple, à coefficients numériques réels.

281. Racines entières ou fractionnaires d*une équation algébrique à coefficients rationnels. — Soit

Aoa?" -h A,x^* -h ..- -f-A^ia:-i-A„=0

une équation algébrique dont nous supposons les coefficients réels entiers ou fractionnaires ; en chassant les dénominateurs, nous pouvons

les supposer tous entiers ; nous nous proposons de calculer les racines réelles entières ou fractionnaires de cette équation.

Cherchons si Téq nation proposée peut avoir une racine réelle entière

ou fractionnaire de la forme ~ * /) et q étant entiers positifs ou

négatifs ; nous pouvons toujours supposer ces nombres premiers entre

eux. En écrivant que ^ annule le premier membre et chassant les

dénominateurs, nous aurons Fidentité

Ao/)" -h Aip'^-^q -h . . . -+- A„,/)ç"-» -h Amq" = 0;

nous en déduirons les deux égalités

/?(Ao/>"-* -h k.p'^-^q -+-..• -4- A«iç"^») = — A.y'" ,

9(A,/)"^' -4- • • • A^i/>y"-* -h A,y"-*) = — Ao/>" .

Comme /) et qr sont premiers entre eux, la première de ces égalités exprime que p doit diviser A^ , et la seconde que q doit diviser Aq, on voit donc que le choix des nombres p ei q est limité. On prendra p parmi les diviseurs de A^ et ç parmi ceux

de Ao , on formera les différentes fractions positives ou négatives —

dont les termes sont pris en valeur absolue parmi ces diviseurs, et Ton substituera ces fractions à x dans le premier membre de Téquation : celles qui Tannuleront seront des racines. On reconnaîtra d'après le théorème II (n*" 221) celles de ces racines qui sont multiples, et on déterminera leur ordre. On divisera enfin le premier membre par le produit des facteurs linéaires de la forme [x — Xi)*", [x — x,)', ..• correspondant aux racines trouvées, affectés d'un exposant égal à Tordre de multiplicité de ces racines, et le quotient, égalé à zéro, donnera les racines réelles irrationnelles et les racines imaginaires de Téquation. Exemple. — Soit Téquation

p doit diviser 2 et être égal à 1 ou 2 ; 9 doit diviser 3 et être égal à 1 ou 3 ; nous sommes conduits à essayer les nombres

on constate que -ni et — -s- sont des racines, et sont simples ; en

divisant le premier membre par les facteurs x — i et Sx + 2 correspondant à ces racines, on le met sous la forme

(a:-i)(3x-|-2)(a:«-f-a:-hl); acines de Téquation, obt( facteuff sont imaginaires, et sont égales à

les deux dernières racines de Téquation, obtenues en annulant le dernier

l±:iV3

Lorsqu'on a ainsi débarrassé Téquation de ses racines entières ou fractionnaires, il peut arriver que Féquation à laquelle on est conduit et dont les racines sont irrationnelles ou imaginaires ait des racines multiples ; on le reconnaîtra (n^ 226) à ce qu'elle a des racines communes avec sa dérivée. On sait dans ce cas former par des divisions successives, comme en arithmétique, le plus grand commun diviseur entre le premier membre de Téquation et sa dérivée ; en l'égalant à zéro, on forme une équation qui a pour racines les racines multiples de la proposée. Nous supposerons qu'on ait résolu cette nouvelle équation, et qu*on ait débarrassé la première de ses racines multiples en divisant son premier membre par les facteurs linéaires correspondants ; nous pourrons donc nous limiter au cas d'une équation n'ayant que des racines simples ; c'est ce que nous supposerons désormais.

282. Llnultes des racines d'une équation algébrique. — Afin de diminuer les calculs que l'on a à effectuer pour obtenir les valeurs exactes ou approchées des racines réelles d'une ^équation algébrique à coefficients réels, il est utile de connaître les limites entre lesquelles sont comprises ces racines. Nous allons d'abord déterminer une limite supérieure des racines positives.

