Exemples, Téquation dérivée

i« Soit l'équation x5 — 5x — 2 = 0 ;

a deux racines réelles — i et -f- i ; la suite de Rolle est formée des nombres — oo, — i, -f-i, H-oo; les signes des résultats de substitution correspondants sont indiqués dans le tableau suivant:

comme ils sont alternativement de signes contraires, l'équation a trois racines réelles séparées par les nombres de la suite précédente. 2*» Soit l'équation

lej)remier membre est discontinu pour x = 0; sa dérivée 3x*H — 5

ne s'annule pas; la suite de Rolle est formée de — 00 , 0, -h 00 , et les signes des résultats de substitution, obtenus comme nous l'avons

dit dans la remarque du numéro précédent^ sont

-he

on i^oit que Téquation a une racine réelle positive et une négative. S'' Soit Téquation

X — tg X = 0 ;

au lieu d^employer le théorème de RoUe, qui conduirait sans trop de difficulté à la séparation des racines, nous emploierons un procédé géométrique que Ton utilise souvent. Les racines de Téquation sont les abscisses des points communs aux deux lignes représentées par les équations

la première (/ï^. 62) se compose d'une suite de courbes égales ; Tune

Fig. «a.

d'elles a pour asymptotes les droites x =

— |- et x = -h|- eteUe

passe par Torigine ; sa tangente en ce point, d'après le théorème du n° 133, a pour coefficient angulaire la valeur de la dérivée de tg x pour X = 0 ; il est égal à Tunité et la tangente est la bissectrice de Tangle xOy ; les autres branches se déduisent de celle-là en augmentant ou diminuant les abscisses d'un multiple de ^.

La deuxième ligne est la bissectrice de Tangle xOy ; elle coupe la première branche à Torigine et lui est tangente ; on peut vérifier que x = 0 est une racine triple de Téquation proposée (n** 221, remarque). La bissectrice coupe chacune des autres branches de la courbe en un point; on en conclut que Téquation, outre la racine triple X = 0, a une racine simple dans chacun des intervalles

236. Calcul d*ime valeur approchée d'une racine. — Lorsqu'on a reconnu qu'un intervalle (a , b) comprend une et une seule racine réelle d'une équation f[x) = 0 , il reste à calculer une valeur approchée de cette racine.

Le procédé le plus simple consiste à substituer à x une suite de nombres croissants intermédiaires entre a et 6, tels que

et à chercher les signes des résultats de leur substitution dans /(x). Puisque f[a) et f[b) sont de signes contraires, on trouvera dans la suite ou bien un résultat nul, ce qui fera connaître la racine, ou bien deux résultats consécutifs de signes contraires, et les deux nombres substitués correspondants comprendront la racine.

Si elle est comprise par exemple entre Op et «p+i, on pourra substituer des nombres intermédiaires entre ces deux-là, et resserrer l'intervalle dans lequel se trouve comprise la racine. En général, on substitue des nombres entiers successifs, puis dans Tintervalle des deux entiers consécutifs qui comprennent la racine, on substitue des nombres croissant de dixième en dixième, puis de centième en centième, etc. Les méthodes de calcul fondées sur la théorie des différences (n° 190) permettent d'opérer rapidement. On obtient ainsi des valeurs approchées de la racine avec 1,2, . . « chiffres décimaux par défaut et par excès.

Exemple. — Nous avons vu au numéro précédent que Féquation f{x) = a:» — 5x — 2 = 0

a trois racines, dont Tune est supérieure à 1 ; pour calculer cette dernière, nous remarquons que 1 et 2 donnent des résultats, Tun négatif, Tautre positif, et comprennent la racine.

En substituant les nombres i,i, 1^2, « . . , 1,9, on constate que Ton a

par conséquent la racine est comprise entre 1,5 et 1,6; en substituant les nombres 1,51, 1,52, . . . , 1,59, on constate que Ton a

on en conclut que la racine est comprise entre 1 ,58 et 1 ,59 ; il est probable qu'elle est plus voisine du premier de ces nombres que du second.

