CINQUIÈME PARTIE

248. Tangente en un point d'une courbe plane. — La tangente en un point M d'une courbe est la limite des positions d^une sécante passant par ce point et par un point voisin M' situé sur la courbe lorsque ce point M' se rapproche indéfiniment du premier. Nous avons démontré (n^ 133) que le coefficient angulaire de la tangente est égal à la dérivée de l'ordonnée considérée comme fonction de Tabscisse ; nous allons retrouver ce résultat et déterminer en même temps Téquation de la tangente.

Soient x^y les coordonnées cartésiennes du point M de la courbe; x-f-Ax, y-h^y celles du point voisin M', et X, Y les coordonnées courantes; comme la différence des abscisses et celle des ordonnées des deux points M, M' sont égales à Ax et A.v, l'équation de la sécante MM' est

^ ' Aa; Ay '

le coefficient angulaire de cette droite est égal à -^ ; sa limite, c'est-

APPUGÂTIONS GÉOMÉTRIQUES

à-dire le coefficient angulaire de la tangente, est égale à la dérivée yi de y par rapport à x, ce que nous voulions d'abord démontrer.

Quant à Téquation de la tangente, c'est celle d'une droite passant par le point (x, y) et ayant pour coefficient angulaire yi ; elle est par suite

en remplaçant yl, par -M- , nous pouvons encore écrire cette équation sous la forme équivalente

c'est du reste celle que Ton déduirait de (1) en y remplaçant, à la limite, les infiniment petits ^x et ^y par les différentielles dx et dy^ ainsi que nous l'avons expliqué au n^ 197.

La forme (2) de l'équation de la tangente convient surtout lorsque l'équation de la courbe est résolue par rapport à y ; considérons par exemple la courbe représentative de la fonction sinx; elle a pour équation

2^ = sin a;

et est appelée zinu9oîde. La fonction y est périodique et a pour

période 2ic; il suffit donc de construire la courbe lorsque x varie de 0 à 2ir, et de reproduire la portion obtenue dans les autres intervalles

(27C, 4it), (4w, 6ir), ... {— 2ic, 0), (— 4ic, — 2it),

La dérivée de y est y' = cos x, et l'équation de la tangente en un point est

Y — y=cosaî(X — a?);

en particulier la courbe passe à l'origine, car y est nul en même temps que x; le coefficient angulaire de la tangente en ce point est égal à la valeur de cos x pour a; = 0, et il est égal à Tunité ; la tangente à Torigine est donc la bissectrice de Tangle des axes. La courbe a la forme indiquée dans la figure 69.

La forme (3) de Téquation de la tangente convient particulièrement lorsque les coordonnées x et y d'un point de la courbe sont exprimées au moyen d'un paramètre. Considérons par exemple une ellipse ; nous avons vu (n** 91) que les coordonnées d'un point de la courbe s'expriment au moyen du paramètre angulaire cp par les formules

x:=^a cos cp, y = 6 sin cp ;

nous en déduisons, en différentiant,

c/o; = — a sin f rfç, dy =^b cos y rfç ;

en portant ces valeurs dans l'équation (3) et supprimant c/(p aux deux membres, nous avons, pour représenter la tangente, l'équation

X — g cos y Y — 6 sin y ^

— a sin f 6 cos y

que nous pouvons mettre sous la forme a b

249. Supposons que la courbe soit représentée par une équation entre x et i/, de la forme

nous obtiendrons la dérivée y' ou -^ en différentiant le premier

membre de cette relation, ce qui donne

(5) fidx^f;dy = 0;

supposons que fi, et fy ne soient pas nuls tous les deux pour le point de la courbe considéré ; celui-ci est dit alors point ordinaire ou point

simple ; en éliminant la dérivée -^ entre les équations (2)^ou (3) et

(5), nous avons comme équation de la tangente

On met souvent cette équation sous une autre forme ; écrivons-la de la manière suivante :

et cherchons à transformer le dernier terme. Supposons qu'on change a? et y en — et ^ dans réquation(4), et qu'on chasse s'il y a lieu les dénominateurs ; elle se transforme en une équation