Remarquons d'abord que si tous les coefficients ont le même signe, l'équation n'a pas de racine positive, car le premier membre a un signe constant et ne s'annule pas lorsqu'on donne à la variable une valeur positive. Dans le cas où tous les coefficients n'ont pas le même signe, oous pouvons supposer que celui ()u terme de plus haut degré est positif; nous mettrons en évidence le signe des divers coefficients, et nous écrirons l'équation sous la forme

A^-+- ••• — ApX*-""-!- ••• — AçX"*^-»- ••' =0, Àp, Af , ... désignant les valeurs absolues des coefficients négatifs.

Théorème. — Si n est le nombre des coefficients négatifs, N la plus grande des valeurs absolues de ces coefficients, et m — p le

degré le plus élevé des termes qui les possèdent, on peut affirmer que

i^ut nombre égal ou supérieure la fois à i et à \/~t~" est une limite supérieure des racines de Véquation,

Nous pouvons en effet écrire son premier membre sous la forme

^[x) représentant Tensemble des termes à coefficients positifs autres

que le premier. Or tout nombre supérieur à Kl -r— » mis à la place de

y Ao

X , rend positive la première parenthèse ; tout nombre supérieur à Tunité, mis à la place de a;, rend les suivantes positives, enfin ^(x) est positif pour toute valeur positive de â; ; il en résulte que le premier membre de Téquation est positif et ne s'annule pas dès que x est

supérieur à la fois à 1 et à v/ -— - » ce qu'il fallait démontrer.

y Ao

Pour avoir une limite inférieure des racines de Téquation, il suffit de trouver une limite supérieure des valeurs absolues de ses racines négatives. Or si Ton remplace x par — x' dans le premier membre, réquation en x^ ainsi obtenue a pour racines positives les valeurs absolues des racines négatives de Téquation proposée, et réciproquement. Il suffit donc d'appliquer à Téquation en x' le théorème précédent pour trouver la limite cherchée.

Exemple, Soit l'équation

nous avons /)=4, n = l, Ao=l, N = 50; par suite tout nombre égal ou supérieur à v^0« P^^ exemple 3, est une limite supérieure des racines positives.

L'équatiom transformée de la première, obtenue en remplaçant x par — x\ est

tout nombre égal ou supérieur à yl , 50, en particulier 5, est une limite supérieure de ses racines positives. Les racines réelles de l'équation donnée sont donc comprises entre — 5 et 3 .

233. Séparation des racines. — Tliéorème de Rolle. — Ce que nous allons dire s'applique non seulement aux équations algébriques à coefficients réels rationnels ou irrationnels, mais encore aux équations transcendantes ; nous supposerons dans ce qui suit que tous les termes sont placés dans le premier membre, et nous désignerons ce premier membre par f{x). Nous nous proposons de calculer des valeurs approchées des racines réelles de Téquation; nous commencerons par les séparer, c'est-à-dire par former une suite d'intervalles (a, 6), (e, ^), ... tels qu'il existe dans chacun d'eux une et une seule racine réelle. On y parvient ordinairement par l'application du théorème fondamental suivant et de son corollaire.

Théorème de Rolle. — Dans tout intervalle où le premier membre (Tune équation est continu et a une dérivée finie et déterminée, deux racines réelles consécutives de cette équation comprennent eu moins une racine réelle de l'équation dérivée.

Nous avons vu en effet (n** 149) que si une fonction f{x) continue et possédant une dérivée dans un certain intervalle s'annule pour deux valeurs comprises dans cet intervalle ou égales aux limites, sa dérivée f'{x) s'annule au moins une fois entre ces deux valeurs ; le théorème de Rolle exprime cette propriété sous une autre forme.

Corollaire. — Dans tout intervalle où le premier membre d'une équation est continu et a une dérivée finie et déterminée, deux racines réelles consécutives de l'équation dérivée comprennent au plus une racine réelle de la proposée.

Si elles en comprenaient en effet plusieurs, il existerait entre ces racines d'autres racines de la dérivée, d'après le théorème précédent ; mais cela est impossible d'après l'hypothèse.