287. Méthode par parties proportionnelles. — Supposons que Ton ait trouvé deux nombres assez rapprochés a et 6 comprenant la racine cherchée : si Ton substitue dans Fintervalle (a, b) au premier membre f{x) de Féquation une fonction plus simple et si Ton cherche la valeur de x annulant cette fonction dans Tintervalle considéré, cette valeur s'écartera peu de la racine cherchée et pourra être prise comme valeur approchée de cette racine.

La manière la plus simple de choisir la fonction auxiliaire consiste, comme nous Tavons déjà vu au n*> 187, à supposer qu'elle est linéaire et qu'elle prend pour a et 6 les valeurs f[a) et /(é), ce qui revient à dire qu'elle varie proportionnellement à l'accroissement de la variable ; en la désignant par u , nous avons

La valeur de x qui annule u s'obtient en faisant u = 0 dans l'équation précédente; elle surpasse a d'un accroissement x — a donné par la relation

x — a —fia) .

b-a m-f[ay

le nombre x foorni par cette formule est pris pour yaleur approchée de la racine.

Exemple. — En nous reportant à Féquation du numéro précédent, supposons que Ton ait constaté que la racine cherchée est comprise entre 1,5 et 1,6, et prenons ces deux nombres pour valeurs de a et b. L'accroissement b — a est égal à 0,1; Taccroissement x — 1,5, que nous désignerons par h\ sera déterminé au moyen des valeurs de /"(IjS) et /"(IjB), par la relation

0,1 0,48576 4-1,90625' qui donne

nous obtenons ainsi pour la racine la valeur approchée 1,579 . . .

238. Méthode d'approximation de Newton. — Soit a une valeur approchée d'une racine, a + A sa valeur exacte inconnue ; en écrivant que f{a-h h) est nul et développant cette fonction suivant la formule de Taylor limitée à trois termes, nous avons

(!) 0 = Aa-hA)=/(a) + Af(a) + |/'(a + eA).

La méthode de Newton consiste à négliger le dernier terme, qui contient en facteur la quantité h^ généralement très petite, et à prendre comme valeur approchée de h la valeur Ai fournie par Téquation du premier degré

/(a) + V(a) = 0, c'est-à-dire

Pour que Ton puisse employer cette méthode avec avantage, il faut que la valeur approchée a -f- Ai de la racine soit plus voisine de la valeur exacte a -h A que la valeur primitive a ; on sera assuré que cela a lieu si les nombres a , a + Aj et a + A sont rangés par ordre de grandeur croissante ou décroissante, c'est-à-dire si la différence Al entre le deuxième et le premier de ces nombres, et la diffé-

RÉSOLUTION NDHÉRIQUE DES ÉQUAHONS 353

rence h — Ai entre le troisième et le deuxième sont des quantités de même signe. Or, nous avons d'après les équations (1) et (2),

f(a) A«Aq + 9A) "- fia) 2 /"(a) '

.. A«na + eA).

'^ '*'-~2 rw '

nous en concluons que h — Ai aura le signe de h si f(a) et /'(a -+- 6A) sont de même signe.

On ne connaît pas /"'(a -h 6A), mais, en général, la dérivée /"'(ar) garde un signe constant connu entre a et a + A ; si ce signe est celui de /(a), on est certain que la méthode s'applique avantageusement au nombre a. Dans les applications, on connaît deux nombres a et b comprenant la racine, et tels que f{a) et f{b) soient de signes contraires ; en supposant, ce qui arrive ordinairement, que f^x) garde un signe constant connu entre a et &, on est certain que la méthode s'applique avantageusement à Fun des nombres a ou 6 ; on choisit celui de ces nombres qui donne à f{x) et à f'{x) des valeurs de même signe.

lia méthode de Newton permet de calculer une suite de valeurs de plus en plus approchées de la racine. Supposons qu'elle s'applique, dans les conditions que nous venons de mentionner, au nombre a et qu'elle fournisse une valeur approchée a -f- Ai ; comme a -h Ai est compris entre a et a -h A , f{a -h Ai) a le même signe que f{a) et ce signe est aussi celui de la dérivée seconde /"(x) dans l'intervalle ; par suite, la méthode est applicable à a + Ai, et elle fournit une valeur a + A| + As plus approchée de la racine que la première, et ainsi de suite.