(7) /■(a^i,yi,^) = o,

dont le premier membre est homogène en X|, j^i, z; si nous lui appliquons le théorème d'Euler (n^ 161) et si nous désignons par m le degré d'homogénéité, nous avons

Si nous faisons ensuite z = 1 dans les deux membres de cette identité, le second devient égal à mf{x, y) et il est nul, puisque le point (a:, y) est sur la courbe ; dans le premier a^i/i^ -4- yif'y, devient x/i -h yfy ; nous en concluons que cette dernière somme peut être remplacée par — /",', /"i désignant la dérivée du premier membre de réquation (7) par rapport à z, dérivée dans laquelle on remplace z par 1.

Après ce changement, l'équation de la tangente s'écrit

(8) \n-\-Yry-hn=o;

cette forme est particulièrement employée dans le cas des courbes algébriques.

250. Normale en un point d'une courbe. — On appelle normale en un point d'une courbe la perpendiculaire à la tangente en ce point ; son coefficient angulaire (n*^ 85) est alors égal à l'inverse changé de signe de la dérivée t/i- L'équation de la normale se met sous l'une des formes suivantes, qui correspondent aux équations (2), (3) et (6) de la tangente :

(10) (X — «)rf» + (Y — y)rfy = 0,

(11) -p^ -ff--

On appelle sous-tangenie en un point M d'une courbe {fiff. 70)

le segment PT de Taxe de« x compris entre le pied de Tordonnée du point M et le point de rencontre de la tangente avec Ox; on trouve sa valeur en faisant Y = 0 dans Téquation — (2) de la tangente, et cherchant la valeur de X — x ; on trouve PI jQ ainsi que la sous-tangente est

égale à — — , •

On appelle sous-normale le segment PN de Taxe des x compris entre le pied de Tordonnée et le point de rencontre de la normale avec Taxe des x ; on trouve sa valeur en faisant Y = 0 dans Téquation (9) de la normale et cherchant la valeur de X — x; on trouve ainsi que la sous-normale est égale à yy,.

251. Application aux coniques. — i° Considérons une circonférenee ayant pour centre Torigine et représentée par Féquation

x2-f-jy2 — R2 = 0;

nous allons former l'équation de la tangente en un point de cette courbe de coordonnées x, y, en utilisant Téquation (6) ; nous avons fl = 2x, fj = 2y, de sorte que Téquation de la tangente est, en divisant par 2,

Si nous remarquons que pour les points de la courbe x^-hy^ est égal à R', nous pouvons remplacer cette équation par la suivante :

Xx-f-Yy — R« = 0.

On vérifie sur cette équation que la tangente en im point d'une circonférence est perpendiculaire au rayon du point de contact.

376 APPUCATIONS GÉOMÉTRIQUES

2^ Considérons l'ellipse représentée par Téquation

nous allons utiliser la forme (8) de Téquation de la tangente; pour cela, nous remplacerons x et ^ par -^ et ^, et nous multiplierons par z^ ; nous obtiendrons ainsi Téquation homogène

A^t,yi,^) = ^+||--^' = o;

nous en tirerons

/*« — "^' hi — 'b^' /z = — -i«,

en remplaçant dans ces dérivées Xi,yi et z par x^y et 1, portant dans Téquation (8) et divisant par 2, nous obtiendrons Téquation de la tangente

celle de la normale est

X— xY— y X y

ou bien

L'abscisse du point de rencontre T de la tangente avec Taxe

des X {fig. 71) s'obtient en faisant Y = 0 dans l'équation (12), et a pour va-

leur X = — ; nous allons

évaluer en partant de là les segments FT et F'T ayant pour origines les foyers de l'ellipse et pour extrémité T ; ils sont égaux à

nous savons d'autre part (n^ 90) que les rayons vecteurs FM et F' M

Fig. 71.

ont pour valeurs

FM = a —

nous voyons que Ton a entre ces segments la proportion