U résulte de ces propositions que si l'on sait trouver d'une part les valeurs pour lesquelles le premier membre d'une équation et sa dérivée deviennent discontinus, d'autre parties racines réelles de l'équation dérivée, et si l'on range toutes ces valeurs, ainsi que — oo et -f» par ordre de grandeur, dans chaque intervalle il existe au plus une racine de l'équation donnée. La suite de ces valeurs s'appelle suite de Rolle,

234. Pour reconnaître s'il existe ou non une racine dans un des intervalles ainsi formés, on s'appuie sur le théorème suivant :

Théorème. — Dans tout intervalle où le premier membre d'une équation est continu, deux nombres dont les résultats de substitution dans ce premier membre sont de signes contraires comprennent au moins une racine de l'équation.

Car, si Ton fait varier x d'une manière continue de Tun à l'autre de ces nombres, f(x) varie d'une manière continue ; comme cette fonction change de signe, elle s'annule forcément pour une valeur au moins, comprise entre les deux nombres.

Ce théorème est d'un usage fréquent ; il montre par exemple que Téquation

a au moins une racine réelle positive, car les nombres 0 et +oc donnent dans le premier membre des résultats de signes contraires. De même l'équation

a au moins une racine réelle positive et une racine réelle négative, car les nombres — oo , 0 et +oo donnent dans le premier membre des résultats successivement de signes contraires.

Nous allons appliquer ce théorème à la suite de Rolle.

Corollaire. — Deux nombres consécutifs de la suite de Rolle comprennent une racine de l'équation ou n'en comprennent aucune suivant que leurs résultats de substitution dans le premier membre sont de signes contraires ou de même signe.

En effet, d'après la manière même dont a été formée la suite de Rolle, la dérivée du premier membre de l'équation garde un signe constant entre deux termes consécutifs de cette suite, et le premier membre lui-même est une fonction continue variant toujours dans le même sens dans chacun des intervalles ; si deux nombres compris dans un de ces intervalles ou égaux aux limites, substitués dans le premier membre, donnent des résultats de signes contraires, ils comprennent une et une seule racine ; s'ils donnent des résultats de même signe, ils n'en comprennent aucune.

Nous pouvons agouter que si un des nombres de la suite de RoUe, faisant partie de Tensemble des racines de la dérivée, annule le premier membre de Téquation donnée, il est racine multiple de celle-ci. Le raisonnement que nous venons d'employer montre qu'il n'existe aucune autre racine de Féquation dans les deux intervalles situés de part et d autre de cette racine multiple.

Remarqua. — Lorsqu'un intervalle fourni par la suite de RoUe est limité par une valeur de x, telle que x = b par exemple, rendant discontinu le premier membre f{x) de l'équation, il faut entendre par signe du résultat de substitution de cette valeur dans f{x) celui que l'on obtient en remplaçant x par une valeur voisine de b et tendant vers b tout en restant comprise dans l'intervalle considéré.

Supposons par exemple que les deux intervalles consécutifs limités par b soient (a , b) et (6 , e) ; pour appliquer le corollaire précédent au premier de ces intervalles, on doit substituer à x, à la place de b, un nombre b — t, s étant positif et assez petit pour que f{x) garde un signe constant entre 6 — e et 6 ; de la même manière, pour l'intervalle suivant, on doit substituer à x, à la place de 6, un nombre & + t, t étant positif et assez petit pour que f{x) garde un signe constant entre b et 6 + f . Dans le tableau des résultats de substitution, on écrit ordinairement les deux nombres b — t et 6 -h e, en les séparant par un trait.

La courbe représentative du premier membre d'une équation rend bien compte des théorèmes précédents ; si l'on prend comme exemple 1 équation dont le premier membre est représenté par la courbe de la figure 61, on voit que la suite de RoUe est formée des nombres

— 00 , Xt, Xj, xi, X4, X5, X5, -+-00

pour lesquels la fonction est discontinue ou passe par un maximum ou un minimum ; on écrira de la façon suivante le tableau des résultats de substitution correspondants

— « , Xi, X2, Xa, X4 — 6X4 -ht, Xs — tXsH-t, X5

On voit sur la figure que l'équation a trois racines, comprises l'une

«ntre — oo et «i, Tautre entre x^ et x^, et la dernière entre a

Fig. 61.

et Xs ; on vérifie bien l'exactitude du théorème de Rolle et des corollaires énoncés précédemment.