La méthode de Newton présente enfin cet avantage de donner une limite de Terreur commise ; en prenant a -f- Ai comme valeur appro- -cbéc de la racine a -h A , l'erreur (n** 169) est égale à

bien qu^on ne connaisse pas tous les termes du second membre, on peut en déterminer ordinairement une limite supérieure.

VoGT. — Math. sup. 23

THÉOUE DES ÉQC&T1058

a MtM.

Fig. 63.

289. Dans les cas usuels, la racine exacte est comprise entre la valeur fournie par la méthode des parties proportionnelles et celle

que donne la méthode de Newton ; supposons en effet que Ton construise la couii>e de variation de la fonction f{x) entre les points A et B d'abscisses a et 6 (fig. 63) ; Fabscisse du point M où cette courbe coupe Taxe Ox est la valeur exacte de la racine. La méthode des parties proportionnelles consiste à substituer à la courbe la droite AB, et à prendre comme valeur approchée de la racine Fabscisse du point Mi où cette droite coupe Ox; Téquation de la droite AB est en effet

et en y faisant y = 0, nous trouvons pour valeur de x Fabscisse du point Ml ; elle est identique à la valeur approchée que nous avons donnée au n* 237.

La méthode de Newton, appliquée au nombre a , consiste à substituer à la courbe la tangente au point A et à prendre comme valeur approchée de la racine Fabscisse du point Ms où cette tangente coupe Ox; en effet, le coefficient angulaire de la tangente (n* 133) est f'{a)y et Féquation de cette droite est

y-f[a) = f'{a){x-a); en y faisant t/ = 0, nous trouvons pour valeur de x Fabscisse du

point M2 ; elle est égale à a •

ce qui est la valeur approchée

fournie par la méthode de Newton.

Dans les cas habituels, en particulier lorsque la dérivée seconde de f{x) garde un signe constant entre a et b, le point M est situé entre Mi et M2, et la racine exacte est comprise entre les valeurs approchées fournies par les deux méthodes que nous avons mentionnées. Ordi-

nairement, on applique simultanément les deux méthodes ; elles donnent des valeurs approchées comprenant la racine ; si ai et Ai sont ces Taleiirs, on applique de nouveau les deux méthodes à ai et 61, ce qui fournit des valeurs as, &a comprises entre les précédentes et eomprenaot la racine; on peut continuer de cette façon plusieurs fois. Si

l'on s'arrête à as et 6a par exemple, la demi-somme ^'T sera une valeur encore plus approchée que as et 62-

2i&0. Exemples, — i° Appliquons la méthode de Newton à TéquatJon algébrique déjà traitée dans les numéros précédent^, qui possède une racine comprise entre 1,5 et 1,6; nous avons

f^xî) est positif pour x positif; nous choisirons par suite comme valeur approchée initiale un nombre rendant f{x) positif; en pre«tittnt la valeur a = 1,6 pour point de départ, nous aurons

. fiifi) 0,48576 ^..-.Q .

* nous en déduisons pour a -f- Ai la valeur approchée a-4- A, = 1,6—0,01749 = 1,58251 ;

elle est approchée par excès à un cent-millième près.

En prenant ce nombre pour valeur de la racine, on commet une erreur qui se compose de deux parties ; la première provient de la suppression dans Al des chiffres décimaux venant après le cinquième, et elle est au plus égale à un cent-millième ; la deuxième provient de la substitution de Ai à A dans le calcul de la racine, et elle a pour valeur — <"^ — '. Pour évaluer une limite de cette dernière erreur, .

nous remarquerons que ['{a -+- ôA) est inférieur à la valeur de /"'(x) pour a;=l,6, c'est-à-dire à 81,92; d'autre part, la méthode des' parties proportionnelles nous a fourni la valeur 1,579 ; elle est inférieure à la racine, et A est sûrement inférieur en valeur absolue à la différence entre 1,6 et 1,579, c'est-à-dire à 0,021 ; nous en concluons que Terreur A — Ai est inférieure à

356 THÉORIE Des ÉQUATIONS

et que la racine exacte diffère de a + Ai d'une quantité inférieure à cette limite ; comme elle est inférieure à a + Ai , dont nous avons la valeur approchée à 0,000 01 près, elle diffère de cette valeur au plus de 0,00067 et elle est comprise entre 1,58251 et 1,58184; nous pouvons la prendre égale à la demi-somme de ces valeurs ou encore à 1,5822 à quatre dix-millièmes près.

