PROCÉDÉS GRAPHIQUES DE RÉSOLLTION DES ÉQUATIONS

x et de 2^ par exemple, on figure, soit sur le dessin, soit au moyen d*an transparent, la droite qui joint les points représentatifs de ces valeurs sur les lignes A et B. Cette droite rencontre G en un point auquel correspond la valeur cherchée de z. Le même procédé s'applique au calcul de x ow de y connaissant la valeur des deux autres vanaUes. Dans les applications on prend pour A et B deux droites parallèles.

Un tel abaque ne peut être eonstraitque si la relation (2) renferme les variables d'une manière particolièfe; le cas le plus commun est celui où elle a la forme

(4) fi{x) <^i{z) -+- f^[y) ^[z) = (ps(2) .

Dans ce cas, nous prenons dans un système d'axes OX, OY deux droites A et B parallèles à OY, d'abscisses a et — a ; sur la première nous inscrivons les valeurs de a?, en faisant correspondre à chacune d'elles le point de coordonnées Xi = a , Yi = fi{x) ; de même sur la seconde nous inscrivons les valeurs de y^ en faisant correspondre à chacune d'elles le point de coordonnées X2 = — a, Y2 = /i(y). La droite qui joint deux points Mi et M3 pris respectivement sur A et B a pour équation

(5) f,{x) (a + X) -h f,{y) (a - X) - 2aY = 0 ;

si nous l'identifions avec l'équation (4), nous obtenons les relations

g + X g — X 2aY 01(2) "" 92(2) "" <fz(z) qui donnent

Si nous construisons la courbe représentée par ces équations (6), en inscrivant près de chacun de ses points la valeur de z qui a servi à l'obtenir, nous obtiendrons précisément la courbe C qui avec A et 6 constitue Tabaque.

Ce procédé s'applique immédiatement à la résolution d'une équation à deux paramètres, de la forme

une telle équation rentre en effet dans le type (4) en posant

fi{x) = x = q, A(y) = y=/>,

Ti(2) = i, ?«W = KW, 93(2) = - H(s) ;

comme cas particulier, en prenant H(z) = a"* et K(z) = s*, on obtient une équation algébrique trinôme.

Nous allons considérer en particulier Téquation du troisième degré écrite sous la forme

Dans la résolution de cette équation, nous pouvons nous limiter à la recherche des racines positives, car les racines négatives, changées de signe, deviennent les racines positives de Féquation

»-|-/)z — gr = 0

déduite de la première par le changement de z en — 2 ; on aura 4onc toutes les racines de l'équation (7) en calculant les racines positives de cette équation et celles de sa transformée (8), puis en changeant le signe des dernières.

La courbe C est fournie par les équations

rTz'

nous n'avons besoin d'en construire que la portion qui correspond aux valeurs positives de ; elle est représentée dans la figure 68 ; les valeurs de q sont inscrites à droite, et celles de p k gauche. Les droites joignant le point marqué jd aux points marqués ç et — y, rencontrent Ja courbe G en un ou plusieurs points ; les nombres z inscrits près de ces points fournissent d'une part les racines positives, d'autre part les valeurs absolues des racines négatives de l'équation (7).

Fig. 68.