2° Considérons comme autre exemple Féquation

f{x) = x — igx = 0,

et cherchons la racine qu'elle possède entre tc et — ; nous voyons

5x immédiatement qu'elle est supérieure à — dont la tangente est 1.

Prenons pour x les valeurs en radians d'arcs croissant de degré en degré à partir de ISO"* + 45<^ ; on trouve ces valeurs dans la table intitulée « Longueurs des arcs de cercle pour le rayon 1 » et placée à la suite des tables ordinaires de logarithmes ; quant à tg x , on l'obtient en cherchant d'abord son logarithme dans les tables trigonométriques, puis en remontant au nombre. Nous trouverons ainsi deux arcs a et b diff'érant entre eux d'un degré et comprenant la racine

a = arc(180°-4-77'>) = 4,485 496 . . . , log tg a = 0,636 635 9 , tg a = 4,331 47, f{a) = -h 0,154 02 . . . ,

6 = arc (180<» -4- 78°) = 4,502 949 . . . , log tg 6 = 0,672 525 5 , tg 6 = 4,704 63, f{b) = — 0,201 68

Si nous appliquons la méthode des parties proportionnelles, nous obtenons comme valeur approchée de la racine le nombre

xi = 4,493 05 = arc (180'> -h 77° 25' 58') ;

si nous appliquons la méthode de Newton, nous avons

comme f"{x) est négatif dans le voisinage de la racine, nous appliquerons la méthode au nombre b ; l'accroissement A, = ./^, ' est, en

calculant par logarithmes, égala — 0,009112 . . . , de sorte qu'une valeur approchée de la racine est

xa = 4,493 84 = arc (180° -+- 77° 28' 42^) :

la racine elle-même est comprise entre Xi et â?s, et Ton peut prendre la demi-somme ^* ^^ comme valeur approchée de x.

241. Nous allons exposer sur un exemple une autre méthode de calcul donnant une valeur approchée d'une racine d'une équation ; cette méthode est fondée sur la considération du développement en série du premier membre de Féquation donnée.

Considérons un fil homogène pesant, de longueur 2^, dont les deux

extrémités B et C sont sur une même ligne horizontale à la distance 21 Tune de Tautre {fig. 64) ; la figure d'équilibre de ce fil est une courbe que Ton appelle chainette; nous nous proposons de calculer le paramètre caractéristique de cette courbe et d'en déduire la flèche AD.

On démontre en mécanique

que l'équation de la chaînette

rapportée à la perpendiculaire au

milieu de BG comme axe des y et à un axe des x convenablement

choisi est de la forme

Fig. 04.

a étant un paramètre encore inconnu ; on voit facilement que l'arc compris entre le point A d'abscisse zéro et un point d'abscisse x est

car on vérifie bien que le carré ds^ de la différentielle de cet arc est égala rfx*-f-rfy* {u? 198), et s est nul pour x = 0; la valeur de l'arc AB est donc, en remplaçant x par l'abscisse / de B ,

arc AB = « = yU« — e «V

Lorsque s et l sont donnés, le paramètre a s'obtient en résolvant Téquation précédente par rapport à a .

SS8 THÉORIE DES ÉQnATlONS

Pour en déduire ensuite la flèche AD, remarquons que OD est égal à la valeur de y pour a; = Z; Ton vérifie qu'elle est égale à \/«* -h a* ; comme d'autre part la valeur de OA est celle que prend y pour ar = 0 , et est égale à a , nous voyons que la flèche AD a pour valeur

(4) flèche AD=/'=V«M^ — a.

Au lieu de calculer directement a, nous allons changer d'inconnue

en posant — = z; nous écrirons de plus * = /(!+ a), a étant un a

nombre donné généralement petit dans les applications ; l'équation (3) s'écrit alors

(5) c' — e-^ — 2(1 -+- a)2 = 0 , et la flèche est donnée au moyen de z par

(6) /=V(* + -)*-^Iï-t]'

nous désignerons par f{z) le premier membre de l'équation (5).

Nous allons démontrer qu'elle a une racine positive z et nous déterminerons une valeur approchée de cette racine en nous servant du développement en série de f[z) ; si nous remplaçons e* et e^ par les séries correspondantes (n° 44), nous avons

Nous voyons déjà que l'équation (5) a la racine 5 = 0; elle a une seule racine positive, car si z croit à partir de zéro dans la parenthèse précédente, les termes qui suivent — a sont positifs et vont en croissant à partir de zéro ; leur somme passe donc une fois et une seule par la valeur a; elle a également une seule racine négative, symétrique de la précédente; nous ne nous occuperons que de la racine positive.

Si a est petit et si nous négligeons dans la parenthèse les termes de degré égal ou supérieur à 4, nous avons pour déterminer z une équation simple, qui a pour racine

Zi est une valeur approchée de la racine exacte. Avec cette valeur approchée, nous avons pour f la valeur

en développant le dernier radical [1 H-6a(i -h a)*]'^ d'après là formule donnant (iH-x)"* (n* 183), et conservant seulement le terme contenant a au premier degré, nous avons pour valeur approchée de la flèche f le nombre

Les formules (7) et (8) résolvent le problème proposé avec une approximation suffisante.

Gomme exemple numérique, supposons que a soit égal à 0,01 ; les valeurs de Zi et de ft fournies par les formules précédentes sont

z, =v^ = 0,2U9 ... et /; = / . 0,1224

Nous allons nous rendre compte de l'avantage offert parla méthode que nous avons employée, en résolvant Téquation (5) par les méthodes que nous avons exposées dans les numéros précédents ; nous remarquerons que Ton calcule e' soit au moyen des tables de logarithmes népériens, soit au moyen des tables de logarithmes décimaux ; dans ce dernier cas, on utilise la formule

logioe' = 2log,oe = 2 . 0,43429448 ... ;

et Ton remonte ensuite de ce logarithme au nombre ; nous avons de plus

log e-* = — log e^

Nous appliquerons la méthode des parties proportionnelles et celle de Newton, en prenant pour a et 6 des valeurs voisines de celle que nous avons déjà trouvée pour Zi ; en choisissant 0,244 et 0,245 , nous aurons

nous voyons que a et 6 comprennent bien la racine; en partant de

ces deux nombres, la méthode des parties proportionnelles donne la valeur approchée zj = 0,244575, et la méthode de Newton appliquée à 6 donne ^73 = 0,244579; la racine est comprise entre zi et zs, et diffère de leur demi-somme 0,244 577 au plus de deux unités du dernier ordre décimal.

Nous avons dans ce cas /'=/x0,i229; nous voyons combien les valeurs simples Zi et fi données par les formules (7) et (8) s'approchent des valeurs exactes et sont suffisantes dans beaucoup d'applications.

242. Autre méthode d'approximation. — Dans certains cas, il est commode de séparer les termes de Téquation en deux groupes, sous la forme

^{x) étant une fonction simple, et ^{x) une fonction dont la valeur numérique est très petite lorsque x est voisin de la racine cherchée. Dans une première approximation, on néglige i{/(x), et Ton résout réquation f{x) = 0 ; soit Xi la racine de celle-ci voisine de celle que Ton veut obtenir. Dans une deuxième approximation, on remplace x par a?! dans ^{x) et Ton résout Téquation

cp(x)-4-^{xO = 0;

soit 072 la racine de cette équation voisine de Xi . On continue de cette façon en remplaçant x par x^ dans ^{x) et ainsi de suite.

Il faut s'assurer dans chaque cas particulier que les nombres Xi , x^, ... s*approchent de la racine cherchée; ordinairement, lorsque leur nombre augmente, ils forment une suite ayant pour limite cette racine.

Cette méthode s'applique par exemple à la résolution de l'équation

X — e sin a: = a

lorsque e est très petit. Si e est inférieur à l'unité, cette équation a une seule racine, car le premier membre a une dérivée toujours positive ; il va donc en croissant avec x et il passe une fois et une seule par la valeur a.

Les yaleurs approchées successives de la racine sont les nombres fournis par les égalités

a:a = a -+- c sin Xi ,